* Step 1: Sum WORST_CASE(Omega(n^1),O(n^10))
+ Considered Problem:
- Strict TRS:
f_0(x) -> a()
f_1(x) -> g_1(x,x)
f_10(x) -> g_10(x,x)
f_2(x) -> g_2(x,x)
f_3(x) -> g_3(x,x)
f_4(x) -> g_4(x,x)
f_5(x) -> g_5(x,x)
f_6(x) -> g_6(x,x)
f_7(x) -> g_7(x,x)
f_8(x) -> g_8(x,x)
f_9(x) -> g_9(x,x)
g_1(s(x),y) -> b(f_0(y),g_1(x,y))
g_10(s(x),y) -> b(f_9(y),g_10(x,y))
g_2(s(x),y) -> b(f_1(y),g_2(x,y))
g_3(s(x),y) -> b(f_2(y),g_3(x,y))
g_4(s(x),y) -> b(f_3(y),g_4(x,y))
g_5(s(x),y) -> b(f_4(y),g_5(x,y))
g_6(s(x),y) -> b(f_5(y),g_6(x,y))
g_7(s(x),y) -> b(f_6(y),g_7(x,y))
g_8(s(x),y) -> b(f_7(y),g_8(x,y))
g_9(s(x),y) -> b(f_8(y),g_9(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2} / {a/0,b/2,s/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0,f_1,f_10,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,f_7,f_8,f_9,g_1,g_10,g_2
,g_3,g_4,g_5,g_6,g_7,g_8,g_9} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Sum {left = someStrategy, right = someStrategy}
+ Details:
()
** Step 1.a:1: DecreasingLoops WORST_CASE(Omega(n^1),?)
+ Considered Problem:
- Strict TRS:
f_0(x) -> a()
f_1(x) -> g_1(x,x)
f_10(x) -> g_10(x,x)
f_2(x) -> g_2(x,x)
f_3(x) -> g_3(x,x)
f_4(x) -> g_4(x,x)
f_5(x) -> g_5(x,x)
f_6(x) -> g_6(x,x)
f_7(x) -> g_7(x,x)
f_8(x) -> g_8(x,x)
f_9(x) -> g_9(x,x)
g_1(s(x),y) -> b(f_0(y),g_1(x,y))
g_10(s(x),y) -> b(f_9(y),g_10(x,y))
g_2(s(x),y) -> b(f_1(y),g_2(x,y))
g_3(s(x),y) -> b(f_2(y),g_3(x,y))
g_4(s(x),y) -> b(f_3(y),g_4(x,y))
g_5(s(x),y) -> b(f_4(y),g_5(x,y))
g_6(s(x),y) -> b(f_5(y),g_6(x,y))
g_7(s(x),y) -> b(f_6(y),g_7(x,y))
g_8(s(x),y) -> b(f_7(y),g_8(x,y))
g_9(s(x),y) -> b(f_8(y),g_9(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2} / {a/0,b/2,s/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0,f_1,f_10,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,f_7,f_8,f_9,g_1,g_10,g_2
,g_3,g_4,g_5,g_6,g_7,g_8,g_9} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecreasingLoops {bound = AnyLoop, narrow = 10}
+ Details:
The system has following decreasing Loops:
g_1(x,y){x -> s(x)} =
g_1(s(x),y) ->^+ b(f_0(y),g_1(x,y))
= C[g_1(x,y) = g_1(x,y){}]
** Step 1.b:1: DependencyPairs WORST_CASE(?,O(n^10))
+ Considered Problem:
- Strict TRS:
f_0(x) -> a()
f_1(x) -> g_1(x,x)
f_10(x) -> g_10(x,x)
f_2(x) -> g_2(x,x)
f_3(x) -> g_3(x,x)
f_4(x) -> g_4(x,x)
f_5(x) -> g_5(x,x)
f_6(x) -> g_6(x,x)
f_7(x) -> g_7(x,x)
f_8(x) -> g_8(x,x)
f_9(x) -> g_9(x,x)
g_1(s(x),y) -> b(f_0(y),g_1(x,y))
g_10(s(x),y) -> b(f_9(y),g_10(x,y))
g_2(s(x),y) -> b(f_1(y),g_2(x,y))
g_3(s(x),y) -> b(f_2(y),g_3(x,y))
g_4(s(x),y) -> b(f_3(y),g_4(x,y))
g_5(s(x),y) -> b(f_4(y),g_5(x,y))
g_6(s(x),y) -> b(f_5(y),g_6(x,y))
g_7(s(x),y) -> b(f_6(y),g_7(x,y))
g_8(s(x),y) -> b(f_7(y),g_8(x,y))
g_9(s(x),y) -> b(f_8(y),g_9(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2} / {a/0,b/2,s/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0,f_1,f_10,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,f_7,f_8,f_9,g_1,g_10,g_2
,g_3,g_4,g_5,g_6,g_7,g_8,g_9} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DependencyPairs {dpKind_ = WIDP}
+ Details:
We add the following weak innermost dependency pairs:
Strict DPs
f_0#(x) -> c_1()
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Weak DPs
and mark the set of starting terms.
** Step 1.b:2: UsableRules WORST_CASE(?,O(n^10))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_0#(x) -> c_1()
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Strict TRS:
f_0(x) -> a()
f_1(x) -> g_1(x,x)
f_10(x) -> g_10(x,x)
f_2(x) -> g_2(x,x)
f_3(x) -> g_3(x,x)
f_4(x) -> g_4(x,x)
f_5(x) -> g_5(x,x)
f_6(x) -> g_6(x,x)
f_7(x) -> g_7(x,x)
f_8(x) -> g_8(x,x)
f_9(x) -> g_9(x,x)
g_1(s(x),y) -> b(f_0(y),g_1(x,y))
g_10(s(x),y) -> b(f_9(y),g_10(x,y))
g_2(s(x),y) -> b(f_1(y),g_2(x,y))
g_3(s(x),y) -> b(f_2(y),g_3(x,y))
g_4(s(x),y) -> b(f_3(y),g_4(x,y))
g_5(s(x),y) -> b(f_4(y),g_5(x,y))
g_6(s(x),y) -> b(f_5(y),g_6(x,y))
g_7(s(x),y) -> b(f_6(y),g_7(x,y))
g_8(s(x),y) -> b(f_7(y),g_8(x,y))
g_9(s(x),y) -> b(f_8(y),g_9(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/2,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
UsableRules
+ Details:
We replace rewrite rules by usable rules:
f_0#(x) -> c_1()
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
** Step 1.b:3: PredecessorEstimation WORST_CASE(?,O(n^10))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_0#(x) -> c_1()
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/2,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector}
+ Details:
We estimate the number of application of
{1}
by application of
Pre({1}) = {12}.
Here rules are labelled as follows:
1: f_0#(x) -> c_1()
2: f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
3: f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
4: f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
5: f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
6: f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
7: f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
8: f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
9: f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
10: f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
11: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
12: g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
13: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
14: g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
15: g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
16: g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
17: g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
18: g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
19: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
20: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
21: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
** Step 1.b:4: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^10))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_0#(x) -> c_1()
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/2,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
-->_1 g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y)):11
2:S:f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
-->_1 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):12
3:S:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
4:S:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):14
5:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):15
6:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):16
7:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):17
8:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):18
9:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):19
10:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):20
11:S:g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
-->_1 f_0#(x) -> c_1():21
-->_2 g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y)):11
12:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):12
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):10
13:S:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
-->_1 f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x)):1
14:S:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):14
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):3
15:S:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):15
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):4
16:S:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):16
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):5
17:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):17
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):6
18:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):18
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):7
19:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):19
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):8
20:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):20
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):9
21:W:f_0#(x) -> c_1()
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
21: f_0#(x) -> c_1()
** Step 1.b:5: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^10))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/2,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
-->_1 g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y)):11
2:S:f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
-->_1 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):12
3:S:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
4:S:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):14
5:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):15
6:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):16
7:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):17
8:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):18
9:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):19
10:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):20
11:S:g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
-->_2 g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y)):11
12:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):12
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):10
13:S:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
-->_1 f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x)):1
14:S:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):14
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):3
15:S:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):15
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):4
16:S:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):16
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):5
17:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):17
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):6
18:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):18
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):7
19:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):19
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):8
20:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):20
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):9
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
** Step 1.b:6: RemoveHeads WORST_CASE(?,O(n^10))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveHeads
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
-->_1 g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y)):11
2:S:f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
-->_1 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):12
3:S:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
4:S:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):14
5:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):15
6:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):16
7:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):17
8:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):18
9:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):19
10:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):20
11:S:g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
-->_1 g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y)):11
12:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):12
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):10
13:S:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
-->_1 f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x)):1
14:S:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):14
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):3
15:S:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):15
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):4
16:S:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):16
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):5
17:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):17
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):6
18:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):18
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):7
19:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):19
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):8
20:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):20
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):9
Following roots of the dependency graph are removed, as the considered set of starting terms is closed under reduction with respect to these rules (modulo compound contexts).
[(2,f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x)))]
** Step 1.b:7: Decompose WORST_CASE(?,O(n^10))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Decompose {onSelection = all cycle independent sub-graph, withBound = RelativeAdd}
+ Details:
We analyse the complexity of following sub-problems (R) and (S).
Problem (S) is obtained from the input problem by shifting strict rules from (R) into the weak component.
Problem (R)
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
Problem (S)
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
*** Step 1.b:7.a:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^10))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
**** Step 1.b:7.a:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
***** Step 1.b:7.a:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_13) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [1]
p(b) = [1] x2 + [2]
p(f_0) = [4] x1 + [2]
p(f_1) = [1] x1 + [0]
p(f_10) = [1]
p(f_2) = [2] x1 + [1]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [1]
p(f_5) = [1] x1 + [1]
p(f_6) = [2]
p(f_7) = [1] x1 + [1]
p(f_8) = [1] x1 + [0]
p(f_9) = [2]
p(g_1) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [8]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [12]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [0]
p(f_9#) = [1]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [2] x1 + [0]
p(g_2#) = [1] x2 + [0]
p(g_3#) = [1] x1 + [0]
p(g_4#) = [4] x1 + [0]
p(g_5#) = [1] x1 + [2] x2 + [0]
p(g_6#) = [2] x2 + [0]
p(g_7#) = [2] x1 + [4] x2 + [0]
p(g_8#) = [1] x1 + [0]
p(g_9#) = [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [1] x1 + [0]
p(c_4) = [1] x1 + [0]
p(c_5) = [8] x1 + [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [1] x1 + [4]
p(c_8) = [1] x1 + [0]
p(c_9) = [2] x1 + [0]
p(c_10) = [8] x1 + [0]
p(c_11) = [1] x1 + [1]
p(c_12) = [8] x1 + [0]
p(c_13) = [4] x1 + [1] x2 + [12]
p(c_14) = [1] x2 + [8]
p(c_15) = [2] x1 + [1]
p(c_16) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_17) = [2] x2 + [0]
p(c_18) = [1] x2 + [1]
p(c_19) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_20) = [1] x2 + [1]
p(c_21) = [8]
Following rules are strictly oriented:
g_10#(s(x),y) = [2] x + [24]
> [2] x + [16]
= c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
***** Step 1.b:7.a:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
***** Step 1.b:7.a:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):1
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
***** Step 1.b:7.a:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
**** Step 1.b:7.a:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^9))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
***** Step 1.b:7.a:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
****** Step 1.b:7.a:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_11) = {1},
uargs(c_21) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [1]
p(b) = [1] x2 + [0]
p(f_0) = [1] x1 + [1]
p(f_1) = [2]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [3]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [0]
p(f_9#) = [9] x1 + [13]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [10] x2 + [13]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [0]
p(g_8#) = [0]
p(g_9#) = [8] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [1] x1 + [0]
p(c_9) = [1] x1 + [1]
p(c_10) = [1] x1 + [0]
p(c_11) = [1] x1 + [9]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_14) = [1] x1 + [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [4] x2 + [0]
p(c_17) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_18) = [0]
p(c_19) = [0]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [1] x2 + [9]
Following rules are strictly oriented:
g_9#(s(x),y) = [8] x + [1] y + [25]
> [8] x + [1] y + [10]
= c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_9#(x) = [9] x + [13]
>= [9] x + [10]
= c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) = [10] y + [13]
>= [9] y + [13]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [10] y + [13]
>= [10] y + [13]
= g_10#(x,y)
****** Step 1.b:7.a:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
****** Step 1.b:7.a:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
2:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):1
3:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):3
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):2
4:W:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
3: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
2: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
1: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
4: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
****** Step 1.b:7.a:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
***** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^8))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
****** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
******* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_10) = {1},
uargs(c_20) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [1]
p(b) = [0]
p(f_0) = [1]
p(f_1) = [1] x1 + [1]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [7]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [1]
p(f_8#) = [4] x1 + [1]
p(f_9#) = [4] x1 + [1]
p(g_1#) = [8] x2 + [8]
p(g_10#) = [4] x2 + [2]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [0]
p(g_8#) = [4] x1 + [0]
p(g_9#) = [4] x2 + [1]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [4] x1 + [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [2] x1 + [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [2] x1 + [0]
p(c_10) = [1] x1 + [1]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [0]
p(c_14) = [8] x1 + [4] x2 + [0]
p(c_15) = [1] x1 + [1]
p(c_16) = [1] x1 + [1] x2 + [4]
p(c_17) = [2] x1 + [1]
p(c_18) = [2] x2 + [4]
p(c_19) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_20) = [4] x1 + [1] x2 + [13]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
g_8#(s(x),y) = [4] x + [28]
> [4] x + [17]
= c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_8#(x) = [4] x + [1]
>= [4] x + [1]
= c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) = [4] x + [1]
>= [4] x + [1]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [4] y + [2]
>= [4] y + [1]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [4] y + [2]
>= [4] y + [2]
= g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [4] y + [1]
>= [4] y + [1]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [4] y + [1]
>= [4] y + [1]
= g_9#(x,y)
******* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
******* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):5
2:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):7
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):6
3:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):2
4:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):4
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):3
5:W:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):5
6:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):1
7:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):7
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):6
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
4: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
3: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
2: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
7: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
6: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
1: f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
5: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
******* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
****** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^7))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
******* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
******** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_9) = {1},
uargs(c_19) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [1] x1 + [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [1]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [1] x1 + [1]
p(f_7) = [4] x1 + [0]
p(f_8) = [1] x1 + [0]
p(f_9) = [2] x1 + [0]
p(g_1) = [8] x2 + [0]
p(g_10) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_2) = [2]
p(g_3) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_4) = [8]
p(g_5) = [1] x1 + [0]
p(g_6) = [8] x1 + [2]
p(g_7) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_8) = [4] x1 + [2] x2 + [0]
p(g_9) = [8] x1 + [1] x2 + [0]
p(s) = [1] x1 + [2]
p(f_0#) = [1] x1 + [1]
p(f_1#) = [8]
p(f_10#) = [4] x1 + [1]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [1] x1 + [1]
p(f_4#) = [1]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [1]
p(f_7#) = [4] x1 + [0]
p(f_8#) = [5] x1 + [9]
p(f_9#) = [7] x1 + [13]
p(g_1#) = [1] x1 + [2]
p(g_10#) = [8] x1 + [7] x2 + [7]
p(g_2#) = [1] x1 + [2] x2 + [1]
p(g_3#) = [1] x1 + [4] x2 + [2]
p(g_4#) = [1] x1 + [1]
p(g_5#) = [2]
p(g_6#) = [2]
p(g_7#) = [4] x1 + [0]
p(g_8#) = [1] x1 + [4] x2 + [1]
p(g_9#) = [6] x2 + [12]
p(c_1) = [1]
p(c_2) = [2]
p(c_3) = [1]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [1]
p(c_9) = [1] x1 + [0]
p(c_10) = [2]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [1]
p(c_14) = [4]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [1] x1 + [0]
p(c_17) = [1]
p(c_18) = [2]
p(c_19) = [1] x2 + [1]
p(c_20) = [1]
p(c_21) = [1] x2 + [2]
Following rules are strictly oriented:
g_7#(s(x),y) = [4] x + [8]
> [4] x + [1]
= c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_7#(x) = [4] x + [0]
>= [4] x + [0]
= c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) = [5] x + [9]
>= [5] x + [1]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [7] x + [13]
>= [6] x + [12]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [8] x + [7] y + [23]
>= [7] y + [13]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [8] x + [7] y + [23]
>= [8] x + [7] y + [7]
= g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [1] x + [4] y + [3]
>= [4] y + [0]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [1] x + [4] y + [3]
>= [1] x + [4] y + [1]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [6] y + [12]
>= [5] y + [9]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [6] y + [12]
>= [6] y + [12]
= g_9#(x,y)
******** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
******** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):6
2:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):8
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):7
3:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):10
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):9
4:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):3
5:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):5
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):4
6:W:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):6
7:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):1
8:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):8
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):7
9:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):2
10:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):10
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):9
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
5: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
4: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
3: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
10: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
9: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
2: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
8: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
7: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
1: f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
6: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
******** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
******* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^6))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
******** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
********* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_8) = {1},
uargs(c_18) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [2]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [8] x1 + [10]
p(f_7#) = [13] x1 + [0]
p(f_8#) = [13] x1 + [0]
p(f_9#) = [14] x1 + [1]
p(g_1#) = [1] x2 + [0]
p(g_10#) = [14] x2 + [4]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [2] x2 + [0]
p(g_5#) = [1] x1 + [0]
p(g_6#) = [1] x1 + [0]
p(g_7#) = [5] x1 + [8] x2 + [0]
p(g_8#) = [13] x2 + [0]
p(g_9#) = [13] x2 + [0]
p(c_1) = [1]
p(c_2) = [2]
p(c_3) = [1] x1 + [1]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [1] x1 + [1]
p(c_6) = [2] x1 + [2]
p(c_7) = [1] x1 + [1]
p(c_8) = [8] x1 + [10]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [1] x1 + [1]
p(c_11) = [1] x1 + [0]
p(c_12) = [4]
p(c_13) = [1] x1 + [8]
p(c_14) = [4]
p(c_15) = [4] x1 + [1] x2 + [4]
p(c_16) = [1] x1 + [2]
p(c_17) = [8] x1 + [2] x2 + [1]
p(c_18) = [1] x2 + [0]
p(c_19) = [2] x1 + [2] x2 + [2]
p(c_20) = [2]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
g_6#(s(x),y) = [1] x + [2]
> [1] x + [0]
= c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_6#(x) = [8] x + [10]
>= [8] x + [10]
= c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) = [13] x + [0]
>= [13] x + [0]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [13] x + [0]
>= [13] x + [0]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [14] x + [1]
>= [13] x + [0]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [14] y + [4]
>= [14] y + [1]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [14] y + [4]
>= [14] y + [4]
= g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [5] x + [8] y + [10]
>= [8] y + [10]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [5] x + [8] y + [10]
>= [5] x + [8] y + [0]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [13] y + [0]
>= [13] y + [0]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [13] y + [0]
>= [13] y + [0]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [13] y + [0]
>= [13] y + [0]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [13] y + [0]
>= [13] y + [0]
= g_9#(x,y)
********* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
********* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):7
2:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):9
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):8
3:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):11
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):10
4:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):13
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):12
5:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):4
6:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):6
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):5
7:W:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):7
8:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):1
9:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):9
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):8
10:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):2
11:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):11
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):10
12:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):3
13:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):13
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):12
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
6: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
5: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
4: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
13: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
12: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
