* Step 1: Sum WORST_CASE(Omega(n^1),?)
+ Considered Problem:
- Strict TRS:
0() -> n__0()
U101(tt(),V1,V2) -> U102(isNatural(activate(V1)),activate(V2))
U102(tt(),V2) -> U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt()) -> tt()
U11(tt(),N,XS) -> snd(splitAt(activate(N),activate(XS)))
U111(tt(),V1) -> U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt()) -> tt()
U121(tt(),V1) -> U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt()) -> tt()
U131(tt(),V1,V2) -> U132(isNatural(activate(V1)),activate(V2))
U132(tt(),V2) -> U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt()) -> tt()
U141(tt(),V1,V2) -> U142(isLNat(activate(V1)),activate(V2))
U142(tt(),V2) -> U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt()) -> tt()
U151(tt(),V1,V2) -> U152(isNatural(activate(V1)),activate(V2))
U152(tt(),V2) -> U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt()) -> tt()
U161(tt(),N) -> cons(activate(N),n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U171(tt(),N,XS) -> head(afterNth(activate(N),activate(XS)))
U181(tt(),Y) -> activate(Y)
U191(tt(),XS) -> pair(nil(),activate(XS))
U201(tt(),N,X,XS) -> U202(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X))
U202(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(activate(X),YS),ZS)
U21(tt(),X) -> activate(X)
U211(tt(),XS) -> activate(XS)
U221(tt(),N,XS) -> fst(splitAt(activate(N),activate(XS)))
U31(tt(),N) -> activate(N)
U41(tt(),V1,V2) -> U42(isNatural(activate(V1)),activate(V2))
U42(tt(),V2) -> U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt()) -> tt()
U51(tt(),V1,V2) -> U52(isNatural(activate(V1)),activate(V2))
U52(tt(),V2) -> U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt()) -> tt()
U61(tt(),V1) -> U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt()) -> tt()
U71(tt(),V1) -> U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt()) -> tt()
U81(tt(),V1) -> U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt()) -> tt()
U91(tt(),V1) -> U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt()) -> tt()
activate(X) -> X
activate(n__0()) -> 0()
activate(n__afterNth(X1,X2)) -> afterNth(activate(X1),activate(X2))
activate(n__and(X1,X2)) -> and(activate(X1),X2)
activate(n__cons(X1,X2)) -> cons(activate(X1),X2)
activate(n__fst(X)) -> fst(activate(X))
activate(n__head(X)) -> head(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) -> isLNat(X)
activate(n__isLNatKind(X)) -> isLNatKind(X)
activate(n__isNatural(X)) -> isNatural(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) -> isNaturalKind(X)
activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(activate(X))
activate(n__nil()) -> nil()
activate(n__pair(X1,X2)) -> pair(activate(X1),activate(X2))
activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
activate(n__sel(X1,X2)) -> sel(activate(X1),activate(X2))
activate(n__snd(X)) -> snd(activate(X))
activate(n__splitAt(X1,X2)) -> splitAt(activate(X1),activate(X2))
activate(n__tail(X)) -> tail(activate(X))
activate(n__take(X1,X2)) -> take(activate(X1),activate(X2))
afterNth(N,XS) -> U11(and(and(isNatural(N),n__isNaturalKind(N)),n__and(n__isLNat(XS),n__isLNatKind(XS)))
,N
,XS)
afterNth(X1,X2) -> n__afterNth(X1,X2)
and(X1,X2) -> n__and(X1,X2)
and(tt(),X) -> activate(X)
cons(X1,X2) -> n__cons(X1,X2)
fst(X) -> n__fst(X)
fst(pair(X,Y)) -> U21(and(and(isLNat(X),n__isLNatKind(X)),n__and(n__isLNat(Y),n__isLNatKind(Y))),X)
head(X) -> n__head(X)
head(cons(N,XS)) -> U31(and(and(isNatural(N),n__isNaturalKind(N))
,n__and(n__isLNat(activate(XS)),n__isLNatKind(activate(XS))))
,N)
isLNat(X) -> n__isLNat(X)
isLNat(n__afterNth(V1,V2)) -> U41(and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
,activate(V1)
,activate(V2))
isLNat(n__cons(V1,V2)) -> U51(and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
,activate(V1)
,activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(activate(V1)),activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(activate(V1)),activate(V1))
isLNat(n__nil()) -> tt()
isLNat(n__snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(activate(V1)),activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) -> U91(isLNatKind(activate(V1)),activate(V1))
isLNat(n__take(V1,V2)) -> U101(and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
,activate(V1)
,activate(V2))
isLNatKind(X) -> n__isLNatKind(X)
isLNatKind(n__afterNth(V1,V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1,V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__nil()) -> tt()
isLNatKind(n__snd(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) -> isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1,V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(X) -> n__isNatural(X)
isNatural(n__0()) -> tt()
isNatural(n__head(V1)) -> U111(isLNatKind(activate(V1)),activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) -> U121(isNaturalKind(activate(V1)),activate(V1))
isNatural(n__sel(V1,V2)) -> U131(and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
,activate(V1)
,activate(V2))
isNaturalKind(X) -> n__isNaturalKind(X)
isNaturalKind(n__0()) -> tt()
isNaturalKind(n__head(V1)) -> isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1,V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1,V2)) -> U141(and(isLNatKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
,activate(V1)
,activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1,V2)) -> U151(and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
,activate(V1)
,activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1,V2)) -> and(isLNatKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1,V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) -> U161(and(isNatural(N),n__isNaturalKind(N)),N)
natsFrom(X) -> n__natsFrom(X)
nil() -> n__nil()
pair(X1,X2) -> n__pair(X1,X2)
s(X) -> n__s(X)
sel(N,XS) -> U171(and(and(isNatural(N),n__isNaturalKind(N)),n__and(n__isLNat(XS),n__isLNatKind(XS))),N,XS)
sel(X1,X2) -> n__sel(X1,X2)
snd(X) -> n__snd(X)
snd(pair(X,Y)) -> U181(and(and(isLNat(X),n__isLNatKind(X)),n__and(n__isLNat(Y),n__isLNatKind(Y))),Y)
splitAt(X1,X2) -> n__splitAt(X1,X2)
splitAt(0(),XS) -> U191(and(isLNat(XS),n__isLNatKind(XS)),XS)
splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U201(and(and(isNatural(N),n__isNaturalKind(N))
,n__and(n__and(n__isNatural(X),n__isNaturalKind(X))
,n__and(n__isLNat(activate(XS)),n__isLNatKind(activate(XS)))))
,N
,X
,activate(XS))
tail(X) -> n__tail(X)
tail(cons(N,XS)) -> U211(and(and(isNatural(N),n__isNaturalKind(N))
,n__and(n__isLNat(activate(XS)),n__isLNatKind(activate(XS))))
,activate(XS))