3: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
11: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
10: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
2: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
9: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
8: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
1: f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
7: g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
********* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
******** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^5))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
********* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
********** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_7) = {1},
uargs(c_17) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [1]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [2]
p(f_0) = [8] x1 + [0]
p(f_1) = [4]
p(f_10) = [2]
p(f_2) = [1] x1 + [1]
p(f_3) = [2]
p(f_4) = [8] x1 + [1]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [2]
p(f_7) = [1]
p(f_8) = [1] x1 + [2]
p(f_9) = [2] x1 + [1]
p(g_1) = [1] x2 + [2]
p(g_10) = [4] x1 + [0]
p(g_2) = [1] x1 + [1] x2 + [2]
p(g_3) = [1]
p(g_4) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_5) = [1] x1 + [1]
p(g_6) = [4] x1 + [1]
p(g_7) = [1] x1 + [2] x2 + [0]
p(g_8) = [1] x2 + [1]
p(g_9) = [1] x1 + [0]
p(s) = [1] x1 + [4]
p(f_0#) = [1]
p(f_1#) = [1] x1 + [1]
p(f_10#) = [8] x1 + [2]
p(f_2#) = [2]
p(f_3#) = [1] x1 + [4]
p(f_4#) = [1] x1 + [1]
p(f_5#) = [4] x1 + [0]
p(f_6#) = [5] x1 + [1]
p(f_7#) = [6] x1 + [2]
p(f_8#) = [6] x1 + [2]
p(f_9#) = [8] x1 + [2]
p(g_1#) = [1]
p(g_10#) = [8] x2 + [2]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [1]
p(g_4#) = [1]
p(g_5#) = [4] x1 + [0]
p(g_6#) = [1] x1 + [4] x2 + [1]
p(g_7#) = [6] x2 + [2]
p(g_8#) = [6] x2 + [2]
p(g_9#) = [6] x2 + [2]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [1]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [1]
p(c_5) = [1]
p(c_6) = [1]
p(c_7) = [1] x1 + [0]
p(c_8) = [2]
p(c_9) = [1]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [1] x2 + [14]
p(c_18) = [0]
p(c_19) = [0]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
g_5#(s(x),y) = [4] x + [16]
> [4] x + [14]
= c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_5#(x) = [4] x + [0]
>= [4] x + [0]
= c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) = [5] x + [1]
>= [5] x + [1]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [6] x + [2]
>= [6] x + [2]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [6] x + [2]
>= [6] x + [2]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [8] x + [2]
>= [6] x + [2]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [8] y + [2]
>= [8] y + [2]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [8] y + [2]
>= [8] y + [2]
= g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [1] x + [4] y + [5]
>= [4] y + [0]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [1] x + [4] y + [5]
>= [1] x + [4] y + [1]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [6] y + [2]
>= [5] y + [1]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [6] y + [2]
>= [6] y + [2]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [6] y + [2]
>= [6] y + [2]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [6] y + [2]
>= [6] y + [2]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [6] y + [2]
>= [6] y + [2]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [6] y + [2]
>= [6] y + [2]
= g_9#(x,y)
********** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
********** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):8
2:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):10
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):9
3:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):12
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):11
4:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):14
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):13
5:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):16
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):15
6:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):5
7:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):7
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):6
8:W:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):8
9:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):1
10:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):10
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):9
11:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):2
12:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):12
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):11
13:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):3
14:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):14
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):13
15:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):4
16:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):16
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):15
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
7: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
6: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
5: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
16: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
15: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
4: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
14: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
13: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
3: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
12: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
11: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
2: f_6#(x) -> g_6#(x,x)
10: g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
9: g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
1: f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
8: g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
********** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^4))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
********** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*********** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_6) = {1},
uargs(c_16) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [1]
p(b) = [1]
p(f_0) = [1] x1 + [1]
p(f_1) = [8] x1 + [2]
p(f_10) = [8] x1 + [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [1] x1 + [1]
p(f_5) = [2] x1 + [1]
p(f_6) = [1] x1 + [1]
p(f_7) = [1] x1 + [1]
p(f_8) = [2] x1 + [1]
p(f_9) = [8] x1 + [1]
p(g_1) = [2] x2 + [1]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [1] x1 + [8]
p(g_4) = [2]
p(g_5) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_6) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_7) = [1] x1 + [1]
p(g_8) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_9) = [2]
p(s) = [1] x1 + [1]
p(f_0#) = [1]
p(f_1#) = [1] x1 + [1]
p(f_10#) = [1] x1 + [2]
p(f_2#) = [1] x1 + [2]
p(f_3#) = [4] x1 + [8]
p(f_4#) = [14] x1 + [0]
p(f_5#) = [14] x1 + [0]
p(f_6#) = [15] x1 + [0]
p(f_7#) = [15] x1 + [0]
p(f_8#) = [15] x1 + [1]
p(f_9#) = [15] x1 + [4]
p(g_1#) = [8] x2 + [0]
p(g_10#) = [12] x1 + [15] x2 + [1]
p(g_2#) = [1] x2 + [2]
p(g_3#) = [1] x1 + [2]
p(g_4#) = [1] x1 + [13] x2 + [0]
p(g_5#) = [14] x2 + [0]
p(g_6#) = [1] x1 + [14] x2 + [0]
p(g_7#) = [15] x2 + [0]
p(g_8#) = [15] x2 + [0]
p(g_9#) = [15] x2 + [1]
p(c_1) = [1]
p(c_2) = [1] x1 + [4]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [1]
p(c_5) = [2] x1 + [0]
p(c_6) = [1] x1 + [0]
p(c_7) = [8]
p(c_8) = [1]
p(c_9) = [1]
p(c_10) = [4] x1 + [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [1]
p(c_13) = [1] x1 + [0]
p(c_14) = [2] x1 + [1] x2 + [2]
p(c_15) = [1] x1 + [2]
p(c_16) = [1] x2 + [0]
p(c_17) = [2]
p(c_18) = [0]
p(c_19) = [0]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [1] x1 + [0]
Following rules are strictly oriented:
g_4#(s(x),y) = [1] x + [13] y + [1]
> [1] x + [13] y + [0]
= c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_4#(x) = [14] x + [0]
>= [14] x + [0]
= c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) = [14] x + [0]
>= [14] x + [0]
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = [15] x + [0]
>= [15] x + [0]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [15] x + [0]
>= [15] x + [0]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [15] x + [1]
>= [15] x + [0]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [15] x + [4]
>= [15] x + [1]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [12] x + [15] y + [13]
>= [15] y + [4]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [12] x + [15] y + [13]
>= [12] x + [15] y + [1]
= g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) = [14] y + [0]
>= [14] y + [0]
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = [14] y + [0]
>= [14] y + [0]
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [1] x + [14] y + [1]
>= [14] y + [0]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [1] x + [14] y + [1]
>= [1] x + [14] y + [0]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [15] y + [0]
>= [15] y + [0]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [15] y + [0]
>= [15] y + [0]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [15] y + [0]
>= [15] y + [0]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [15] y + [0]
>= [15] y + [0]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [15] y + [1]
>= [15] y + [1]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [15] y + [1]
>= [15] y + [1]
= g_9#(x,y)
*********** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
*********** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):9
2:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):11
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):10
3:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):13
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):12
4:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):15
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):14
5:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):17
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):16
6:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):19
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):18
7:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):6
8:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):8
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):7
9:W:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):9
10:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):1
11:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):11
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):10
12:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):2
13:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):13
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):12
14:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):3
15:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):15
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):14
16:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):4
17:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):17
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):16
18:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):5
19:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):19
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):18
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
8: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
7: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
6: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
19: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
18: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
5: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
17: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
16: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
4: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
15: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
14: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
3: f_6#(x) -> g_6#(x,x)
13: g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
12: g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
2: f_5#(x) -> g_5#(x,x)
11: g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
10: g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
1: f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
9: g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
*********** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^3))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
*********** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_5) = {1},
uargs(c_15) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_6) = [2]
p(g_7) = [1]
p(g_8) = [1] x1 + [2]
p(g_9) = [2] x2 + [1]
p(s) = [1] x1 + [10]
p(f_0#) = [1] x1 + [1]
p(f_1#) = [1]
p(f_10#) = [1] x1 + [1]
p(f_2#) = [4]
p(f_3#) = [8] x1 + [0]
p(f_4#) = [8] x1 + [8]
p(f_5#) = [8] x1 + [9]
p(f_6#) = [8] x1 + [10]
p(f_7#) = [8] x1 + [10]
p(f_8#) = [10] x1 + [1]
p(f_9#) = [13] x1 + [4]
p(g_1#) = [1] x1 + [1]
p(g_10#) = [1] x1 + [13] x2 + [2]
p(g_2#) = [1] x2 + [1]
p(g_3#) = [2] x1 + [0]
p(g_4#) = [8] x2 + [0]
p(g_5#) = [8] x2 + [9]
p(g_6#) = [8] x2 + [10]
p(g_7#) = [8] x2 + [10]
p(g_8#) = [2] x1 + [8] x2 + [0]
p(g_9#) = [1] x1 + [12] x2 + [1]
p(c_1) = [1]
p(c_2) = [2] x1 + [0]
p(c_3) = [1]
p(c_4) = [1]
p(c_5) = [4] x1 + [0]
p(c_6) = [1] x1 + [0]
p(c_7) = [1] x1 + [1]
p(c_8) = [2] x1 + [0]
p(c_9) = [1] x1 + [1]
p(c_10) = [1] x1 + [0]
p(c_11) = [8]
p(c_12) = [1] x1 + [1]
p(c_13) = [1] x1 + [0]
p(c_14) = [1] x1 + [1]
p(c_15) = [4] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_16) = [1] x2 + [0]
p(c_17) = [1] x1 + [4]
p(c_18) = [2] x2 + [2]
p(c_19) = [8] x1 + [0]
p(c_20) = [1] x2 + [4]
p(c_21) = [1] x1 + [1]
Following rules are strictly oriented:
g_3#(s(x),y) = [2] x + [20]
> [2] x + [16]
= c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_3#(x) = [8] x + [0]
>= [8] x + [0]
= c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) = [8] x + [8]
>= [8] x + [0]
= g_4#(x,x)
f_5#(x) = [8] x + [9]
>= [8] x + [9]
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = [8] x + [10]
>= [8] x + [10]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [8] x + [10]
>= [8] x + [10]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [10] x + [1]
>= [10] x + [0]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [13] x + [4]
>= [13] x + [1]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [13] y + [12]
>= [13] y + [4]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [13] y + [12]
>= [1] x + [13] y + [2]
= g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= f_3#(y)
g_4#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) = [8] y + [9]
>= [8] y + [8]
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = [8] y + [9]
>= [8] y + [9]
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [8] y + [10]
>= [8] y + [9]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [8] y + [10]
>= [8] y + [10]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [8] y + [10]
>= [8] y + [10]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [8] y + [10]
>= [8] y + [10]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [2] x + [8] y + [20]
>= [8] y + [10]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [2] x + [8] y + [20]
>= [2] x + [8] y + [0]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [1] x + [12] y + [11]
>= [10] y + [1]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [1] x + [12] y + [11]
>= [1] x + [12] y + [1]
= g_9#(x,y)
************ Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):10
2:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):12
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):11
3:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):14
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):13
4:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):16
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):15
5:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):18
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):17
6:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):20
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):19
7:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):22
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):21
8:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):7
9:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):9
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):8
10:W:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):10
11:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):1
12:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):12
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):11
13:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):2
14:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):14
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):13
15:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):3
16:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):16
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):15
17:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):4
18:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):18
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):17
19:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):5
20:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):20
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):19
21:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):6
22:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):22
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):21
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
9: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
8: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
7: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
22: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
21: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
6: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
20: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
19: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
5: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
18: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
17: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
4: f_6#(x) -> g_6#(x,x)
16: g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
15: g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
3: f_5#(x) -> g_5#(x,x)
14: g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
13: g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
2: f_4#(x) -> g_4#(x,x)
12: g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
11: g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
1: f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
10: g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
************ Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*********** Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
2: g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: NaturalPI WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a polynomial interpretation of kind constructor-based(mixed(2)):
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_2) = {1},
uargs(c_4) = {1},
uargs(c_12) = {1},
uargs(c_14) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = 0
p(b) = x2
p(f_0) = 1
p(f_1) = 0
p(f_10) = 1
p(f_2) = 0
p(f_3) = 1
p(f_4) = 0
p(f_5) = 4 + 4*x1 + x1^2
p(f_6) = x1 + x1^2
p(f_7) = 0
p(f_8) = 1
p(f_9) = 1 + x1^2
p(g_1) = x1 + x1^2
p(g_10) = x1^2 + x2 + x2^2
p(g_2) = x1*x2 + 4*x1^2 + x2 + x2^2
p(g_3) = x1 + x1*x2
p(g_4) = x1^2 + x2 + x2^2
p(g_5) = 4 + 4*x1^2 + x2^2
p(g_6) = 1 + 2*x1*x2 + x1^2 + 2*x2 + 2*x2^2
p(g_7) = 2 + x1 + x1*x2 + 4*x1^2 + x2 + x2^2
p(g_8) = 1 + x2
p(g_9) = 1 + x1 + 4*x2^2
p(s) = 1 + x1
p(f_0#) = 2*x1 + 4*x1^2
p(f_1#) = 5*x1
p(f_10#) = x1^2
p(f_2#) = 4 + 6*x1^2
p(f_3#) = 5 + 7*x1^2
p(f_4#) = 5 + 7*x1^2
p(f_5#) = 5 + 7*x1^2
p(f_6#) = 5 + 7*x1^2
p(f_7#) = 5 + 7*x1^2
p(f_8#) = 5 + x1 + 7*x1^2
p(f_9#) = 7 + 4*x1 + 7*x1^2
p(g_1#) = 2*x1
p(g_10#) = 4 + x1*x2 + 4*x1^2 + 7*x2 + 7*x2^2
p(g_2#) = 6*x1*x2
p(g_3#) = 4 + 6*x2^2
p(g_4#) = 5 + 7*x2^2
p(g_5#) = 5 + 7*x2^2
p(g_6#) = 5 + 7*x2^2
p(g_7#) = 5 + 7*x2^2
p(g_8#) = 4 + x1 + 7*x2^2
p(g_9#) = 7 + x1 + 2*x2 + 7*x2^2
p(c_1) = 0
p(c_2) = x1
p(c_3) = 0
p(c_4) = 1 + x1
p(c_5) = 1 + x1
p(c_6) = 1
p(c_7) = 0
p(c_8) = 0
p(c_9) = 0
p(c_10) = 1
p(c_11) = 1 + x1
p(c_12) = x1
p(c_13) = x1
p(c_14) = x1 + x2
p(c_15) = x1
p(c_16) = 0
p(c_17) = x1
p(c_18) = x2
p(c_19) = 1 + x2
p(c_20) = 0
p(c_21) = x2
Following rules are strictly oriented:
g_1#(s(x),y) = 2 + 2*x
> 2*x
= c_12(g_1#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_1#(x) = 5*x
>= 2*x
= c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) = 4 + 6*x^2
>= 1 + 6*x^2
= c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) = 5 + 7*x^2
>= 4 + 6*x^2
= g_3#(x,x)
f_4#(x) = 5 + 7*x^2
>= 5 + 7*x^2
= g_4#(x,x)
f_5#(x) = 5 + 7*x^2
>= 5 + 7*x^2
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = 5 + 7*x^2
>= 5 + 7*x^2
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = 5 + 7*x^2
>= 5 + 7*x^2
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = 5 + x + 7*x^2
>= 4 + x + 7*x^2
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = 7 + 4*x + 7*x^2
>= 7 + 3*x + 7*x^2
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = 8 + 8*x + x*y + 4*x^2 + 8*y + 7*y^2
>= 7 + 4*y + 7*y^2
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = 8 + 8*x + x*y + 4*x^2 + 8*y + 7*y^2
>= 4 + x*y + 4*x^2 + 7*y + 7*y^2
= g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) = 6*x*y + 6*y
>= 6*x*y + 5*y
= c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) = 4 + 6*y^2
>= 4 + 6*y^2
= f_2#(y)
g_3#(s(x),y) = 4 + 6*y^2
>= 4 + 6*y^2
= g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) = 5 + 7*y^2
>= 5 + 7*y^2
= f_3#(y)
g_4#(s(x),y) = 5 + 7*y^2
>= 5 + 7*y^2
= g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) = 5 + 7*y^2
>= 5 + 7*y^2
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = 5 + 7*y^2
>= 5 + 7*y^2
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = 5 + 7*y^2
>= 5 + 7*y^2
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = 5 + 7*y^2
>= 5 + 7*y^2
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = 5 + 7*y^2
>= 5 + 7*y^2
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = 5 + 7*y^2
>= 5 + 7*y^2
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = 5 + x + 7*y^2
>= 5 + 7*y^2
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = 5 + x + 7*y^2
>= 4 + x + 7*y^2
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = 8 + x + 2*y + 7*y^2
>= 5 + y + 7*y^2
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = 8 + x + 2*y + 7*y^2
>= 7 + x + 2*y + 7*y^2
= g_9#(x,y)
************ Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
-->_1 g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y)):10
2:W:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
3:W:f_3#(x) -> g_3#(x,x)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):15
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):14
4:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):17
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):16
5:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):19
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):18
6:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):21
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):20
7:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):23
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):22
8:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):25
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):24
9:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):27
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):26
10:W:g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
-->_1 g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y)):10
11:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):9
12:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):12
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):11
13:W:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
-->_1 f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x)):1
14:W:g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):2
15:W:g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):15
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):14
16:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> g_3#(x,x):3
17:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):17
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):16
18:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):4
19:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):19
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):18
20:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):5
21:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):21
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):20
22:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):6
23:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):23
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):22
24:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):7
25:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):25
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):24
26:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):8
27:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):27
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):26
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
10: g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
************ Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
2:W:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
3:W:f_3#(x) -> g_3#(x,x)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):15
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):14
4:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):17
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):16
5:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):19
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):18
6:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):21
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):20
7:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):23
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):22
8:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):25
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):24
9:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):27
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):26
11:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):9
12:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):12
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):11
13:W:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
-->_1 f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x)):1
14:W:g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):2
15:W:g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):15
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):14
16:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> g_3#(x,x):3
17:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):17
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):16
18:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):4
19:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):19
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):18
20:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):5
21:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):21
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):20
22:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):6
23:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):23
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):22
24:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):7
25:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):25
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):24
26:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):8
27:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):27
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):26
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
f_1#(x) -> c_2()
************ Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?
,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2()
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: f_1#(x) -> c_2()
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_1#(x) -> c_2()
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_4) = {1},
uargs(c_14) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [8]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [4]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [8] x1 + [0]
p(f_3#) = [11] x1 + [0]
p(f_4#) = [11] x1 + [0]
p(f_5#) = [11] x1 + [0]
p(f_6#) = [11] x1 + [0]
p(f_7#) = [11] x1 + [1]
p(f_8#) = [11] x1 + [1]
p(f_9#) = [11] x1 + [8]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [1] x1 + [11] x2 + [12]
p(g_2#) = [2] x1 + [0]
p(g_3#) = [2] x1 + [8] x2 + [0]
p(g_4#) = [11] x2 + [0]
p(g_5#) = [11] x2 + [0]
p(g_6#) = [11] x2 + [0]
p(g_7#) = [11] x2 + [1]
p(g_8#) = [11] x2 + [1]
p(g_9#) = [11] x2 + [8]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [1]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [4] x1 + [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [2]
p(c_13) = [1] x1 + [1]
p(c_14) = [3] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_15) = [1] x1 + [2]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [8] x1 + [0]
p(c_18) = [1]
p(c_19) = [1] x2 + [1]
p(c_20) = [1] x1 + [2]
p(c_21) = [1]
Following rules are strictly oriented:
f_1#(x) = [4]
> [1]
= c_2()
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_2#(x) = [8] x + [0]
>= [8] x + [0]
= c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) = [11] x + [0]
>= [10] x + [0]
= g_3#(x,x)
f_4#(x) = [11] x + [0]
>= [11] x + [0]
= g_4#(x,x)
f_5#(x) = [11] x + [0]
>= [11] x + [0]
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = [11] x + [0]
>= [11] x + [0]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [11] x + [1]
>= [11] x + [1]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [11] x + [1]
>= [11] x + [1]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [11] x + [8]
>= [11] x + [8]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [11] y + [20]
>= [11] y + [8]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [11] y + [20]
>= [1] x + [11] y + [12]
= g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) = [2] x + [16]
>= [2] x + [13]
= c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) = [2] x + [8] y + [16]
>= [8] y + [0]
= f_2#(y)
g_3#(s(x),y) = [2] x + [8] y + [16]
>= [2] x + [8] y + [0]
= g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) = [11] y + [0]
>= [11] y + [0]
= f_3#(y)
g_4#(s(x),y) = [11] y + [0]
>= [11] y + [0]
= g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) = [11] y + [0]
>= [11] y + [0]
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = [11] y + [0]
>= [11] y + [0]
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [11] y + [0]
>= [11] y + [0]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [11] y + [0]
>= [11] y + [0]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [11] y + [1]
>= [11] y + [0]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [11] y + [1]
>= [11] y + [1]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [11] y + [1]
>= [11] y + [1]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [11] y + [1]
>= [11] y + [1]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [11] y + [8]
>= [11] y + [1]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [11] y + [8]
>= [11] y + [8]
= g_9#(x,y)
************* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_1#(x) -> c_2()
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_1#(x) -> c_2()
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_1#(x) -> c_2()
2:W:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):12
3:W:f_3#(x) -> g_3#(x,x)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):14
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):13
4:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):16
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):15
5:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):18
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):17
6:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):20
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):19
7:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):22
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):21
8:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):24
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):23
9:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):26
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):25
10:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):9
11:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):11
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):10
12:W:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):12
-->_1 f_1#(x) -> c_2():1
13:W:g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):2
14:W:g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):14
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):13
15:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> g_3#(x,x):3
16:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):16
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):15
17:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):4
18:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):18
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):17
19:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):5
20:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):20
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):19
21:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):6
22:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):22
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):21
23:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):7
24:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):24
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):23
25:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):8
26:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):26
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):25
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
11: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
10: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
9: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
26: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
25: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
8: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
24: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
23: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
7: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
22: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
21: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
6: f_6#(x) -> g_6#(x,x)
20: g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
19: g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
5: f_5#(x) -> g_5#(x,x)
18: g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
17: g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
4: f_4#(x) -> g_4#(x,x)
16: g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
15: g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
3: f_3#(x) -> g_3#(x,x)
14: g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
13: g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
2: f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
12: g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
1: f_1#(x) -> c_2()
************* Step 1.b:7.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*** Step 1.b:7.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^9))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):10
2:S:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):11
3:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):12
4:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):13
5:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):14
6:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):15
7:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):16
8:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):17
9:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):9
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):8
10:S:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_1 f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x)):18
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):10
11:S:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):11
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):1
12:S:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):12
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):2
13:S:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):13
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):3
14:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):14
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):4
15:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):15
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):5
16:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):16
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):6
17:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):17
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):7
18:W:f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
-->_1 g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y)):19
19:W:g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
-->_1 g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y)):19
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
18: f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
19: g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
*** Step 1.b:7.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^9))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):10
2:S:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):11
3:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):12
4:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):13
5:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):14
6:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):15
7:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):16
8:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):17
9:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):9
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):8
10:S:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):10
11:S:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):11
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):1
12:S:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):12
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):2
13:S:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):13
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):3
14:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):14
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):4
15:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):15
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):5
16:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):16
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):6
17:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):17
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):7
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
*** Step 1.b:7.b:3: Decompose WORST_CASE(?,O(n^9))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Decompose {onSelection = all cycle independent sub-graph, withBound = RelativeAdd}
+ Details:
We analyse the complexity of following sub-problems (R) and (S).
Problem (S) is obtained from the input problem by shifting strict rules from (R) into the weak component.
Problem (R)
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
Problem (S)
- Strict DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
**** Step 1.b:7.b:3.a:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^9))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
and a lower component
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
***** Step 1.b:7.b:3.a:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
****** Step 1.b:7.b:3.a:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_13) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x2 + [0]
p(f_0) = [2] x1 + [1]
p(f_1) = [2] x1 + [0]
p(f_10) = [2]
p(f_2) = [2] x1 + [0]
p(f_3) = [1] x1 + [1]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [1]
p(f_6) = [1] x1 + [1]
p(f_7) = [1] x1 + [1]
p(f_8) = [1]
p(f_9) = [1] x1 + [2]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [1]
p(g_2) = [2]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [4]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [0]
p(f_9#) = [0]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [1] x1 + [1]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [0]
p(g_8#) = [0]
p(g_9#) = [1] x2 + [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [1]
p(c_3) = [8]
p(c_4) = [1]
p(c_5) = [1]
p(c_6) = [2] x1 + [1]
p(c_7) = [8]
p(c_8) = [1] x1 + [0]
p(c_9) = [1] x1 + [1]
p(c_10) = [1]
p(c_11) = [1] x1 + [1]
p(c_12) = [1]
p(c_13) = [1] x2 + [3]
p(c_14) = [1] x1 + [0]
p(c_15) = [1] x2 + [0]
p(c_16) = [2] x2 + [8]
p(c_17) = [2] x2 + [1]
p(c_18) = [1] x2 + [1]
p(c_19) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_20) = [1] x1 + [0]
p(c_21) = [1]
Following rules are strictly oriented:
g_10#(s(x),y) = [1] x + [5]
> [1] x + [4]
= c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
****** Step 1.b:7.b:3.a:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
****** Step 1.b:7.b:3.a:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):1
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
****** Step 1.b:7.b:3.a:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
***** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^8))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
and a lower component
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
****** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
******* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_11) = {1},
uargs(c_21) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [1]
p(b) = [1]
p(f_0) = [1]
p(f_1) = [2] x1 + [2]
p(f_10) = [1] x1 + [0]
p(f_2) = [1] x1 + [0]
p(f_3) = [2] x1 + [2]
p(f_4) = [2] x1 + [0]
p(f_5) = [1]
p(f_6) = [2] x1 + [0]
p(f_7) = [2] x1 + [0]
p(f_8) = [1] x1 + [2]
p(f_9) = [1]
p(g_1) = [8] x1 + [2]
p(g_10) = [1] x1 + [1]
p(g_2) = [1] x1 + [1]
p(g_3) = [2] x2 + [2]
p(g_4) = [1]
p(g_5) = [1] x2 + [1]
p(g_6) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_7) = [4] x2 + [1]
p(g_8) = [1]
p(g_9) = [8] x1 + [8] x2 + [1]
p(s) = [1] x1 + [1]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [2]
p(f_10#) = [1] x1 + [0]
p(f_2#) = [1] x1 + [0]
p(f_3#) = [1]
p(f_4#) = [1] x1 + [2]
p(f_5#) = [1] x1 + [1]
p(f_6#) = [1] x1 + [1]
p(f_7#) = [8] x1 + [1]
p(f_8#) = [5]
p(f_9#) = [12] x1 + [12]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [11] x1 + [14] x2 + [1]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [2]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [2]
p(g_7#) = [2] x1 + [0]
p(g_8#) = [2] x2 + [0]
p(g_9#) = [8] x1 + [4] x2 + [8]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [1] x1 + [0]
p(c_3) = [1] x1 + [0]
p(c_4) = [1] x1 + [0]
p(c_5) = [1] x1 + [1]
p(c_6) = [1] x1 + [1]
p(c_7) = [1] x1 + [1]
p(c_8) = [2]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [1] x1 + [4]
p(c_12) = [1] x1 + [2]
p(c_13) = [1] x2 + [1]
p(c_14) = [8] x1 + [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [4] x1 + [1]
p(c_17) = [2] x1 + [8]
p(c_18) = [1] x1 + [2] x2 + [1]
p(c_19) = [1] x1 + [2]
p(c_20) = [1] x1 + [2]
p(c_21) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
Following rules are strictly oriented:
g_9#(s(x),y) = [8] x + [4] y + [16]
> [8] x + [4] y + [14]
= c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_9#(x) = [12] x + [12]
>= [12] x + [12]
= c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) = [11] x + [14] y + [12]
>= [12] y + [12]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [11] x + [14] y + [12]
>= [11] x + [14] y + [1]
= g_10#(x,y)
******* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
******* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
2:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):1
3:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):3
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):2
4:W:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
3: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
2: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
1: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
4: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
******* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
****** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^7))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
******* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
******** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_10) = {1},
uargs(c_20) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [1]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [2] x1 + [0]
p(f_9#) = [2] x1 + [5]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [2] x2 + [5]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [0]
p(g_8#) = [2] x1 + [0]
p(g_9#) = [2] x2 + [5]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [1] x1 + [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [0]
p(c_18) = [0]
p(c_19) = [0]
p(c_20) = [1] x2 + [0]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
g_8#(s(x),y) = [2] x + [2]
> [2] x + [0]
= c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_8#(x) = [2] x + [0]
>= [2] x + [0]
= c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) = [2] x + [5]
>= [2] x + [5]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [2] y + [5]
>= [2] y + [5]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [2] y + [5]
>= [2] y + [5]
= g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [2] y + [5]
>= [2] y + [0]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [2] y + [5]
>= [2] y + [5]
= g_9#(x,y)
******** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
******** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):5
2:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):7
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):6
3:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):2
4:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):4
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):3
5:W:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):5
6:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):1
7:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):7
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):6
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
4: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
3: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
2: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
7: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
6: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
1: f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
5: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
******** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
******* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^6))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
******** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
********* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_9) = {1},
uargs(c_19) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [4]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [8] x1 + [8]
p(f_8#) = [9] x1 + [8]
p(f_9#) = [11] x1 + [0]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [12] x2 + [0]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [4] x1 + [3]
p(g_8#) = [8] x2 + [8]
p(g_9#) = [2] x1 + [9] x2 + [0]
p(c_1) = [1]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [1] x1 + [0]
p(c_4) = [1] x1 + [1]
p(c_5) = [1] x1 + [0]
p(c_6) = [2]
p(c_7) = [1] x1 + [0]
p(c_8) = [2] x1 + [1]
p(c_9) = [2] x1 + [0]
p(c_10) = [1]
p(c_11) = [1] x1 + [0]
p(c_12) = [1] x1 + [1]
p(c_13) = [1]
p(c_14) = [1]
p(c_15) = [1]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [1] x1 + [1] x2 + [8]
p(c_18) = [2]
p(c_19) = [1] x2 + [8]
p(c_20) = [1] x1 + [1]
p(c_21) = [8] x2 + [1]
Following rules are strictly oriented:
g_7#(s(x),y) = [4] x + [19]
> [4] x + [11]
= c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_7#(x) = [8] x + [8]
>= [8] x + [6]
= c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) = [9] x + [8]
>= [8] x + [8]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [11] x + [0]
>= [11] x + [0]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [12] y + [0]
>= [11] y + [0]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [12] y + [0]
>= [12] y + [0]
= g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [8] y + [8]
>= [8] y + [8]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [8] y + [8]
>= [8] y + [8]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [2] x + [9] y + [8]
>= [9] y + [8]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [2] x + [9] y + [8]
>= [2] x + [9] y + [0]
= g_9#(x,y)
********* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
********* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):6
2:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):8
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):7
3:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):10
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):9
4:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):3
5:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):5
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):4
6:W:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):6
7:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):1
8:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):8
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):7
9:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):2
10:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):10
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):9
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
5: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
4: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
3: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
10: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
9: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
2: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
8: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
7: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
1: f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
6: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
********* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
******** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^5))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
********* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
********** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_8) = {1},
uargs(c_18) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1]
p(f_0) = [1] x1 + [1]
p(f_1) = [1] x1 + [1]
p(f_10) = [1]
p(f_2) = [2] x1 + [0]
p(f_3) = [1]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [2] x1 + [1]
p(f_6) = [2]
p(f_7) = [1]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [2] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_10) = [1] x1 + [1]
p(g_2) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_3) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_4) = [1] x2 + [1]
p(g_5) = [1] x1 + [2]
p(g_6) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_7) = [1]
p(g_8) = [1] x1 + [2] x2 + [0]
p(g_9) = [2] x1 + [8] x2 + [1]
p(s) = [1] x1 + [8]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [2]
p(f_6#) = [1] x1 + [12]
p(f_7#) = [2] x1 + [13]
p(f_8#) = [3] x1 + [8]
p(f_9#) = [7] x1 + [8]
p(g_1#) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_10#) = [1] x1 + [7] x2 + [0]
p(g_2#) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_3#) = [2] x2 + [0]
p(g_4#) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [1] x1 + [0]
p(g_7#) = [1] x2 + [12]
p(g_8#) = [1] x1 + [2] x2 + [8]
p(g_9#) = [1] x1 + [5] x2 + [8]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [2] x1 + [0]
p(c_3) = [2] x1 + [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [1] x1 + [0]
p(c_6) = [8] x1 + [0]
p(c_7) = [2] x1 + [0]
p(c_8) = [1] x1 + [12]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [2] x1 + [0]
p(c_11) = [8] x1 + [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [0]
p(c_18) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_19) = [0]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
g_6#(s(x),y) = [1] x + [8]
> [1] x + [4]
= c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_6#(x) = [1] x + [12]
>= [1] x + [12]
= c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) = [2] x + [13]
>= [1] x + [12]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [3] x + [8]
>= [3] x + [8]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [7] x + [8]
>= [6] x + [8]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [7] y + [8]
>= [7] y + [8]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [7] y + [8]
>= [1] x + [7] y + [0]
= g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [1] y + [12]
>= [1] y + [12]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [1] y + [12]
>= [1] y + [12]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [1] x + [2] y + [16]
>= [2] y + [13]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [1] x + [2] y + [16]
>= [1] x + [2] y + [8]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [1] x + [5] y + [16]
>= [3] y + [8]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [1] x + [5] y + [16]
>= [1] x + [5] y + [8]
= g_9#(x,y)
********** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
********** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):7
2:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):9
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):8
3:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):11
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):10
4:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):13
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):12
5:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):4
6:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):6
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):5
7:W:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):7
8:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):1
9:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):9
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):8
10:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):2
11:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):11
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):10
12:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):3
13:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):13
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):12
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
6: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
5: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
4: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
13: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
12: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
3: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
11: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
10: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
2: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
9: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
8: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
1: f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
7: g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
********** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^4))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
********** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*********** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_7) = {1},
uargs(c_17) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [8]
p(b) = [1] x2 + [1]
p(f_0) = [1] x1 + [8]
p(f_1) = [8]
p(f_10) = [1] x1 + [0]
p(f_2) = [1] x1 + [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [1] x1 + [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [1] x1 + [0]
p(g_3) = [2]
p(g_4) = [1] x1 + [0]
p(g_5) = [2]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [4]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [1]
p(f_5#) = [2] x1 + [0]
p(f_6#) = [2] x1 + [0]
p(f_7#) = [8] x1 + [4]
p(f_8#) = [9] x1 + [4]
p(f_9#) = [14] x1 + [4]
p(g_1#) = [4] x1 + [0]
p(g_10#) = [14] x2 + [13]
p(g_2#) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [2] x1 + [0]
p(g_5#) = [2] x1 + [0]
p(g_6#) = [2] x2 + [0]
p(g_7#) = [8] x2 + [0]
p(g_8#) = [8] x2 + [4]
p(g_9#) = [12] x2 + [4]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [2] x1 + [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [1] x1 + [0]
p(c_6) = [1] x1 + [0]
p(c_7) = [1] x1 + [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [4] x1 + [0]
p(c_12) = [1] x1 + [0]
p(c_13) = [0]
p(c_14) = [1] x1 + [0]
p(c_15) = [4] x2 + [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [1] x1 + [1] x2 + [5]