take(N,XS) -> U221(and(and(isNatural(N),n__isNaturalKind(N)),n__and(n__isLNat(XS),n__isLNatKind(XS))),N,XS)
take(X1,X2) -> n__take(X1,X2)
- Signature:
{0/0,U101/3,U102/2,U103/1,U11/3,U111/2,U112/1,U121/2,U122/1,U131/3,U132/2,U133/1,U141/3,U142/2,U143/1,U151/3
,U152/2,U153/1,U161/2,U171/3,U181/2,U191/2,U201/4,U202/2,U21/2,U211/2,U221/3,U31/2,U41/3,U42/2,U43/1,U51/3
,U52/2,U53/1,U61/2,U62/1,U71/2,U72/1,U81/2,U82/1,U91/2,U92/1,activate/1,afterNth/2,and/2,cons/2,fst/1,head/1
,isLNat/1,isLNatKind/1,isNatural/1,isNaturalKind/1,isPLNat/1,isPLNatKind/1,natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,sel/2
,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2} / {n__0/0,n__afterNth/2,n__and/2,n__cons/2,n__fst/1,n__head/1,n__isLNat/1
,n__isLNatKind/1,n__isNatural/1,n__isNaturalKind/1,n__natsFrom/1,n__nil/0,n__pair/2,n__s/1,n__sel/2,n__snd/1
,n__splitAt/2,n__tail/1,n__take/2,tt/0}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {0,U101,U102,U103,U11,U111,U112,U121,U122,U131,U132,U133
,U141,U142,U143,U151,U152,U153,U161,U171,U181,U191,U201,U202,U21,U211,U221,U31,U41,U42,U43,U51,U52,U53,U61
,U62,U71,U72,U81,U82,U91,U92,activate,afterNth,and,cons,fst,head,isLNat,isLNatKind,isNatural,isNaturalKind
,isPLNat,isPLNatKind,natsFrom,nil,pair,s,sel,snd,splitAt,tail,take} and constructors {n__0,n__afterNth
,n__and,n__cons,n__fst,n__head,n__isLNat,n__isLNatKind,n__isNatural,n__isNaturalKind,n__natsFrom,n__nil
,n__pair,n__s,n__sel,n__snd,n__splitAt,n__tail,n__take,tt}
+ Applied Processor:
Sum {left = someStrategy, right = someStrategy}
+ Details:
()
* Step 2: DecreasingLoops WORST_CASE(Omega(n^1),?)
+ Considered Problem:
- Strict TRS:
0() -> n__0()
U101(tt(),V1,V2) -> U102(isNatural(activate(V1)),activate(V2))
U102(tt(),V2) -> U103(isLNat(activate(V2)))
U103(tt()) -> tt()
U11(tt(),N,XS) -> snd(splitAt(activate(N),activate(XS)))
U111(tt(),V1) -> U112(isLNat(activate(V1)))
U112(tt()) -> tt()
U121(tt(),V1) -> U122(isNatural(activate(V1)))
U122(tt()) -> tt()
U131(tt(),V1,V2) -> U132(isNatural(activate(V1)),activate(V2))
U132(tt(),V2) -> U133(isLNat(activate(V2)))
U133(tt()) -> tt()
U141(tt(),V1,V2) -> U142(isLNat(activate(V1)),activate(V2))
U142(tt(),V2) -> U143(isLNat(activate(V2)))
U143(tt()) -> tt()
U151(tt(),V1,V2) -> U152(isNatural(activate(V1)),activate(V2))
U152(tt(),V2) -> U153(isLNat(activate(V2)))
U153(tt()) -> tt()
U161(tt(),N) -> cons(activate(N),n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U171(tt(),N,XS) -> head(afterNth(activate(N),activate(XS)))
U181(tt(),Y) -> activate(Y)
U191(tt(),XS) -> pair(nil(),activate(XS))
U201(tt(),N,X,XS) -> U202(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X))
U202(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(activate(X),YS),ZS)
U21(tt(),X) -> activate(X)
U211(tt(),XS) -> activate(XS)
U221(tt(),N,XS) -> fst(splitAt(activate(N),activate(XS)))
U31(tt(),N) -> activate(N)
U41(tt(),V1,V2) -> U42(isNatural(activate(V1)),activate(V2))
U42(tt(),V2) -> U43(isLNat(activate(V2)))
U43(tt()) -> tt()
U51(tt(),V1,V2) -> U52(isNatural(activate(V1)),activate(V2))
U52(tt(),V2) -> U53(isLNat(activate(V2)))
U53(tt()) -> tt()
U61(tt(),V1) -> U62(isPLNat(activate(V1)))
U62(tt()) -> tt()
U71(tt(),V1) -> U72(isNatural(activate(V1)))
U72(tt()) -> tt()
U81(tt(),V1) -> U82(isPLNat(activate(V1)))
U82(tt()) -> tt()
U91(tt(),V1) -> U92(isLNat(activate(V1)))
U92(tt()) -> tt()
activate(X) -> X
activate(n__0()) -> 0()
activate(n__afterNth(X1,X2)) -> afterNth(activate(X1),activate(X2))
activate(n__and(X1,X2)) -> and(activate(X1),X2)
activate(n__cons(X1,X2)) -> cons(activate(X1),X2)
activate(n__fst(X)) -> fst(activate(X))
activate(n__head(X)) -> head(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) -> isLNat(X)
activate(n__isLNatKind(X)) -> isLNatKind(X)
activate(n__isNatural(X)) -> isNatural(X)
activate(n__isNaturalKind(X)) -> isNaturalKind(X)
activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(activate(X))
activate(n__nil()) -> nil()
activate(n__pair(X1,X2)) -> pair(activate(X1),activate(X2))
activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
activate(n__sel(X1,X2)) -> sel(activate(X1),activate(X2))
activate(n__snd(X)) -> snd(activate(X))
activate(n__splitAt(X1,X2)) -> splitAt(activate(X1),activate(X2))
activate(n__tail(X)) -> tail(activate(X))
activate(n__take(X1,X2)) -> take(activate(X1),activate(X2))
afterNth(N,XS) -> U11(and(and(isNatural(N),n__isNaturalKind(N)),n__and(n__isLNat(XS),n__isLNatKind(XS)))
,N
,XS)
afterNth(X1,X2) -> n__afterNth(X1,X2)
and(X1,X2) -> n__and(X1,X2)
and(tt(),X) -> activate(X)
cons(X1,X2) -> n__cons(X1,X2)
fst(X) -> n__fst(X)
fst(pair(X,Y)) -> U21(and(and(isLNat(X),n__isLNatKind(X)),n__and(n__isLNat(Y),n__isLNatKind(Y))),X)
head(X) -> n__head(X)
head(cons(N,XS)) -> U31(and(and(isNatural(N),n__isNaturalKind(N))
,n__and(n__isLNat(activate(XS)),n__isLNatKind(activate(XS))))
,N)
isLNat(X) -> n__isLNat(X)
isLNat(n__afterNth(V1,V2)) -> U41(and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
,activate(V1)
,activate(V2))
isLNat(n__cons(V1,V2)) -> U51(and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
,activate(V1)
,activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(activate(V1)),activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(activate(V1)),activate(V1))
isLNat(n__nil()) -> tt()
isLNat(n__snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(activate(V1)),activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) -> U91(isLNatKind(activate(V1)),activate(V1))
isLNat(n__take(V1,V2)) -> U101(and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
,activate(V1)
,activate(V2))
isLNatKind(X) -> n__isLNatKind(X)
isLNatKind(n__afterNth(V1,V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__cons(V1,V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
isLNatKind(n__fst(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1))
isLNatKind(n__nil()) -> tt()
isLNatKind(n__snd(V1)) -> isPLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__tail(V1)) -> isLNatKind(activate(V1))
isLNatKind(n__take(V1,V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
isNatural(X) -> n__isNatural(X)
isNatural(n__0()) -> tt()
isNatural(n__head(V1)) -> U111(isLNatKind(activate(V1)),activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) -> U121(isNaturalKind(activate(V1)),activate(V1))
isNatural(n__sel(V1,V2)) -> U131(and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
,activate(V1)
,activate(V2))
isNaturalKind(X) -> n__isNaturalKind(X)
isNaturalKind(n__0()) -> tt()
isNaturalKind(n__head(V1)) -> isLNatKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__s(V1)) -> isNaturalKind(activate(V1))