p(c_18) = [1] x1 + [0]
p(c_19) = [1] x1 + [0]
p(c_20) = [1] x1 + [8] x2 + [0]
p(c_21) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
Following rules are strictly oriented:
g_5#(s(x),y) = [2] x + [8]
> [2] x + [6]
= c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_5#(x) = [2] x + [0]
>= [2] x + [0]
= c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) = [2] x + [0]
>= [2] x + [0]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [8] x + [4]
>= [8] x + [0]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [9] x + [4]
>= [8] x + [4]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [14] x + [4]
>= [12] x + [4]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [14] y + [13]
>= [14] y + [4]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [14] y + [13]
>= [14] y + [13]
= g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [2] y + [0]
>= [2] y + [0]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [2] y + [0]
>= [2] y + [0]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [2] y + [0]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [8] y + [4]
>= [8] y + [4]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [8] y + [4]
>= [8] y + [4]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [12] y + [4]
>= [9] y + [4]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [12] y + [4]
>= [12] y + [4]
= g_9#(x,y)
*********** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
*********** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):8
2:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):10
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):9
3:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):12
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):11
4:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):14
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):13
5:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):16
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):15
6:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):5
7:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):7
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):6
8:W:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):8
9:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):1
10:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):10
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):9
11:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):2
12:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):12
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):11
13:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):3
14:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):14
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):13
15:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):4
16:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):16
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):15
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
7: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
6: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
5: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
16: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
15: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
4: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
14: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
13: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
3: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
12: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
11: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
2: f_6#(x) -> g_6#(x,x)
10: g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
9: g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
1: f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
8: g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
*********** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^3))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
*********** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_6) = {1},
uargs(c_16) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [4]
p(b) = [1] x2 + [0]
p(f_0) = [1]
p(f_1) = [2] x1 + [0]
p(f_10) = [1]
p(f_2) = [1] x1 + [1]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [4]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [2]
p(f_4#) = [14] x1 + [0]
p(f_5#) = [14] x1 + [0]
p(f_6#) = [14] x1 + [2]
p(f_7#) = [15] x1 + [7]
p(f_8#) = [15] x1 + [7]
p(f_9#) = [15] x1 + [11]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [4] x1 + [15] x2 + [1]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [4] x1 + [3] x2 + [0]
p(g_5#) = [14] x2 + [0]
p(g_6#) = [14] x2 + [1]
p(g_7#) = [15] x2 + [7]
p(g_8#) = [15] x2 + [7]
p(g_9#) = [15] x2 + [10]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [2] x1 + [0]
p(c_3) = [1] x1 + [0]
p(c_4) = [1] x1 + [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [2] x1 + [0]
p(c_7) = [1] x1 + [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [8] x1 + [2]
p(c_10) = [2] x1 + [2]
p(c_11) = [1] x1 + [1]
p(c_12) = [4]
p(c_13) = [2] x2 + [4]
p(c_14) = [1] x1 + [1]
p(c_15) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_16) = [2] x1 + [1] x2 + [4]
p(c_17) = [1] x1 + [0]
p(c_18) = [2] x2 + [0]
p(c_19) = [1] x2 + [8]
p(c_20) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_21) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
Following rules are strictly oriented:
g_4#(s(x),y) = [4] x + [3] y + [16]
> [4] x + [3] y + [8]
= c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_4#(x) = [14] x + [0]
>= [14] x + [0]
= c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) = [14] x + [0]
>= [14] x + [0]
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = [14] x + [2]
>= [14] x + [1]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [15] x + [7]
>= [15] x + [7]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [15] x + [7]
>= [15] x + [7]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [15] x + [11]
>= [15] x + [10]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [4] x + [15] y + [17]
>= [15] y + [11]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [4] x + [15] y + [17]
>= [4] x + [15] y + [1]
= g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) = [14] y + [0]
>= [14] y + [0]
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = [14] y + [0]
>= [14] y + [0]
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [14] y + [1]
>= [14] y + [0]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [14] y + [1]
>= [14] y + [1]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [15] y + [7]
>= [14] y + [2]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [15] y + [7]
>= [15] y + [7]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [15] y + [7]
>= [15] y + [7]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [15] y + [7]
>= [15] y + [7]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [15] y + [10]
>= [15] y + [7]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [15] y + [10]
>= [15] y + [10]
= g_9#(x,y)
************ Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):9
2:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):11
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):10
3:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):13
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):12
4:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):15
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):14
5:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):17
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):16
6:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):19
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):18
7:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):6
8:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):8
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):7
9:W:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):9
10:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):1
11:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):11
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):10
12:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):2
13:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):13
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):12
14:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):3
15:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):15
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):14
16:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):4
17:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):17
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):16
18:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):5
19:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):19
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):18
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
8: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
7: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
6: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
19: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
18: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
5: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
17: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
16: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
4: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
15: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
14: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
3: f_6#(x) -> g_6#(x,x)
13: g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
12: g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
2: f_5#(x) -> g_5#(x,x)
11: g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
10: g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
1: f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
9: g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*********** Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
2: g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: NaturalPI WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a polynomial interpretation of kind constructor-based(mixed(2)):
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_4) = {1},
uargs(c_5) = {1},
uargs(c_14) = {1},
uargs(c_15) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = 0
p(b) = x1
p(f_0) = 1 + x1
p(f_1) = 4*x1^2
p(f_10) = 1 + x1
p(f_2) = 4 + 2*x1^2
p(f_3) = x1 + 2*x1^2
p(f_4) = 1
p(f_5) = 1 + 4*x1 + x1^2
p(f_6) = x1
p(f_7) = 1 + x1^2
p(f_8) = 4 + 4*x1^2
p(f_9) = 2 + x1 + x1^2
p(g_1) = 4*x1*x2 + x1^2 + 4*x2
p(g_10) = 1 + x1 + x1^2
p(g_2) = 0
p(g_3) = x1 + x1^2 + x2 + 4*x2^2
p(g_4) = x1^2
p(g_5) = 4 + 4*x2 + 2*x2^2
p(g_6) = 4*x1*x2 + 2*x1^2 + 2*x2
p(g_7) = x1 + x1^2 + x2 + x2^2
p(g_8) = 1 + x1 + 4*x1*x2 + x1^2 + x2
p(g_9) = 1 + x1*x2 + x2
p(s) = 1 + x1
p(f_0#) = 4*x1 + x1^2
p(f_1#) = 1 + x1 + x1^2
p(f_10#) = 1 + 2*x1
p(f_2#) = 1 + 4*x1
p(f_3#) = 1 + x1 + 4*x1^2
p(f_4#) = x1 + 6*x1^2
p(f_5#) = x1 + 6*x1^2
p(f_6#) = x1 + 6*x1^2
p(f_7#) = x1 + 6*x1^2
p(f_8#) = 5*x1 + 6*x1^2
p(f_9#) = 4 + 7*x1 + 7*x1^2
p(g_1#) = x2
p(g_10#) = 2 + 2*x1 + 5*x1*x2 + 3*x1^2 + 6*x2 + 7*x2^2
p(g_2#) = 4*x1
p(g_3#) = x1 + 4*x1*x2
p(g_4#) = x1*x2 + x1^2 + 4*x2^2
p(g_5#) = x2 + 6*x2^2
p(g_6#) = x2 + 6*x2^2
p(g_7#) = x2 + 6*x2^2
p(g_8#) = x2 + 6*x2^2
p(g_9#) = 1 + x1*x2 + 7*x2 + 6*x2^2
p(c_1) = 1
p(c_2) = 1 + x1
p(c_3) = x1
p(c_4) = 1 + x1
p(c_5) = 1 + x1
p(c_6) = 0
p(c_7) = 1 + x1
p(c_8) = x1
p(c_9) = 0
p(c_10) = 1
p(c_11) = 0
p(c_12) = x1
p(c_13) = 0
p(c_14) = x1
p(c_15) = x1 + x2
p(c_16) = 1
p(c_17) = x2
p(c_18) = 1 + x1
p(c_19) = x1
p(c_20) = x1
p(c_21) = 1
Following rules are strictly oriented:
g_2#(s(x),y) = 4 + 4*x
> 4*x
= c_14(g_2#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_2#(x) = 1 + 4*x
>= 1 + 4*x
= c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) = 1 + x + 4*x^2
>= 1 + x + 4*x^2
= c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) = x + 6*x^2
>= 6*x^2
= g_4#(x,x)
f_5#(x) = x + 6*x^2
>= x + 6*x^2
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = x + 6*x^2
>= x + 6*x^2
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = x + 6*x^2
>= x + 6*x^2
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = 5*x + 6*x^2
>= x + 6*x^2
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = 4 + 7*x + 7*x^2
>= 1 + 7*x + 7*x^2
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = 7 + 8*x + 5*x*y + 3*x^2 + 11*y + 7*y^2
>= 4 + 7*y + 7*y^2
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = 7 + 8*x + 5*x*y + 3*x^2 + 11*y + 7*y^2
>= 2 + 2*x + 5*x*y + 3*x^2 + 6*y + 7*y^2
= g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) = 1 + x + 4*x*y + 4*y
>= 1 + x + 4*x*y + 4*y
= c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) = 1 + 2*x + x*y + x^2 + y + 4*y^2
>= 1 + y + 4*y^2
= f_3#(y)
g_4#(s(x),y) = 1 + 2*x + x*y + x^2 + y + 4*y^2
>= x*y + x^2 + 4*y^2
= g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) = y + 6*y^2
>= y + 6*y^2
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = y + 6*y^2
>= y + 6*y^2
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = y + 6*y^2
>= y + 6*y^2
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = y + 6*y^2
>= y + 6*y^2
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = y + 6*y^2
>= y + 6*y^2
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = y + 6*y^2
>= y + 6*y^2
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = y + 6*y^2
>= y + 6*y^2
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = y + 6*y^2
>= y + 6*y^2
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = 1 + x*y + 8*y + 6*y^2
>= 5*y + 6*y^2
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = 1 + x*y + 8*y + 6*y^2
>= 1 + x*y + 7*y + 6*y^2
= g_9#(x,y)
************ Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y)):11
2:W:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):12
3:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):14
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):13
4:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):16
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):15
5:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):18
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):17
6:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):20
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):19
7:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):22
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):21
8:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):24
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):23
9:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):8
10:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):10
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):9
11:W:g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y)):11
12:W:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):12
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):1
13:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):2
14:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):14
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):13
15:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):3
16:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):16
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):15
17:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):4
18:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):18
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):17
19:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):5
20:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):20
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):19
21:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):6
22:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):22
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):21
23:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):7
24:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):24
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):23
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
11: g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
2:W:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):12
3:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):14
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):13
4:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):16
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):15
5:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):18
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):17
6:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):20
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):19
7:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):22
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):21
8:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):24
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):23
9:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):8
10:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):10
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):9
12:W:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):12
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):1
13:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):2
14:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):14
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):13
15:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):3
16:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):16
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):15
17:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):4
18:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):18
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):17
19:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):5
20:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):20
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):19
21:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):6
22:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):22
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):21
23:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):7
24:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):24
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):23
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
f_2#(x) -> c_4()
************ Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?
,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4()
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/0,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: f_2#(x) -> c_4()
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_2#(x) -> c_4()
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/0,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_5) = {1},
uargs(c_15) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [1] x1 + [0]
p(g_7) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_8) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_9) = [1] x1 + [1]
p(s) = [1] x1 + [2]
p(f_0#) = [1]
p(f_1#) = [2]
p(f_10#) = [2] x1 + [0]
p(f_2#) = [4]
p(f_3#) = [8] x1 + [0]
p(f_4#) = [8] x1 + [8]
p(f_5#) = [10] x1 + [4]
p(f_6#) = [10] x1 + [5]
p(f_7#) = [11] x1 + [8]
p(f_8#) = [11] x1 + [9]
p(f_9#) = [15] x1 + [12]
p(g_1#) = [1] x2 + [0]
p(g_10#) = [15] x2 + [13]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [8] x1 + [0]
p(g_4#) = [8] x2 + [0]
p(g_5#) = [2] x1 + [8] x2 + [4]
p(g_6#) = [10] x2 + [5]
p(g_7#) = [1] x1 + [10] x2 + [3]
p(g_8#) = [11] x2 + [8]
p(g_9#) = [4] x1 + [11] x2 + [8]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [1] x1 + [0]
p(c_3) = [1] x1 + [0]
p(c_4) = [2]
p(c_5) = [1] x1 + [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [1] x1 + [1]
p(c_8) = [1] x1 + [1]
p(c_9) = [1] x1 + [1]
p(c_10) = [1] x1 + [8]
p(c_11) = [1]
p(c_12) = [2] x1 + [1]
p(c_13) = [1] x1 + [1]
p(c_14) = [1] x1 + [1]
p(c_15) = [4] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_16) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_17) = [1] x1 + [1]
p(c_18) = [1] x1 + [1] x2 + [8]
p(c_19) = [1] x1 + [4] x2 + [0]
p(c_20) = [4] x2 + [1]
p(c_21) = [1] x2 + [1]
Following rules are strictly oriented:
f_2#(x) = [4]
> [2]
= c_4()
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_3#(x) = [8] x + [0]
>= [8] x + [0]
= c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) = [8] x + [8]
>= [8] x + [0]
= g_4#(x,x)
f_5#(x) = [10] x + [4]
>= [10] x + [4]
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = [10] x + [5]
>= [10] x + [5]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [11] x + [8]
>= [11] x + [3]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [11] x + [9]
>= [11] x + [8]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [15] x + [12]
>= [15] x + [8]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [15] y + [13]
>= [15] y + [12]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [15] y + [13]
>= [15] y + [13]
= g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) = [8] x + [16]
>= [8] x + [16]
= c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= f_3#(y)
g_4#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) = [2] x + [8] y + [8]
>= [8] y + [8]
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = [2] x + [8] y + [8]
>= [2] x + [8] y + [4]
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [10] y + [5]
>= [10] y + [4]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [10] y + [5]
>= [10] y + [5]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [1] x + [10] y + [5]
>= [10] y + [5]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [1] x + [10] y + [5]
>= [1] x + [10] y + [3]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [11] y + [8]
>= [11] y + [8]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [11] y + [8]
>= [11] y + [8]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [4] x + [11] y + [16]
>= [11] y + [9]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [4] x + [11] y + [16]
>= [4] x + [11] y + [8]
= g_9#(x,y)
************* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4()
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/0,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4()
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/0,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_2#(x) -> c_4()
2:W:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):11
3:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):13
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):12
4:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):15
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):14
5:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):17
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):16
6:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):19
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):18
7:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):21
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):20
8:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):23
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):22
9:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):8
10:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):10
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):9
11:W:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):11
-->_1 f_2#(x) -> c_4():1
12:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):2
13:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):13
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):12
14:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):3
15:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):15
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):14
16:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):4
17:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):17
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):16
18:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):5
19:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):19
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):18
20:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):6
21:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):21
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):20
22:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):7
23:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):23
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):22
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
10: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
9: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
8: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
23: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
22: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
7: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
21: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
20: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
6: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
19: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
18: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
5: f_6#(x) -> g_6#(x,x)
17: g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
16: g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
4: f_5#(x) -> g_5#(x,x)
15: g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
14: g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
3: f_4#(x) -> g_4#(x,x)
13: g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
12: g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
2: f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
11: g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
1: f_2#(x) -> c_4()
************* Step 1.b:7.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/0,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
**** Step 1.b:7.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^8))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):9
2:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):10
3:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):11
4:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):12
5:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):13
6:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):14
7:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):15
8:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):8
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):7
9:S:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):16
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):9
10:S:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):10
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):1
11:S:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):11
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):2
12:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):12
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):3
13:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):13
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):4
14:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):14
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):5
15:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):15
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):6
16:W:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y)):17
17:W:g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y)):17
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
16: f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
17: g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
**** Step 1.b:7.b:3.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^8))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):9
2:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):10
3:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):11
4:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):12
5:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):13
6:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):14
7:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):15
8:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):8
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):7
9:S:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):9
10:S:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):10
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):1
11:S:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):11
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):2
12:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):12
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):3
13:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):13
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):4
14:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):14
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):5
15:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):15
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):6
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
**** Step 1.b:7.b:3.b:3: Decompose WORST_CASE(?,O(n^8))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Decompose {onSelection = all cycle independent sub-graph, withBound = RelativeAdd}
+ Details:
We analyse the complexity of following sub-problems (R) and (S).
Problem (S) is obtained from the input problem by shifting strict rules from (R) into the weak component.
Problem (R)
- Strict DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
Problem (S)
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
***** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^8))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
and a lower component
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
****** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
******* Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_13) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [2]
p(b) = [1] x1 + [2]
p(f_0) = [1] x1 + [1]
p(f_1) = [1] x1 + [1]
p(f_10) = [2] x1 + [1]
p(f_2) = [1] x1 + [1]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [1] x1 + [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [1] x1 + [1]
p(f_9) = [1]
p(g_1) = [1]
p(g_10) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_2) = [1]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [9]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [0]
p(f_9#) = [4]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [2] x1 + [9]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [0]
p(g_8#) = [0]
p(g_9#) = [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [1]
p(c_4) = [2] x1 + [0]
p(c_5) = [8] x1 + [8]
p(c_6) = [1]
p(c_7) = [1] x1 + [1]
p(c_8) = [1] x1 + [1]
p(c_9) = [8] x1 + [1]
p(c_10) = [4]
p(c_11) = [1]
p(c_12) = [1]
p(c_13) = [4] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_14) = [1] x1 + [1]
p(c_15) = [1] x1 + [1]
p(c_16) = [1] x1 + [2]
p(c_17) = [8] x2 + [2]
p(c_18) = [1] x2 + [1]
p(c_19) = [1] x2 + [1]
p(c_20) = [8] x2 + [2]
p(c_21) = [1] x2 + [2]
Following rules are strictly oriented:
g_10#(s(x),y) = [2] x + [27]
> [2] x + [25]
= c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
******* Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
******* Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):1
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
******* Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
****** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^7))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
and a lower component
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
******* Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_11) = {1},
uargs(c_21) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [1]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [1]
p(f_1) = [8] x1 + [1]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [1] x1 + [0]
p(f_3) = [8] x1 + [1]
p(f_4) = [1] x1 + [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [2]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [1] x2 + [0]
p(g_9) = [2] x2 + [0]
p(s) = [1] x1 + [8]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [1]
p(f_9#) = [12] x1 + [0]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [14] x2 + [1]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [1] x2 + [0]
p(g_8#) = [1] x2 + [0]
p(g_9#) = [2] x1 + [4] x2 + [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [1] x1 + [0]
p(c_3) = [1]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [2]
p(c_6) = [1] x1 + [1]
p(c_7) = [1] x1 + [8]
p(c_8) = [2] x1 + [2]
p(c_9) = [1] x1 + [0]
p(c_10) = [1] x1 + [2]
p(c_11) = [2] x1 + [0]
p(c_12) = [4]
p(c_13) = [1] x2 + [0]
p(c_14) = [2] x1 + [2]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [4]
p(c_17) = [1]
p(c_18) = [2] x1 + [1]
p(c_19) = [1] x2 + [1]
p(c_20) = [1] x1 + [1]
p(c_21) = [8] x1 + [1] x2 + [4]
Following rules are strictly oriented:
g_9#(s(x),y) = [2] x + [4] y + [16]
> [2] x + [4] y + [12]
= c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_9#(x) = [12] x + [0]
>= [12] x + [0]
= c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) = [14] y + [1]
>= [12] y + [0]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [14] y + [1]
>= [14] y + [1]
= g_10#(x,y)
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
2:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):1
3:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):3
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):2
4:W:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
3: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
2: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
1: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
4: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
******* Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^6))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_10) = {1},
uargs(c_20) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [2]
p(b) = [2]
p(f_0) = [1]
p(f_1) = [2] x1 + [4]
p(f_10) = [1]
p(f_2) = [2]
p(f_3) = [2] x1 + [0]
p(f_4) = [4] x1 + [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [1] x1 + [0]
p(f_8) = [2] x1 + [1]
p(f_9) = [1] x1 + [1]
p(g_1) = [8] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_10) = [1] x1 + [2]
p(g_2) = [4] x1 + [0]
p(g_3) = [2] x1 + [2] x2 + [1]
p(g_4) = [1]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [14]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [2] x1 + [9]
p(f_9#) = [2] x1 + [14]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [1] x1 + [2] x2 + [0]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [4]
p(g_8#) = [1] x1 + [2]
p(g_9#) = [2] x2 + [9]
p(c_1) = [1]
p(c_2) = [1]
p(c_3) = [1]
p(c_4) = [1] x1 + [0]
p(c_5) = [2] x1 + [0]
p(c_6) = [1] x1 + [1]
p(c_7) = [2] x1 + [0]
p(c_8) = [4] x1 + [1]
p(c_9) = [4] x1 + [0]
p(c_10) = [2] x1 + [1]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [1] x1 + [0]
p(c_13) = [8] x2 + [2]
p(c_14) = [1]
p(c_15) = [1] x1 + [1]
p(c_16) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_17) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_18) = [0]
p(c_19) = [1] x2 + [8]
p(c_20) = [1] x2 + [10]
p(c_21) = [8] x1 + [1] x2 + [1]
Following rules are strictly oriented:
g_8#(s(x),y) = [1] x + [16]
> [1] x + [12]
= c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_8#(x) = [2] x + [9]
>= [2] x + [5]
= c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) = [2] x + [14]
>= [2] x + [9]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [2] y + [14]
>= [2] y + [14]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [2] y + [14]
>= [1] x + [2] y + [0]
= g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [2] y + [9]
>= [2] y + [9]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [2] y + [9]
>= [2] y + [9]
= g_9#(x,y)
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):5
2:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):7
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):6
3:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):2
4:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):4
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):3
5:W:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):5
6:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):1
7:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):7
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):6
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
4: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
3: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
2: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
7: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
6: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
1: f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
5: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^5))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_9) = {1},
uargs(c_19) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [1] x1 + [2]
p(f_2) = [2] x1 + [0]
p(f_3) = [1] x1 + [0]
p(f_4) = [2] x1 + [0]
p(f_5) = [1] x1 + [0]
p(f_6) = [1] x1 + [0]
p(f_7) = [1] x1 + [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [2] x1 + [0]
p(g_1) = [4] x1 + [8] x2 + [0]
p(g_10) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_2) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_3) = [1] x1 + [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [8] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_8) = [8] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_9) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(s) = [1] x1 + [8]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [2] x1 + [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [1] x1 + [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [2]
p(f_7#) = [4] x1 + [2]
p(f_8#) = [4] x1 + [2]
p(f_9#) = [5] x1 + [3]
p(g_1#) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_10#) = [2] x1 + [5] x2 + [6]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [4] x2 + [0]
p(g_4#) = [1] x2 + [0]
p(g_5#) = [1] x1 + [8] x2 + [0]
p(g_6#) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_7#) = [2] x1 + [0]
p(g_8#) = [4] x2 + [2]
p(g_9#) = [4] x2 + [2]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [8] x1 + [0]
p(c_3) = [1] x1 + [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [1] x1 + [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [1] x1 + [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [2] x1 + [2]
p(c_10) = [1] x1 + [0]
p(c_11) = [1] x1 + [0]
p(c_12) = [2] x1 + [0]
p(c_13) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [1] x2 + [0]
p(c_17) = [4] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_18) = [0]
p(c_19) = [4] x1 + [1] x2 + [6]
p(c_20) = [2] x1 + [0]
p(c_21) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
Following rules are strictly oriented:
g_7#(s(x),y) = [2] x + [16]
> [2] x + [14]
= c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_7#(x) = [4] x + [2]
>= [4] x + [2]
= c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) = [4] x + [2]
>= [4] x + [2]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [5] x + [3]
>= [4] x + [2]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [2] x + [5] y + [22]
>= [5] y + [3]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [2] x + [5] y + [22]
>= [2] x + [5] y + [6]
= g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [4] y + [2]
>= [4] y + [2]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [4] y + [2]
>= [4] y + [2]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [4] y + [2]
>= [4] y + [2]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [4] y + [2]
>= [4] y + [2]
= g_9#(x,y)
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):6
2:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):8
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):7
3:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):10
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):9
4:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):3
5:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):5
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):4
6:W:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):6
7:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):1
8:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):8
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):7
9:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):2
10:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):10
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):9
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
5: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
4: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
3: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
10: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
9: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
2: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
8: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
7: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
1: f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
6: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^4))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_8) = {1},
uargs(c_18) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [1] x2 + [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [8]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [1]
p(f_6#) = [2] x1 + [0]
p(f_7#) = [4] x1 + [0]
p(f_8#) = [8] x1 + [4]
p(f_9#) = [8] x1 + [4]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [8] x2 + [5]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [1] x1 + [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [1] x2 + [0]
p(g_6#) = [1] x1 + [0]
p(g_7#) = [3] x2 + [0]
p(g_8#) = [3] x1 + [4] x2 + [1]
p(g_9#) = [8] x2 + [4]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [8]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [2] x1 + [0]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [0]
p(c_14) = [2] x1 + [1]
p(c_15) = [1]
p(c_16) = [1] x2 + [8]
p(c_17) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_18) = [1] x1 + [1] x2 + [5]
p(c_19) = [1] x1 + [2] x2 + [0]
p(c_20) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
g_6#(s(x),y) = [1] x + [8]
> [1] x + [6]
= c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_6#(x) = [2] x + [0]
>= [2] x + [0]
= c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) = [4] x + [0]
>= [3] x + [0]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [8] x + [4]
>= [7] x + [1]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [8] x + [4]
>= [8] x + [4]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [8] y + [5]
>= [8] y + [4]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [8] y + [5]
>= [8] y + [5]
= g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [3] y + [0]
>= [2] y + [0]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [3] y + [0]
>= [3] y + [0]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [3] x + [4] y + [25]
>= [4] y + [0]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [3] x + [4] y + [25]
>= [3] x + [4] y + [1]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [8] y + [4]
>= [8] y + [4]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [8] y + [4]
>= [8] y + [4]
= g_9#(x,y)
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):7
2:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):9
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):8
3:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):11
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):10
4:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):13
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):12
5:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):4
6:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):6
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):5
7:W:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):7
8:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):1
9:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):9
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):8
10:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):2
11:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):11
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):10
12:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):3
13:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):13
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):12
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
6: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
5: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
4: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
13: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
12: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
3: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
11: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
10: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
2: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
9: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
8: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
1: f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
7: g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^3))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_7) = {1},
uargs(c_17) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [4]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [8]
p(f_10#) = [2]
p(f_2#) = [2] x1 + [0]
p(f_3#) = [2]
p(f_4#) = [1]
p(f_5#) = [8] x1 + [0]
p(f_6#) = [8] x1 + [0]
p(f_7#) = [10] x1 + [0]
p(f_8#) = [10] x1 + [0]
p(f_9#) = [10] x1 + [4]
p(g_1#) = [2] x1 + [4]
p(g_10#) = [4] x1 + [10] x2 + [0]
p(g_2#) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_3#) = [1]
p(g_4#) = [8] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_5#) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_6#) = [8] x2 + [0]
p(g_7#) = [8] x2 + [0]
p(g_8#) = [10] x2 + [0]
p(g_9#) = [10] x2 + [4]
p(c_1) = [1]
p(c_2) = [1]
p(c_3) = [1] x1 + [0]
p(c_4) = [1] x1 + [0]
p(c_5) = [1]
p(c_6) = [4]
p(c_7) = [4] x1 + [0]
p(c_8) = [8] x1 + [0]
p(c_9) = [1] x1 + [0]
p(c_10) = [1] x1 + [1]
p(c_11) = [2] x1 + [0]
p(c_12) = [2]
p(c_13) = [4] x2 + [4]
p(c_14) = [4]
p(c_15) = [1]
p(c_16) = [1] x1 + [1]
p(c_17) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_18) = [8] x1 + [4] x2 + [1]
p(c_19) = [2] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_20) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_21) = [1] x2 + [1]
Following rules are strictly oriented:
g_5#(s(x),y) = [1] x + [1] y + [4]
> [1] x + [1] y + [2]
= c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_5#(x) = [8] x + [0]
>= [8] x + [0]
= c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) = [8] x + [0]
>= [8] x + [0]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [10] x + [0]
>= [8] x + [0]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [10] x + [0]
>= [10] x + [0]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [10] x + [4]
>= [10] x + [4]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [4] x + [10] y + [16]
>= [10] y + [4]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [4] x + [10] y + [16]
>= [4] x + [10] y + [0]
= g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [10] y + [0]
>= [10] y + [0]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [10] y + [0]
>= [10] y + [0]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [10] y + [4]
>= [10] y + [0]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [10] y + [4]
>= [10] y + [4]
= g_9#(x,y)
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):8
2:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):10
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):9
3:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):12
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):11
4:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):14
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):13
5:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):16
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):15
6:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):5
7:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):7
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):6
8:W:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):8
9:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):1
10:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):10
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):9
11:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):2
12:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):12
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):11
13:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):3
14:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):14
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):13
15:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):4
16:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):16
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):15
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
7: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
6: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
5: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
16: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
15: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
4: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
14: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
13: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
3: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
12: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
11: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
2: f_6#(x) -> g_6#(x,x)
10: g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
9: g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
1: f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
8: g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
2: g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: NaturalPI WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a polynomial interpretation of kind constructor-based(mixed(2)):
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_5) = {1},
uargs(c_6) = {1},
uargs(c_15) = {1},
uargs(c_16) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = 1
p(b) = 1 + x1 + x2
p(f_0) = 4 + x1^2
p(f_1) = 1 + x1 + 2*x1^2
p(f_10) = 2 + x1^2
p(f_2) = x1
p(f_3) = 2 + 4*x1 + x1^2
p(f_4) = 2 + x1^2
p(f_5) = 0
p(f_6) = x1
p(f_7) = 0
p(f_8) = 1
p(f_9) = 4
p(g_1) = 1 + x2 + x2^2
p(g_10) = x1 + x1*x2 + 2*x1^2 + x2^2
p(g_2) = 1 + 2*x2 + 2*x2^2
p(g_3) = 2 + x1
p(g_4) = x1 + 2*x1*x2 + x1^2 + x2
p(g_5) = x1*x2 + 2*x1^2 + x2^2
p(g_6) = x2
p(g_7) = x2^2
p(g_8) = 2*x1 + x1*x2 + x1^2 + x2 + 4*x2^2
p(g_9) = 1
p(s) = 1 + x1
p(f_0#) = 1
p(f_1#) = 2 + x1
p(f_10#) = 2 + 2*x1^2
p(f_2#) = x1 + x1^2
p(f_3#) = 4 + x1
p(f_4#) = 3*x1 + 7*x1^2
p(f_5#) = 4*x1 + 7*x1^2
p(f_6#) = 5*x1 + 7*x1^2
p(f_7#) = 4 + 5*x1 + 7*x1^2
p(f_8#) = 6 + 6*x1 + 7*x1^2
p(f_9#) = 7 + 7*x1 + 7*x1^2
p(g_1#) = 4 + x1 + 4*x1*x2 + 4*x1^2 + x2^2
p(g_10#) = x1*x2 + 7*x1^2 + 6*x2 + 7*x2^2
p(g_2#) = 2 + x1 + x1*x2 + x2
p(g_3#) = x1
p(g_4#) = 2*x1 + 3*x1*x2 + 4*x1^2 + x2
p(g_5#) = 3*x2 + 7*x2^2
p(g_6#) = x1 + 4*x2 + 7*x2^2
p(g_7#) = 4 + 5*x2 + 7*x2^2
p(g_8#) = 4 + 6*x2 + 7*x2^2
p(g_9#) = 6 + 7*x2 + 7*x2^2
p(c_1) = 1
p(c_2) = 1
p(c_3) = 0
p(c_4) = x1
p(c_5) = 1 + x1
p(c_6) = x1
p(c_7) = 0
p(c_8) = 0
p(c_9) = x1
p(c_10) = 1
p(c_11) = 1
p(c_12) = x1
p(c_13) = 1
p(c_14) = 1
p(c_15) = x1
p(c_16) = x1 + x2
p(c_17) = 0
p(c_18) = 0
p(c_19) = 1
p(c_20) = x1 + x2
p(c_21) = x1
Following rules are strictly oriented:
f_3#(x) = 4 + x
> 1 + x
= c_5(g_3#(x,x))
g_3#(s(x),y) = 1 + x
> x
= c_15(g_3#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_4#(x) = 3*x + 7*x^2
>= 3*x + 7*x^2
= c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) = 4*x + 7*x^2
>= 3*x + 7*x^2
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = 5*x + 7*x^2
>= 5*x + 7*x^2
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = 4 + 5*x + 7*x^2
>= 4 + 5*x + 7*x^2
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = 6 + 6*x + 7*x^2
>= 4 + 6*x + 7*x^2
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = 7 + 7*x + 7*x^2
>= 6 + 7*x + 7*x^2
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = 7 + 14*x + x*y + 7*x^2 + 7*y + 7*y^2
>= 7 + 7*y + 7*y^2
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = 7 + 14*x + x*y + 7*x^2 + 7*y + 7*y^2
>= x*y + 7*x^2 + 6*y + 7*y^2
= g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) = 6 + 10*x + 3*x*y + 4*x^2 + 4*y
>= 4 + 2*x + 3*x*y + 4*x^2 + 2*y
= c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) = 3*y + 7*y^2
>= 3*y + 7*y^2
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = 3*y + 7*y^2
>= 3*y + 7*y^2
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = 1 + x + 4*y + 7*y^2
>= 4*y + 7*y^2
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = 1 + x + 4*y + 7*y^2
>= x + 4*y + 7*y^2
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = 4 + 5*y + 7*y^2
>= 5*y + 7*y^2
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = 4 + 5*y + 7*y^2
>= 4 + 5*y + 7*y^2
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = 4 + 6*y + 7*y^2
>= 4 + 5*y + 7*y^2
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = 4 + 6*y + 7*y^2
>= 4 + 6*y + 7*y^2
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = 6 + 7*y + 7*y^2
>= 6 + 6*y + 7*y^2
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = 6 + 7*y + 7*y^2
>= 6 + 7*y + 7*y^2
= g_9#(x,y)
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y)):10
2:W:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):11
3:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):13
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):12
4:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):15
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):14
5:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):17
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):16
6:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):19
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):18
7:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):21
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):20
8:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):7
9:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):9
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):8
10:W:g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y)):10
11:W:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):11
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):1
12:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):2
13:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):13
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):12
14:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):3
15:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):15
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):14
16:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):4
17:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):17
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):16
18:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):5
19:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):19
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):18
20:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):6
21:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):21
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):20
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
9: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
8: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
7: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
21: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
20: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
6: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
19: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
18: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
5: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
17: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
16: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
4: f_6#(x) -> g_6#(x,x)
15: g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
14: g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
3: f_5#(x) -> g_5#(x,x)
13: g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
12: g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
2: f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
11: g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
1: f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
10: g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
***** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^7))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):8
2:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):9
3:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):10
4:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):11
5:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):12
6:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):13
7:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):7
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):6
8:S:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):14
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):8
9:S:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):9
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):1
10:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):10
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):2
11:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):11
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):3
12:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):12
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):4
13:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):13
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):5
14:W:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y)):15
15:W:g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y)):15
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
14: f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
15: g_3#(s(x),y) -> c_15(g_3#(x,y))
***** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^7))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):8
2:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):9
3:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):10
4:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):11
5:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):12
6:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):13
7:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):7
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):6
8:S:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):8
9:S:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):9
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):1
10:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):10
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):2
11:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):11
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):3
12:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):12
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):4
13:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):13
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):5
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
***** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3: Decompose WORST_CASE(?,O(n^7))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Decompose {onSelection = all cycle independent sub-graph, withBound = RelativeAdd}
+ Details:
We analyse the complexity of following sub-problems (R) and (S).
Problem (S) is obtained from the input problem by shifting strict rules from (R) into the weak component.