isNaturalKind(n__sel(V1,V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1,V2)) -> U141(and(isLNatKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
,activate(V1)
,activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1,V2)) -> U151(and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
,activate(V1)
,activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1,V2)) -> and(isLNatKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
isPLNatKind(n__splitAt(V1,V2)) -> and(isNaturalKind(activate(V1)),n__isLNatKind(activate(V2)))
natsFrom(N) -> U161(and(isNatural(N),n__isNaturalKind(N)),N)
natsFrom(X) -> n__natsFrom(X)
nil() -> n__nil()
pair(X1,X2) -> n__pair(X1,X2)
s(X) -> n__s(X)
sel(N,XS) -> U171(and(and(isNatural(N),n__isNaturalKind(N)),n__and(n__isLNat(XS),n__isLNatKind(XS))),N,XS)
sel(X1,X2) -> n__sel(X1,X2)
snd(X) -> n__snd(X)
snd(pair(X,Y)) -> U181(and(and(isLNat(X),n__isLNatKind(X)),n__and(n__isLNat(Y),n__isLNatKind(Y))),Y)
splitAt(X1,X2) -> n__splitAt(X1,X2)
splitAt(0(),XS) -> U191(and(isLNat(XS),n__isLNatKind(XS)),XS)
splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U201(and(and(isNatural(N),n__isNaturalKind(N))
,n__and(n__and(n__isNatural(X),n__isNaturalKind(X))
,n__and(n__isLNat(activate(XS)),n__isLNatKind(activate(XS)))))
,N
,X
,activate(XS))
tail(X) -> n__tail(X)
tail(cons(N,XS)) -> U211(and(and(isNatural(N),n__isNaturalKind(N))
,n__and(n__isLNat(activate(XS)),n__isLNatKind(activate(XS))))
,activate(XS))
take(N,XS) -> U221(and(and(isNatural(N),n__isNaturalKind(N)),n__and(n__isLNat(XS),n__isLNatKind(XS))),N,XS)
take(X1,X2) -> n__take(X1,X2)
- Signature:
{0/0,U101/3,U102/2,U103/1,U11/3,U111/2,U112/1,U121/2,U122/1,U131/3,U132/2,U133/1,U141/3,U142/2,U143/1,U151/3
,U152/2,U153/1,U161/2,U171/3,U181/2,U191/2,U201/4,U202/2,U21/2,U211/2,U221/3,U31/2,U41/3,U42/2,U43/1,U51/3
,U52/2,U53/1,U61/2,U62/1,U71/2,U72/1,U81/2,U82/1,U91/2,U92/1,activate/1,afterNth/2,and/2,cons/2,fst/1,head/1
,isLNat/1,isLNatKind/1,isNatural/1,isNaturalKind/1,isPLNat/1,isPLNatKind/1,natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,sel/2
,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2} / {n__0/0,n__afterNth/2,n__and/2,n__cons/2,n__fst/1,n__head/1,n__isLNat/1
,n__isLNatKind/1,n__isNatural/1,n__isNaturalKind/1,n__natsFrom/1,n__nil/0,n__pair/2,n__s/1,n__sel/2,n__snd/1
,n__splitAt/2,n__tail/1,n__take/2,tt/0}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {0,U101,U102,U103,U11,U111,U112,U121,U122,U131,U132,U133
,U141,U142,U143,U151,U152,U153,U161,U171,U181,U191,U201,U202,U21,U211,U221,U31,U41,U42,U43,U51,U52,U53,U61
,U62,U71,U72,U81,U82,U91,U92,activate,afterNth,and,cons,fst,head,isLNat,isLNatKind,isNatural,isNaturalKind
,isPLNat,isPLNatKind,natsFrom,nil,pair,s,sel,snd,splitAt,tail,take} and constructors {n__0,n__afterNth
,n__and,n__cons,n__fst,n__head,n__isLNat,n__isLNatKind,n__isNatural,n__isNaturalKind,n__natsFrom,n__nil
,n__pair,n__s,n__sel,n__snd,n__splitAt,n__tail,n__take,tt}
+ Applied Processor:
DecreasingLoops {bound = AnyLoop, narrow = 10}
+ Details:
The system has following decreasing Loops:
activate(x){x -> n__afterNth(x,y)} =
activate(n__afterNth(x,y)) ->^+ afterNth(activate(x),activate(y))
= C[activate(x) = activate(x){}]
WORST_CASE(Omega(n^1),?)