Problem (R)
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
Problem (S)
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
****** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^7))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
and a lower component
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
******* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_13) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [4]
p(f_2) = [2] x1 + [0]
p(f_3) = [1] x1 + [1]
p(f_4) = [1]
p(f_5) = [1]
p(f_6) = [1] x1 + [1]
p(f_7) = [4]
p(f_8) = [8] x1 + [1]
p(f_9) = [2] x1 + [0]
p(g_1) = [1] x2 + [0]
p(g_10) = [2] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [1]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [0]
p(f_9#) = [0]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [8] x1 + [8]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [0]
p(g_8#) = [0]
p(g_9#) = [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [4] x1 + [0]
p(c_5) = [1] x1 + [1]
p(c_6) = [1] x1 + [1]
p(c_7) = [1] x1 + [1]
p(c_8) = [1] x1 + [1]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [1] x1 + [1]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [1] x2 + [4]
p(c_14) = [1]
p(c_15) = [1] x1 + [0]
p(c_16) = [1] x1 + [2]
p(c_17) = [1] x1 + [0]
p(c_18) = [1]
p(c_19) = [1]
p(c_20) = [1] x1 + [2] x2 + [1]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
g_10#(s(x),y) = [8] x + [16]
> [8] x + [12]
= c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):1
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
******* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^6))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
and a lower component
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_11) = {1},
uargs(c_21) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [8]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(f_0) = [1] x1 + [1]
p(f_1) = [2] x1 + [0]
p(f_10) = [2]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [1] x1 + [0]
p(s) = [1] x1 + [1]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [0]
p(f_9#) = [13] x1 + [0]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [8] x1 + [13] x2 + [0]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [0]
p(g_8#) = [1] x2 + [0]
p(g_9#) = [1] x1 + [2] x2 + [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [1] x1 + [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [1] x1 + [4]
p(c_5) = [1]
p(c_6) = [2] x1 + [1]
p(c_7) = [1]
p(c_8) = [4]
p(c_9) = [2]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [4] x1 + [0]
p(c_12) = [2] x1 + [8]
p(c_13) = [4] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [4] x1 + [0]
p(c_16) = [2] x1 + [2]
p(c_17) = [1] x2 + [0]
p(c_18) = [1] x1 + [0]
p(c_19) = [2] x1 + [4]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
Following rules are strictly oriented:
g_9#(s(x),y) = [1] x + [2] y + [1]
> [1] x + [2] y + [0]
= c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_9#(x) = [13] x + [0]
>= [12] x + [0]
= c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) = [8] x + [13] y + [8]
>= [13] y + [0]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [8] x + [13] y + [8]
>= [8] x + [13] y + [0]
= g_10#(x,y)
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
2:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):1
3:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):3
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):2
4:W:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
3: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
2: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
1: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
4: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^5))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_10) = {1},
uargs(c_20) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [0]
p(f_0) = [1]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [2]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [1] x1 + [0]
p(f_7#) = [3]
p(f_8#) = [10] x1 + [0]
p(f_9#) = [15] x1 + [7]
p(g_1#) = [1] x1 + [8] x2 + [1]
p(g_10#) = [6] x1 + [15] x2 + [9]
p(g_2#) = [1] x1 + [2] x2 + [0]
p(g_3#) = [2] x1 + [1]
p(g_4#) = [8] x1 + [4]
p(g_5#) = [2]
p(g_6#) = [1] x1 + [2] x2 + [8]
p(g_7#) = [2] x1 + [2] x2 + [2]
p(g_8#) = [8] x1 + [0]
p(g_9#) = [5] x1 + [10] x2 + [7]
p(c_1) = [4]
p(c_2) = [1] x1 + [1]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [2] x1 + [0]
p(c_5) = [1]
p(c_6) = [1] x1 + [1]
p(c_7) = [1]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [1] x1 + [1]
p(c_10) = [1] x1 + [0]
p(c_11) = [1]
p(c_12) = [1]
p(c_13) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_14) = [2] x1 + [0]
p(c_15) = [2] x1 + [1]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [1] x1 + [0]
p(c_18) = [4] x1 + [4] x2 + [1]
p(c_19) = [1] x1 + [1]
p(c_20) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
g_8#(s(x),y) = [8] x + [16]
> [8] x + [3]
= c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_8#(x) = [10] x + [0]
>= [8] x + [0]
= c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) = [15] x + [7]
>= [15] x + [7]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [6] x + [15] y + [21]
>= [15] y + [7]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [6] x + [15] y + [21]
>= [6] x + [15] y + [9]
= g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [5] x + [10] y + [17]
>= [10] y + [0]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [5] x + [10] y + [17]
>= [5] x + [10] y + [7]
= g_9#(x,y)
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):5
2:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):7
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):6
3:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):2
4:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):4
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):3
5:W:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):5
6:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):1
7:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):7
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):6
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
4: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
3: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
2: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
7: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
6: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
1: f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
5: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^4))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_9) = {1},
uargs(c_19) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [5]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [1]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [14] x1 + [6]
p(f_8#) = [15] x1 + [6]
p(f_9#) = [15] x1 + [6]
p(g_1#) = [2] x1 + [8] x2 + [0]
p(g_10#) = [2] x1 + [15] x2 + [5]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [4] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_5#) = [2] x1 + [8] x2 + [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [4] x1 + [8] x2 + [0]
p(g_8#) = [15] x2 + [6]
p(g_9#) = [15] x2 + [6]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [1] x1 + [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [2] x1 + [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [4]
p(c_7) = [1]
p(c_8) = [1] x1 + [0]
p(c_9) = [1] x1 + [6]
p(c_10) = [1] x1 + [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [1] x1 + [0]
p(c_13) = [1] x1 + [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [0]
p(c_18) = [0]
p(c_19) = [1] x2 + [8]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
g_7#(s(x),y) = [4] x + [8] y + [20]
> [4] x + [8] y + [8]
= c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_7#(x) = [14] x + [6]
>= [12] x + [6]
= c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) = [15] x + [6]
>= [15] x + [6]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [15] x + [6]
>= [15] x + [6]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [2] x + [15] y + [15]
>= [15] y + [6]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [2] x + [15] y + [15]
>= [2] x + [15] y + [5]
= g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [15] y + [6]
>= [14] y + [6]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [15] y + [6]
>= [15] y + [6]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [15] y + [6]
>= [15] y + [6]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [15] y + [6]
>= [15] y + [6]
= g_9#(x,y)
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):6
2:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):8
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):7
3:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):10
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):9
4:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):3
5:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):5
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):4
6:W:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):6
7:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):1
8:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):8
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):7
9:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):2
10:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):10
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):9
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
5: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
4: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
3: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
10: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
9: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
2: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
8: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
7: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
1: f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
6: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^3))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_8) = {1},
uargs(c_18) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [1]
p(b) = [0]
p(f_0) = [1] x1 + [0]
p(f_1) = [2] x1 + [1]
p(f_10) = [2]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [1]
p(g_8) = [1] x2 + [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [1]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [1] x1 + [0]
p(f_4#) = [1]
p(f_5#) = [1] x1 + [2]
p(f_6#) = [9] x1 + [0]
p(f_7#) = [9] x1 + [0]
p(f_8#) = [9] x1 + [0]
p(f_9#) = [10] x1 + [7]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [3] x1 + [11] x2 + [4]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [1] x2 + [0]
p(g_6#) = [1] x1 + [8] x2 + [0]
p(g_7#) = [9] x2 + [0]
p(g_8#) = [9] x2 + [0]
p(g_9#) = [10] x2 + [3]
p(c_1) = [2]
p(c_2) = [1] x1 + [2]
p(c_3) = [8] x1 + [1]
p(c_4) = [1] x1 + [2]
p(c_5) = [2] x1 + [0]
p(c_6) = [1]
p(c_7) = [2] x1 + [1]
p(c_8) = [1] x1 + [0]
p(c_9) = [2] x1 + [4]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [2]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [1] x2 + [1]
p(c_14) = [1] x1 + [0]
p(c_15) = [8] x1 + [0]
p(c_16) = [1]
p(c_17) = [8] x2 + [0]
p(c_18) = [1] x2 + [0]
p(c_19) = [2]
p(c_20) = [1] x2 + [8]
p(c_21) = [2] x2 + [8]
Following rules are strictly oriented:
g_6#(s(x),y) = [1] x + [8] y + [1]
> [1] x + [8] y + [0]
= c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_6#(x) = [9] x + [0]
>= [9] x + [0]
= c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) = [9] x + [0]
>= [9] x + [0]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [9] x + [0]
>= [9] x + [0]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [10] x + [7]
>= [10] x + [3]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [3] x + [11] y + [7]
>= [10] y + [7]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [3] x + [11] y + [7]
>= [3] x + [11] y + [4]
= g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [9] y + [0]
>= [9] y + [0]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [9] y + [0]
>= [9] y + [0]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [9] y + [0]
>= [9] y + [0]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [9] y + [0]
>= [9] y + [0]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [10] y + [3]
>= [9] y + [0]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [10] y + [3]
>= [10] y + [3]
= g_9#(x,y)
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):7
2:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):9
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):8
3:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):11
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):10
4:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):13
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):12
5:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):4
6:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):6
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):5
7:W:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):7
8:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):1
9:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):9
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):8
10:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):2
11:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):11
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):10
12:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):3
13:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):13
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):12
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
6: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
5: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
4: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
13: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
12: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
3: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
11: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
10: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
2: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
9: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
8: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
1: f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
7: g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
2: g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: NaturalPI WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a polynomial interpretation of kind constructor-based(mixed(2)):
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_6) = {1},
uargs(c_7) = {1},
uargs(c_16) = {1},
uargs(c_17) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = 0
p(b) = 0
p(f_0) = 0
p(f_1) = x1 + x1^2
p(f_10) = 2*x1
p(f_2) = 0
p(f_3) = 0
p(f_4) = 1 + 2*x1 + x1^2
p(f_5) = 4 + x1^2
p(f_6) = x1
p(f_7) = x1 + 2*x1^2
p(f_8) = 0
p(f_9) = 1 + x1
p(g_1) = 4*x1^2
p(g_10) = 1 + x1 + 4*x1*x2 + x1^2
p(g_2) = 4*x2 + x2^2
p(g_3) = x1 + x1*x2 + 4*x1^2 + x2 + x2^2
p(g_4) = x1 + x1^2 + 4*x2^2
p(g_5) = 1 + x2^2
p(g_6) = 1 + x1*x2 + 4*x1^2 + x2 + x2^2
p(g_7) = 2*x1 + x1^2
p(g_8) = x1 + x1*x2 + 2*x2 + 2*x2^2
p(g_9) = 2*x1*x2 + 2*x1^2
p(s) = 1 + x1
p(f_0#) = 2*x1
p(f_1#) = 0
p(f_10#) = 1
p(f_2#) = 2 + x1 + 2*x1^2
p(f_3#) = 1 + 4*x1 + x1^2
p(f_4#) = 1 + x1
p(f_5#) = 4*x1^2
p(f_6#) = 1 + 4*x1 + 4*x1^2
p(f_7#) = 2 + 6*x1 + 4*x1^2
p(f_8#) = 7 + 6*x1 + 7*x1^2
p(f_9#) = 7 + 6*x1 + 7*x1^2
p(g_1#) = x1 + x1*x2 + x1^2 + x2 + x2^2
p(g_10#) = 3 + 6*x1 + 7*x1*x2 + 7*x2^2
p(g_2#) = 2 + x1 + x2
p(g_3#) = 1 + x1 + x1^2 + 4*x2
p(g_4#) = 1 + x1
p(g_5#) = 2*x1*x2 + x1^2
p(g_6#) = 1 + x2 + 4*x2^2
p(g_7#) = 1 + 4*x2 + 4*x2^2
p(g_8#) = 7 + 2*x1*x2 + x1^2 + 6*x2 + 4*x2^2
p(g_9#) = 7 + 6*x2 + 7*x2^2
p(c_1) = 0
p(c_2) = 1
p(c_3) = 1 + x1
p(c_4) = 1
p(c_5) = 1
p(c_6) = x1
p(c_7) = x1
p(c_8) = 0
p(c_9) = 1
p(c_10) = 0
p(c_11) = 0
p(c_12) = 0
p(c_13) = 1
p(c_14) = 0
p(c_15) = 1 + x1
p(c_16) = x1
p(c_17) = x1 + x2
p(c_18) = 1 + x1 + x2
p(c_19) = 1
p(c_20) = 1
p(c_21) = 0
Following rules are strictly oriented:
g_4#(s(x),y) = 2 + x
> 1 + x
= c_16(g_4#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_4#(x) = 1 + x
>= 1 + x
= c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) = 4*x^2
>= 3*x^2
= c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) = 1 + 4*x + 4*x^2
>= 1 + x + 4*x^2
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = 2 + 6*x + 4*x^2
>= 1 + 4*x + 4*x^2
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = 7 + 6*x + 7*x^2
>= 7 + 6*x + 7*x^2
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = 7 + 6*x + 7*x^2
>= 7 + 6*x + 7*x^2
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = 9 + 6*x + 7*x*y + 7*y + 7*y^2
>= 7 + 6*y + 7*y^2
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = 9 + 6*x + 7*x*y + 7*y + 7*y^2
>= 3 + 6*x + 7*x*y + 7*y^2
= g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) = 1 + 2*x + 2*x*y + x^2 + 2*y
>= 1 + 2*x*y + x^2 + y
= c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) = 1 + y + 4*y^2
>= 4*y^2
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = 1 + y + 4*y^2
>= 1 + y + 4*y^2
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = 1 + 4*y + 4*y^2
>= 1 + 4*y + 4*y^2
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = 1 + 4*y + 4*y^2
>= 1 + 4*y + 4*y^2
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = 8 + 2*x + 2*x*y + x^2 + 8*y + 4*y^2
>= 2 + 6*y + 4*y^2
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = 8 + 2*x + 2*x*y + x^2 + 8*y + 4*y^2
>= 7 + 2*x*y + x^2 + 6*y + 4*y^2
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = 7 + 6*y + 7*y^2
>= 7 + 6*y + 7*y^2
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = 7 + 6*y + 7*y^2
>= 7 + 6*y + 7*y^2
= g_9#(x,y)
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y)):9
2:W:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):10
3:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):12
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):11
4:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):14
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):13
5:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):16
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):15
6:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):18
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):17
7:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):6
8:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):8
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):7
9:W:g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y)):9
10:W:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):10
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):1
11:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):2
12:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):12
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):11
13:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):3
14:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):14
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):13
15:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):4
16:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):16
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):15
17:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):5
18:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):18
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):17
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
9: g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
2:W:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):10
3:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):12
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):11
4:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):14
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):13
5:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):16
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):15
6:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):18
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):17
7:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):6
8:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):8
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):7
10:W:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):10
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):1
11:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):2
12:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):12
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):11
13:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):3
14:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):14
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):13
15:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):4
16:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):16
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):15
17:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):5
18:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):18
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):17
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
f_4#(x) -> c_6()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?
,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6()
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/0,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: f_4#(x) -> c_6()
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_4#(x) -> c_6()
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/0,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_7) = {1},
uargs(c_17) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [8]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [2]
p(f_5#) = [4] x1 + [0]
p(f_6#) = [5] x1 + [1]
p(f_7#) = [7] x1 + [2]
p(f_8#) = [8] x1 + [6]
p(f_9#) = [8] x1 + [8]
p(g_1#) = [2] x1 + [0]
p(g_10#) = [1] x1 + [8] x2 + [3]
p(g_2#) = [2]
p(g_3#) = [8] x1 + [1]
p(g_4#) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_5#) = [2] x1 + [0]
p(g_6#) = [5] x2 + [1]
p(g_7#) = [2] x1 + [5] x2 + [0]
p(g_8#) = [1] x1 + [7] x2 + [4]
p(g_9#) = [8] x2 + [6]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [1] x1 + [2]
p(c_3) = [1]
p(c_4) = [1] x1 + [4]
p(c_5) = [2] x1 + [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [1] x1 + [0]
p(c_8) = [2]
p(c_9) = [1] x1 + [0]
p(c_10) = [1]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [2] x1 + [1] x2 + [2]
p(c_14) = [1] x1 + [0]
p(c_15) = [1] x1 + [1]
p(c_16) = [1]
p(c_17) = [8] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_18) = [1] x1 + [1]
p(c_19) = [0]
p(c_20) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_21) = [2] x1 + [8]
Following rules are strictly oriented:
f_4#(x) = [2]
> [0]
= c_6()
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_5#(x) = [4] x + [0]
>= [2] x + [0]
= c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) = [5] x + [1]
>= [5] x + [1]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [7] x + [2]
>= [7] x + [0]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [8] x + [6]
>= [8] x + [4]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [8] x + [8]
>= [8] x + [6]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [8] y + [11]
>= [8] y + [8]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [8] y + [11]
>= [1] x + [8] y + [3]
= g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) = [2] x + [16]
>= [2] x + [16]
= c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) = [5] y + [1]
>= [4] y + [0]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [5] y + [1]
>= [5] y + [1]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [2] x + [5] y + [16]
>= [5] y + [1]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [2] x + [5] y + [16]
>= [2] x + [5] y + [0]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [1] x + [7] y + [12]
>= [7] y + [2]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [1] x + [7] y + [12]
>= [1] x + [7] y + [4]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [8] y + [6]
>= [8] y + [6]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [8] y + [6]
>= [8] y + [6]
= g_9#(x,y)
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6()
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/0,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6()
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/0,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_4#(x) -> c_6()
2:W:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):9
3:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):11
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):10
4:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):13
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):12
5:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):15
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):14
6:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):17
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):16
7:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):6
8:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):8
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):7
9:W:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):9
-->_1 f_4#(x) -> c_6():1
10:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):2
11:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):11
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):10
12:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):3
13:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):13
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):12
14:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):4
15:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):15
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):14
16:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):5
17:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):17
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):16
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
8: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
7: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
6: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
17: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
16: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
5: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
15: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
14: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
4: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
13: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
12: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
3: f_6#(x) -> g_6#(x,x)
11: g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
10: g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
2: f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
9: g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
1: f_4#(x) -> c_6()
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/0,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
****** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^6))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):7
2:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):8
3:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):9
4:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):10
5:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):11
6:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):6
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):5
7:S:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):12
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):7
8:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):8
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):1
9:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):9
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):2
10:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):10
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):3
11:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):11
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):4
12:W:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y)):13
13:W:g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y)):13
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
12: f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
13: g_4#(s(x),y) -> c_16(g_4#(x,y))
****** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^6))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):7
2:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):8
3:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):9
4:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):10
5:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):11
6:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):6
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):5
7:S:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):7
8:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):8
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):1
9:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):9
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):2
10:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):10
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):3
11:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):11
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):4
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
****** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3: Decompose WORST_CASE(?,O(n^6))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Decompose {onSelection = all cycle independent sub-graph, withBound = RelativeAdd}
+ Details:
We analyse the complexity of following sub-problems (R) and (S).
Problem (S) is obtained from the input problem by shifting strict rules from (R) into the weak component.
Problem (R)
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
Problem (S)
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
******* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^6))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
and a lower component
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_13) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [2]
p(b) = [1]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [1]
p(f_2) = [2] x1 + [0]
p(f_3) = [1] x1 + [4]
p(f_4) = [1]
p(f_5) = [1] x1 + [0]
p(f_6) = [1] x1 + [0]
p(f_7) = [1] x1 + [2]
p(f_8) = [1] x1 + [1]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [1] x1 + [2]
p(g_10) = [1] x1 + [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [1]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [0]
p(f_9#) = [0]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [4] x1 + [0]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [2]
p(g_8#) = [1] x1 + [0]
p(g_9#) = [2] x2 + [4]
p(c_1) = [1]
p(c_2) = [8]
p(c_3) = [1] x1 + [1]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [8]
p(c_6) = [4]
p(c_7) = [2]
p(c_8) = [8] x1 + [2]
p(c_9) = [1] x1 + [0]
p(c_10) = [1] x1 + [0]
p(c_11) = [1] x1 + [2]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [1] x2 + [0]
p(c_14) = [1] x1 + [1]
p(c_15) = [1] x1 + [0]
p(c_16) = [1] x1 + [1]
p(c_17) = [1] x1 + [1]
p(c_18) = [1] x1 + [1]
p(c_19) = [8]
p(c_20) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
p(c_21) = [2] x2 + [1]
Following rules are strictly oriented:
g_10#(s(x),y) = [4] x + [4]
> [4] x + [0]
= c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):1
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^5))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
and a lower component
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_11) = {1},
uargs(c_21) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [1]
p(f_1) = [1]
p(f_10) = [1] x1 + [4]
p(f_2) = [2]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [1] x1 + [0]
p(f_5) = [8] x1 + [1]
p(f_6) = [1] x1 + [1]
p(f_7) = [2] x1 + [1]
p(f_8) = [1] x1 + [1]
p(f_9) = [4]
p(g_1) = [4] x2 + [1]
p(g_10) = [2] x2 + [0]
p(g_2) = [4]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [1] x2 + [2]
p(g_5) = [2] x1 + [8] x2 + [0]
p(g_6) = [2] x2 + [8]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [1] x1 + [1]
p(g_9) = [2]
p(s) = [1] x1 + [6]
p(f_0#) = [1] x1 + [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [2] x1 + [0]
p(f_2#) = [1] x1 + [0]
p(f_3#) = [2] x1 + [1]
p(f_4#) = [1]
p(f_5#) = [4]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [1] x1 + [1]
p(f_8#) = [2]
p(f_9#) = [1] x1 + [3]
p(g_1#) = [1] x1 + [2] x2 + [2]
p(g_10#) = [2] x2 + [3]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [1]
p(g_4#) = [1]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [1]
p(g_7#) = [1]
p(g_8#) = [1]
p(g_9#) = [1] x1 + [0]
p(c_1) = [1]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [1]
p(c_4) = [1]
p(c_5) = [2]
p(c_6) = [1]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [2]
p(c_9) = [2]
p(c_10) = [1]
p(c_11) = [1] x1 + [3]
p(c_12) = [1]
p(c_13) = [0]
p(c_14) = [2]
p(c_15) = [1]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [2]
p(c_18) = [1]
p(c_19) = [2]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [1] x1 + [1] x2 + [2]
Following rules are strictly oriented:
g_9#(s(x),y) = [1] x + [6]
> [1] x + [4]
= c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_9#(x) = [1] x + [3]
>= [1] x + [3]
= c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) = [2] y + [3]
>= [1] y + [3]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [2] y + [3]
>= [2] y + [3]
= g_10#(x,y)
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
2:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):1
3:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):3
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):2
4:W:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
3: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
2: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
1: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
4: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^4))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_10) = {1},
uargs(c_20) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [1]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(f_0) = [1] x1 + [2]
p(f_1) = [4]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [1]
p(f_4) = [1]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [8] x1 + [1]
p(f_7) = [1] x1 + [0]
p(f_8) = [2]
p(f_9) = [4] x1 + [2]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [2]
p(s) = [1] x1 + [8]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [1]
p(f_8#) = [6] x1 + [0]
p(f_9#) = [11] x1 + [5]
p(g_1#) = [1]
p(g_10#) = [2] x1 + [12] x2 + [9]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [0]
p(g_8#) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_9#) = [3] x1 + [8] x2 + [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [2] x1 + [0]
p(c_4) = [1] x1 + [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [8] x1 + [0]
p(c_9) = [1] x1 + [0]
p(c_10) = [2] x1 + [0]
p(c_11) = [2] x1 + [0]
p(c_12) = [1] x1 + [0]
p(c_13) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_14) = [2] x1 + [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [2] x1 + [0]
p(c_17) = [0]
p(c_18) = [1] x2 + [0]
p(c_19) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_20) = [8] x1 + [1] x2 + [6]
p(c_21) = [4] x1 + [0]
Following rules are strictly oriented:
g_8#(s(x),y) = [2] x + [1] y + [16]
> [2] x + [1] y + [14]
= c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_8#(x) = [6] x + [0]
>= [6] x + [0]
= c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) = [11] x + [5]
>= [11] x + [0]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [2] x + [12] y + [25]
>= [11] y + [5]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [2] x + [12] y + [25]
>= [2] x + [12] y + [9]
= g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [3] x + [8] y + [24]
>= [6] y + [0]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [3] x + [8] y + [24]
>= [3] x + [8] y + [0]
= g_9#(x,y)
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):5
2:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):7
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):6
3:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):2
4:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):4
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):3
5:W:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):5
6:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):1
7:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):7
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):6
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
4: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
3: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
2: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
7: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
6: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
1: f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
5: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^3))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_9) = {1},
uargs(c_19) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [5]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [1]
p(f_7#) = [15] x1 + [0]
p(f_8#) = [15] x1 + [0]
p(f_9#) = [15] x1 + [10]
p(g_1#) = [2] x2 + [0]
p(g_10#) = [15] x2 + [10]
p(g_2#) = [2] x1 + [0]
p(g_3#) = [2] x1 + [0]
p(g_4#) = [1] x1 + [2] x2 + [0]
p(g_5#) = [2] x1 + [0]
p(g_6#) = [4] x1 + [2] x2 + [0]
p(g_7#) = [4] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_8#) = [15] x2 + [0]
p(g_9#) = [15] x2 + [10]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [1] x1 + [0]
p(c_3) = [2] x1 + [0]
p(c_4) = [1] x1 + [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [1] x1 + [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [2] x1 + [0]
p(c_9) = [3] x1 + [0]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [2] x1 + [0]
p(c_13) = [1] x1 + [2] x2 + [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [1] x1 + [0]
p(c_18) = [8] x2 + [0]
p(c_19) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_20) = [2] x1 + [0]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
g_7#(s(x),y) = [4] x + [1] y + [20]
> [4] x + [1] y + [2]
= c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_7#(x) = [15] x + [0]
>= [15] x + [0]
= c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) = [15] x + [0]
>= [15] x + [0]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [15] x + [10]
>= [15] x + [10]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [15] y + [10]
>= [15] y + [10]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [15] y + [10]
>= [15] y + [10]
= g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [15] y + [0]
>= [15] y + [0]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [15] y + [0]
>= [15] y + [0]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [15] y + [10]
>= [15] y + [0]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [15] y + [10]
>= [15] y + [10]
= g_9#(x,y)
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):6
2:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):8
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):7
3:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):10
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):9
4:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):3
5:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):5
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):4
6:W:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):6
7:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):1
8:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):8
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):7
9:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):2
10:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):10
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):9
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
5: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
4: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
3: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
10: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
9: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
2: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
8: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
7: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
1: f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
6: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
2: g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:1: NaturalPI WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a polynomial interpretation of kind constructor-based(mixed(2)):
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_7) = {1},
uargs(c_8) = {1},
uargs(c_17) = {1},
uargs(c_18) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = 0
p(b) = 1
p(f_0) = x1^2
p(f_1) = 1 + x1 + x1^2
p(f_10) = 4
p(f_2) = 0
p(f_3) = x1
p(f_4) = x1
p(f_5) = 0
p(f_6) = 2 + x1^2
p(f_7) = x1^2
p(f_8) = x1
p(f_9) = 0
p(g_1) = 1
p(g_10) = 2 + x1 + x1*x2 + x1^2
p(g_2) = 4*x2
p(g_3) = 2 + x1 + x2
p(g_4) = 1 + x1^2 + x2
p(g_5) = 4*x1 + 4*x1^2 + x2
p(g_6) = 2 + x1 + x1^2 + 2*x2^2
p(g_7) = x1*x2 + x1^2 + x2
p(g_8) = x1 + x1^2
p(g_9) = 1 + x1 + 2*x1*x2 + x1^2 + x2
p(s) = 1 + x1
p(f_0#) = 0
p(f_1#) = 1 + x1
p(f_10#) = 2
p(f_2#) = x1
p(f_3#) = 2
p(f_4#) = 4*x1
p(f_5#) = 1 + x1
p(f_6#) = x1 + x1^2
p(f_7#) = 3*x1 + x1^2
p(f_8#) = 2 + 6*x1 + 3*x1^2
p(f_9#) = 5 + 7*x1 + 3*x1^2
p(g_1#) = 2*x1
p(g_10#) = 6 + 6*x1*x2 + 2*x1^2 + 5*x2 + 4*x2^2
p(g_2#) = 1 + x1 + 2*x1*x2 + x1^2 + x2
p(g_3#) = x1 + x1*x2 + x1^2 + x2
p(g_4#) = 1 + x1*x2 + 4*x1^2 + x2 + x2^2
p(g_5#) = x1
p(g_6#) = x1 + x1*x2
p(g_7#) = 2*x2 + x2^2
p(g_8#) = 2*x1^2 + 3*x2 + x2^2
p(g_9#) = 4 + x1 + 6*x2 + 3*x2^2
p(c_1) = 0
p(c_2) = 0
p(c_3) = x1
p(c_4) = 0
p(c_5) = 0
p(c_6) = 0
p(c_7) = 1 + x1
p(c_8) = x1
p(c_9) = x1
p(c_10) = x1
p(c_11) = x1
p(c_12) = 0
p(c_13) = 0
p(c_14) = 1
p(c_15) = 0
p(c_16) = 0
p(c_17) = x1
p(c_18) = x1 + x2
p(c_19) = 0
p(c_20) = 1 + x1
p(c_21) = x1
Following rules are strictly oriented:
g_5#(s(x),y) = 1 + x
> x
= c_17(g_5#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_5#(x) = 1 + x
>= 1 + x
= c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) = x + x^2
>= x + x^2
= c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) = 3*x + x^2
>= 2*x + x^2
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = 2 + 6*x + 3*x^2
>= 3*x + 3*x^2
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = 5 + 7*x + 3*x^2
>= 4 + 7*x + 3*x^2
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = 8 + 4*x + 6*x*y + 2*x^2 + 11*y + 4*y^2
>= 5 + 7*y + 3*y^2
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = 8 + 4*x + 6*x*y + 2*x^2 + 11*y + 4*y^2
>= 6 + 6*x*y + 2*x^2 + 5*y + 4*y^2
= g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) = 1 + x + x*y + y
>= 1 + x + x*y + y
= c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) = 2*y + y^2
>= y + y^2
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = 2*y + y^2
>= 2*y + y^2
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = 2 + 4*x + 2*x^2 + 3*y + y^2
>= 3*y + y^2
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = 2 + 4*x + 2*x^2 + 3*y + y^2
>= 2*x^2 + 3*y + y^2
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = 5 + x + 6*y + 3*y^2
>= 2 + 6*y + 3*y^2
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = 5 + x + 6*y + 3*y^2
>= 4 + x + 6*y + 3*y^2
= g_9#(x,y)
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y)):8
2:W:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):9
3:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):11
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):10
4:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):13
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):12
5:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):15
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):14
6:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):5
7:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):7
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):6
8:W:g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y)):8
9:W:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):9
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):1
10:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):2
11:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):11
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):10
12:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):3
13:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):13
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):12
14:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):4
15:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):15
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):14
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
8: g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
2:W:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):9
3:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):11
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):10
4:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):13
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):12
5:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):15
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):14
6:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):5
7:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):7
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):6
9:W:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):9
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):1
10:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):2
11:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):11
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):10
12:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):3
13:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):13
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):12
14:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):4
15:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):15
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):14
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
f_5#(x) -> c_7()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?
,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7()
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/0,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: f_5#(x) -> c_7()
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_5#(x) -> c_7()
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/0,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_8) = {1},
uargs(c_18) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [1] x1 + [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [8]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [4]
p(f_6#) = [2] x1 + [0]
p(f_7#) = [6] x1 + [0]
p(f_8#) = [7] x1 + [0]
p(f_9#) = [7] x1 + [0]
p(g_1#) = [1] x2 + [0]
p(g_10#) = [7] x2 + [0]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [2] x1 + [0]
p(g_7#) = [3] x1 + [3] x2 + [0]
p(g_8#) = [7] x2 + [0]
p(g_9#) = [7] x2 + [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [2]
p(c_8) = [1] x1 + [0]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [1] x1 + [0]
p(c_11) = [2]
p(c_12) = [4] x1 + [0]
p(c_13) = [2]
p(c_14) = [1] x1 + [2]
p(c_15) = [1]
p(c_16) = [1]
p(c_17) = [1] x1 + [1]
p(c_18) = [4] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_19) = [0]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
f_5#(x) = [4]
> [2]
= c_7()
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_6#(x) = [2] x + [0]
>= [2] x + [0]
= c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) = [6] x + [0]
>= [6] x + [0]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [7] x + [0]
>= [7] x + [0]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [7] x + [0]
>= [7] x + [0]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [7] y + [0]
>= [7] y + [0]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [7] y + [0]
>= [7] y + [0]
= g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [2] x + [16]
>= [2] x + [16]
= c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) = [3] x + [3] y + [24]
>= [2] y + [0]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [3] x + [3] y + [24]
>= [3] x + [3] y + [0]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [7] y + [0]
>= [6] y + [0]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [7] y + [0]
>= [7] y + [0]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [7] y + [0]
>= [7] y + [0]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [7] y + [0]
>= [7] y + [0]
= g_9#(x,y)
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7()
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/0,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7()
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/0,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_5#(x) -> c_7()
2:W:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):8
3:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):10
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):9
4:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):12
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):11
5:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):14
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):13
6:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):5
7:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):7
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):6
8:W:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):8
-->_1 f_5#(x) -> c_7():1
9:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):2
10:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):10
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):9
11:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):3
12:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):12
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):11
13:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):4
14:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):14
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):13
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
7: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
6: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
5: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
14: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
13: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
4: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
12: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
11: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
3: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
10: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
9: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
2: f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
8: g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
1: f_5#(x) -> c_7()
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1.b:3.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/0,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
******* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^5))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):6
2:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):7
3:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):8
4:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):9
5:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):5
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):4
6:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):10
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):6
7:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):7
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):1
8:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):8
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):2
9:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):9
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):3
10:W:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y)):11
11:W:g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y)):11
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
10: f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
11: g_5#(s(x),y) -> c_17(g_5#(x,y))
******* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^5))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/2,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):6
2:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):7
3:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):8
4:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):9
5:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):5
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):4
6:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):6
7:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):7
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):1
8:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):8
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):2
9:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):9
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):3
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
******* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3: Decompose WORST_CASE(?,O(n^5))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Decompose {onSelection = all cycle independent sub-graph, withBound = RelativeAdd}
+ Details:
We analyse the complexity of following sub-problems (R) and (S).
Problem (S) is obtained from the input problem by shifting strict rules from (R) into the weak component.
Problem (R)
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
Problem (S)
- Strict DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^5))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
and a lower component
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_13) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [1] x1 + [2]
p(f_10) = [8] x1 + [1]
p(f_2) = [2] x1 + [1]
p(f_3) = [8] x1 + [1]
p(f_4) = [1]
p(f_5) = [1] x1 + [2]
p(f_6) = [4] x1 + [0]
p(f_7) = [1]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [2] x1 + [0]
p(g_1) = [1] x1 + [0]
p(g_10) = [1] x1 + [8]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [1]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [0]
p(f_9#) = [0]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [1] x1 + [0]
p(g_2#) = [1] x1 + [8] x2 + [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [1] x1 + [0]
p(g_5#) = [1] x2 + [0]
p(g_6#) = [2] x2 + [0]
p(g_7#) = [1] x1 + [0]
p(g_8#) = [4] x2 + [0]
p(g_9#) = [1] x2 + [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [2] x1 + [0]
p(c_4) = [1] x1 + [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [1] x1 + [0]
p(c_8) = [8] x1 + [0]
p(c_9) = [1] x1 + [1]
p(c_10) = [1] x1 + [1]
p(c_11) = [1] x1 + [0]
p(c_12) = [1] x1 + [2]
p(c_13) = [1] x2 + [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [1] x1 + [2]
p(c_16) = [8] x1 + [0]
p(c_17) = [2] x1 + [1]
p(c_18) = [1] x1 + [1]
p(c_19) = [8] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_20) = [1] x2 + [4]
p(c_21) = [1] x1 + [4] x2 + [1]
Following rules are strictly oriented:
g_10#(s(x),y) = [1] x + [1]
> [1] x + [0]
= c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):1
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^4))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
and a lower component
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_11) = {1},
uargs(c_21) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1]
p(f_0) = [1] x1 + [4]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [3]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [3]
p(f_9#) = [4] x1 + [8]
p(g_1#) = [1]
p(g_10#) = [1] x1 + [6] x2 + [5]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [0]
p(g_8#) = [0]
p(g_9#) = [4] x1 + [2]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [2]
p(c_11) = [1] x1 + [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [0]
p(c_18) = [8] x1 + [0]
p(c_19) = [1] x1 + [4]
p(c_20) = [1] x2 + [1]
p(c_21) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
Following rules are strictly oriented:
g_9#(s(x),y) = [4] x + [14]
> [4] x + [6]
= c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_9#(x) = [4] x + [8]
>= [4] x + [2]
= c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) = [1] x + [6] y + [8]
>= [4] y + [8]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [6] y + [8]
>= [1] x + [6] y + [5]
= g_10#(x,y)
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
2:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):1
3:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):3
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):2
4:W:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
3: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
2: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
1: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
4: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^3))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_10) = {1},
uargs(c_20) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [1]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(f_0) = [4] x1 + [1]
p(f_1) = [1] x1 + [1]
p(f_10) = [1] x1 + [0]
p(f_2) = [1] x1 + [0]
p(f_3) = [1] x1 + [0]
p(f_4) = [2] x1 + [2]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [2]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [1] x1 + [4]
p(f_9) = [2]
p(g_1) = [2] x1 + [1]
p(g_10) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_2) = [1] x1 + [2] x2 + [1]
p(g_3) = [2]
p(g_4) = [1] x1 + [1]
p(g_5) = [2] x1 + [0]
p(g_6) = [1] x1 + [1]
p(g_7) = [8] x1 + [4]
p(g_8) = [1]
p(g_9) = [2] x2 + [1]
p(s) = [1] x1 + [5]
p(f_0#) = [8] x1 + [4]
p(f_1#) = [1]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [8]
p(f_8#) = [8] x1 + [10]
p(f_9#) = [12] x1 + [0]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [12] x2 + [4]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_6#) = [1] x1 + [1]
p(g_7#) = [1]
p(g_8#) = [2] x1 + [2] x2 + [4]
p(g_9#) = [4] x1 + [8] x2 + [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [1] x1 + [0]
p(c_4) = [1] x1 + [1]
p(c_5) = [1] x1 + [0]
p(c_6) = [1]
p(c_7) = [2] x1 + [0]
p(c_8) = [1] x1 + [1]
p(c_9) = [2] x1 + [4]
p(c_10) = [2] x1 + [0]
p(c_11) = [2]
p(c_12) = [2] x1 + [0]
p(c_13) = [1] x1 + [1]
p(c_14) = [1] x1 + [1]
p(c_15) = [1]
p(c_16) = [4] x1 + [1]
p(c_17) = [1]
p(c_18) = [2] x1 + [2]
p(c_19) = [2] x1 + [1] x2 + [2]
p(c_20) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_21) = [2]
Following rules are strictly oriented:
g_8#(s(x),y) = [2] x + [2] y + [14]
> [2] x + [2] y + [13]
= c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_8#(x) = [8] x + [10]
>= [8] x + [8]
= c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) = [12] x + [0]
>= [12] x + [0]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [12] y + [4]
>= [12] y + [0]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [12] y + [4]
>= [12] y + [4]
= g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [4] x + [8] y + [20]
>= [8] y + [10]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [4] x + [8] y + [20]
>= [4] x + [8] y + [0]
= g_9#(x,y)
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):5
2:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):7
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):6
3:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):2
4:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):4
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):3
5:W:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):5
6:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):1
7:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):7
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):6
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
4: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
3: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
2: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
7: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
6: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
1: f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
5: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
2: g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:1: NaturalPI WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a polynomial interpretation of kind constructor-based(mixed(2)):
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_8) = {1},
uargs(c_9) = {1},
uargs(c_18) = {1},
uargs(c_19) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = 1
p(b) = 0
p(f_0) = 4 + x1
p(f_1) = 1 + x1 + 2*x1^2
p(f_10) = 4*x1 + 4*x1^2
p(f_2) = 1 + x1^2
p(f_3) = x1 + x1^2
p(f_4) = 4*x1 + x1^2
p(f_5) = 1
p(f_6) = 4
p(f_7) = 0
p(f_8) = 1
p(f_9) = 1
p(g_1) = x1 + x1^2
p(g_10) = 2 + x1 + 2*x2
p(g_2) = 2*x2
p(g_3) = 1 + x2
p(g_4) = x1 + x1*x2 + x2^2
p(g_5) = 4 + 4*x1 + x1*x2 + x2^2
p(g_6) = 1 + x1^2 + 2*x2
p(g_7) = 4
p(g_8) = 1 + x2^2
p(g_9) = 1 + x1 + x1^2 + x2
p(s) = 1 + x1
p(f_0#) = 1
p(f_1#) = 4 + x1 + x1^2
p(f_10#) = 1 + x1 + 4*x1^2
p(f_2#) = 1 + x1 + 2*x1^2
p(f_3#) = 1 + x1
p(f_4#) = 1 + x1^2
p(f_5#) = 1 + x1 + x1^2
p(f_6#) = 2 + x1
p(f_7#) = 6 + 3*x1 + 2*x1^2
p(f_8#) = 6 + 4*x1 + 3*x1^2
p(f_9#) = 4 + 6*x1 + 6*x1^2
p(g_1#) = 2 + 2*x1^2 + x2^2
p(g_10#) = 4*x1 + 7*x1*x2 + 7*x2 + 6*x2^2
p(g_2#) = x1
p(g_3#) = 1 + 2*x1*x2 + x2^2
p(g_4#) = x1 + x1^2 + 2*x2^2
p(g_5#) = 2 + 2*x1
p(g_6#) = 2 + x1
p(g_7#) = 4 + 3*x1 + x1*x2 + x1^2
p(g_8#) = 6 + 3*x2 + 2*x2^2
p(g_9#) = 4 + 4*x1 + 3*x1*x2 + 2*x2 + 3*x2^2
p(c_1) = 0
p(c_2) = 1
p(c_3) = x1
p(c_4) = 1
p(c_5) = x1
p(c_6) = 1 + x1
p(c_7) = x1
p(c_8) = x1
p(c_9) = 1 + x1
p(c_10) = 1
p(c_11) = 0
p(c_12) = x1
p(c_13) = 0
p(c_14) = 1
p(c_15) = 0
p(c_16) = 1
p(c_17) = 1 + x1
p(c_18) = x1
p(c_19) = x1 + x2
p(c_20) = 1
p(c_21) = x2
Following rules are strictly oriented:
g_6#(s(x),y) = 3 + x
> 2 + x
= c_18(g_6#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_6#(x) = 2 + x
>= 2 + x
= c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) = 6 + 3*x + 2*x^2
>= 5 + 3*x + 2*x^2
= c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) = 6 + 4*x + 3*x^2
>= 6 + 3*x + 2*x^2
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = 4 + 6*x + 6*x^2
>= 4 + 6*x + 6*x^2
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = 4 + 4*x + 7*x*y + 14*y + 6*y^2
>= 4 + 6*y + 6*y^2
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = 4 + 4*x + 7*x*y + 14*y + 6*y^2
>= 4*x + 7*x*y + 7*y + 6*y^2
= g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) = 8 + 5*x + x*y + x^2 + y
>= 6 + 3*x + x*y + x^2 + y
= c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) = 6 + 3*y + 2*y^2
>= 6 + 3*y + 2*y^2
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = 6 + 3*y + 2*y^2
>= 6 + 3*y + 2*y^2
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = 8 + 4*x + 3*x*y + 5*y + 3*y^2
>= 6 + 4*y + 3*y^2
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = 8 + 4*x + 3*x*y + 5*y + 3*y^2
>= 4 + 4*x + 3*x*y + 2*y + 3*y^2
= g_9#(x,y)
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y)):7
2:W:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):8
3:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):10
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):9
4:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):12
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):11
5:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):4
6:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):6
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):5
7:W:g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y)):7
8:W:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):8
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):1
9:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):2
10:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):10
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):9
11:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):3
12:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):12
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):11
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
7: g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
2:W:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):8
3:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):10
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):9
4:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):12
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):11
5:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):4
6:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):6
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):5
8:W:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):8
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):1
9:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):2
10:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):10
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):9
11:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):3
12:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):12
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):11
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
f_6#(x) -> c_8()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:3: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?
,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8()
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/0,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: f_6#(x) -> c_8()
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:3.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_6#(x) -> c_8()
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/0,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_9) = {1},
uargs(c_19) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [2]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [12]
p(f_7#) = [6] x1 + [0]
p(f_8#) = [6] x1 + [2]
p(f_9#) = [7] x1 + [0]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [8] x1 + [7] x2 + [13]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [6] x1 + [0]
p(g_8#) = [6] x2 + [0]
p(g_9#) = [1] x1 + [6] x2 + [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [1] x1 + [0]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [0]
p(c_18) = [0]
p(c_19) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [1] x1 + [0]
Following rules are strictly oriented:
f_6#(x) = [12]
> [0]
= c_8()
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_7#(x) = [6] x + [0]
>= [6] x + [0]
= c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) = [6] x + [2]
>= [6] x + [0]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [7] x + [0]
>= [7] x + [0]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [8] x + [7] y + [29]
>= [7] y + [0]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [8] x + [7] y + [29]
>= [8] x + [7] y + [13]
= g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [6] x + [12]
>= [6] x + [12]
= c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) = [6] y + [0]
>= [6] y + [0]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [6] y + [0]
>= [6] y + [0]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [1] x + [6] y + [2]
>= [6] y + [2]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [1] x + [6] y + [2]
>= [1] x + [6] y + [0]
= g_9#(x,y)
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:3.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8()
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/0,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8()
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/0,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_6#(x) -> c_8()
2:W:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):7
3:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):9
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):8
4:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):11
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):10
5:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):4
6:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):6
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):5
7:W:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):7
-->_1 f_6#(x) -> c_8():1
8:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):2
9:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):9
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):8
10:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):3
11:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):11
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):10
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
6: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
5: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
4: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
11: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
10: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
3: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
9: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
8: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
2: f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
7: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
1: f_6#(x) -> c_8()
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1.b:3.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/0,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^4))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):5
2:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):6
3:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):7
4:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):4
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):3
5:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):8
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):5
6:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):6
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):1
7:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):7
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):2
8:W:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y)):9
9:W:g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y)):9
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
8: f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
9: g_6#(s(x),y) -> c_18(g_6#(x,y))
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^4))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/2
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):5
2:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):6
3:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):7
4:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):4
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):3
5:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):5
6:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):6
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):1
7:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):7
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):2
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
******** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3: Decompose WORST_CASE(?,O(n^4))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Decompose {onSelection = all cycle independent sub-graph, withBound = RelativeAdd}
+ Details:
We analyse the complexity of following sub-problems (R) and (S).
Problem (S) is obtained from the input problem by shifting strict rules from (R) into the weak component.
Problem (R)
- Strict DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
Problem (S)
- Strict DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^4))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
and a lower component
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_13) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [0]
p(f_0) = [8]
p(f_1) = [2] x1 + [1]
p(f_10) = [1] x1 + [1]
p(f_2) = [1]
p(f_3) = [1]
p(f_4) = [1] x1 + [1]
p(f_5) = [2] x1 + [1]
p(f_6) = [2] x1 + [1]
p(f_7) = [2]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [1]
p(g_1) = [1] x1 + [0]
p(g_10) = [1]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [8]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [0]
p(f_9#) = [4]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [1] x1 + [0]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [1] x1 + [2]
p(g_6#) = [1] x2 + [2]
p(g_7#) = [1] x2 + [2]
p(g_8#) = [0]
p(g_9#) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [2] x1 + [8]
p(c_3) = [4]
p(c_4) = [2] x1 + [2]
p(c_5) = [1] x1 + [1]
p(c_6) = [2]
p(c_7) = [4] x1 + [1]
p(c_8) = [2] x1 + [0]
p(c_9) = [1] x1 + [8]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [1]
p(c_12) = [1] x1 + [1]
p(c_13) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_14) = [1]
p(c_15) = [2] x1 + [8]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [8]
p(c_18) = [2] x1 + [0]
p(c_19) = [1]
p(c_20) = [1] x2 + [0]
p(c_21) = [1] x1 + [0]
Following rules are strictly oriented:
g_10#(s(x),y) = [1] x + [8]
> [1] x + [4]
= c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):1
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^3))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
and a lower component
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_11) = {1},
uargs(c_21) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [1]
p(b) = [2]
p(f_0) = [1] x1 + [1]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [2] x1 + [0]
p(f_2) = [1]
p(f_3) = [1] x1 + [0]
p(f_4) = [4] x1 + [1]
p(f_5) = [1]
p(f_6) = [8] x1 + [8]
p(f_7) = [8]
p(f_8) = [1] x1 + [8]
p(f_9) = [4]
p(g_1) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_10) = [1] x1 + [2]
p(g_2) = [2] x1 + [1]
p(g_3) = [1] x1 + [1]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(s) = [1] x1 + [8]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [3]
p(f_9#) = [3] x1 + [0]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [2] x1 + [8] x2 + [0]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [0]
p(g_8#) = [0]
p(g_9#) = [2] x1 + [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [2]
p(c_9) = [1]
p(c_10) = [1] x1 + [2]
p(c_11) = [1] x1 + [0]
p(c_12) = [1] x1 + [1]
p(c_13) = [8] x1 + [1]
p(c_14) = [1]
p(c_15) = [1] x1 + [1]
p(c_16) = [1] x1 + [0]
p(c_17) = [1] x1 + [1]
p(c_18) = [2]
p(c_19) = [1] x1 + [0]
p(c_20) = [1] x1 + [2] x2 + [1]
p(c_21) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
Following rules are strictly oriented:
g_9#(s(x),y) = [2] x + [16]
> [2] x + [3]
= c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_9#(x) = [3] x + [0]
>= [2] x + [0]
= c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) = [2] x + [8] y + [16]
>= [3] y + [0]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [2] x + [8] y + [16]
>= [2] x + [8] y + [0]
= g_10#(x,y)
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
2:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):1
3:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):3
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):2
4:W:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
3: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
2: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
1: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
4: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
2: g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:1: NaturalPI WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a polynomial interpretation of kind constructor-based(mixed(2)):
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_9) = {1},
uargs(c_10) = {1},
uargs(c_19) = {1},
uargs(c_20) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = 1
p(b) = 0
p(f_0) = 2
p(f_1) = 4
p(f_10) = 1 + x1
p(f_2) = 2 + x1
p(f_3) = 1 + x1
p(f_4) = x1 + x1^2
p(f_5) = 1 + 4*x1 + 4*x1^2
p(f_6) = 0
p(f_7) = 4 + x1^2
p(f_8) = 1 + 2*x1^2
p(f_9) = 2 + 2*x1
p(g_1) = x1 + x1*x2
p(g_10) = 2 + 4*x1
p(g_2) = x1 + x1^2
p(g_3) = 2*x1 + x1*x2 + x1^2 + x2 + 2*x2^2
p(g_4) = x1 + 2*x1^2 + x2^2
p(g_5) = x1
p(g_6) = 1 + x2
p(g_7) = 1 + 2*x1 + x1*x2
p(g_8) = 1 + 4*x1*x2 + x2 + x2^2
p(g_9) = 2*x1 + 2*x1*x2 + x1^2 + 4*x2^2
p(s) = 1 + x1
p(f_0#) = 1 + x1 + x1^2
p(f_1#) = x1 + x1^2
p(f_10#) = 1 + 4*x1 + x1^2
p(f_2#) = 4
p(f_3#) = 1 + x1
p(f_4#) = 4
p(f_5#) = 2 + x1 + x1^2
p(f_6#) = 4*x1
p(f_7#) = 2 + x1
p(f_8#) = 2 + 5*x1 + x1^2
p(f_9#) = 1 + 5*x1 + 4*x1^2
p(g_1#) = 2 + 2*x1^2
p(g_10#) = 4*x1*x2 + 5*x1^2 + 4*x2 + 4*x2^2
p(g_2#) = 1 + x1 + x1^2
p(g_3#) = 1
p(g_4#) = 2 + x1 + x1^2 + 2*x2^2
p(g_5#) = 1 + 2*x1 + 2*x1^2
p(g_6#) = 2 + 2*x1 + 2*x1^2 + x2 + 2*x2^2
p(g_7#) = 1 + x1
p(g_8#) = 4*x1 + x1*x2
p(g_9#) = 3*x1^2 + 5*x2 + x2^2
p(c_1) = 0
p(c_2) = 0
p(c_3) = 1
p(c_4) = 0
p(c_5) = x1
p(c_6) = 0
p(c_7) = x1
p(c_8) = x1
p(c_9) = 1 + x1
p(c_10) = 1 + x1
p(c_11) = 1 + x1
p(c_12) = 0
p(c_13) = x2
p(c_14) = 1
p(c_15) = x1
p(c_16) = 0
p(c_17) = x1
p(c_18) = 1 + x1
p(c_19) = x1
p(c_20) = x1 + x2
p(c_21) = 1
Following rules are strictly oriented:
g_7#(s(x),y) = 2 + x
> 1 + x
= c_19(g_7#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_7#(x) = 2 + x
>= 2 + x
= c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) = 2 + 5*x + x^2
>= 1 + 4*x + x^2
= c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) = 1 + 5*x + 4*x^2
>= 5*x + 4*x^2
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = 5 + 10*x + 4*x*y + 5*x^2 + 8*y + 4*y^2
>= 1 + 5*y + 4*y^2
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = 5 + 10*x + 4*x*y + 5*x^2 + 8*y + 4*y^2
>= 4*x*y + 5*x^2 + 4*y + 4*y^2
= g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) = 4 + 4*x + x*y + y
>= 2 + 4*x + x*y + y
= c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) = 3 + 6*x + 3*x^2 + 5*y + y^2
>= 2 + 5*y + y^2
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = 3 + 6*x + 3*x^2 + 5*y + y^2
>= 3*x^2 + 5*y + y^2
= g_9#(x,y)
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y)):6
2:W:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):7
3:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):9
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):8
4:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):3
5:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):5
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):4
6:W:g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y)):6
7:W:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):7
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):1
8:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):2
9:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):9
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):8
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
6: g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
2:W:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):7
3:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):9
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):8
4:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):3
5:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):5
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):4
7:W:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):7
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):1
8:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):2
9:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):9
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):8
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
f_7#(x) -> c_9()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:3: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?
,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_7#(x) -> c_9()
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: f_7#(x) -> c_9()
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:3.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_7#(x) -> c_9()
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_10) = {1},
uargs(c_20) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [2]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [4]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [4]
p(f_8#) = [9] x1 + [6]
p(f_9#) = [11] x1 + [10]
p(g_1#) = [2] x1 + [1]
p(g_10#) = [2] x1 + [11] x2 + [6]
p(g_2#) = [1]
p(g_3#) = [1] x1 + [2]
p(g_4#) = [1] x1 + [2]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [8] x1 + [1] x2 + [2]
p(g_7#) = [1] x2 + [1]
p(g_8#) = [4] x1 + [5] x2 + [0]
p(g_9#) = [1] x1 + [10] x2 + [5]
p(c_1) = [2]
p(c_2) = [1]
p(c_3) = [8]
p(c_4) = [2] x1 + [4]
p(c_5) = [1] x1 + [2]
p(c_6) = [1] x1 + [0]
p(c_7) = [1] x1 + [1]
p(c_8) = [4] x1 + [1]
p(c_9) = [2]
p(c_10) = [1] x1 + [6]
p(c_11) = [4]
p(c_12) = [1]
p(c_13) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_14) = [8] x1 + [8]
p(c_15) = [1]
p(c_16) = [4] x1 + [1]
p(c_17) = [1]
p(c_18) = [1] x1 + [1]
p(c_19) = [1] x1 + [1]
p(c_20) = [4] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_21) = [2] x1 + [8] x2 + [1]
Following rules are strictly oriented:
f_7#(x) = [4]
> [2]
= c_9()
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_8#(x) = [9] x + [6]
>= [9] x + [6]
= c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) = [11] x + [10]
>= [11] x + [5]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [2] x + [11] y + [14]
>= [11] y + [10]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [2] x + [11] y + [14]
>= [2] x + [11] y + [6]
= g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [4] x + [5] y + [16]
>= [4] x + [5] y + [16]
= c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) = [1] x + [10] y + [9]
>= [9] y + [6]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [1] x + [10] y + [9]
>= [1] x + [10] y + [5]
= g_9#(x,y)
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:3.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9()
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9()
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_7#(x) -> c_9()
2:W:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):6
3:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):8
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):7
4:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):3
5:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):5
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):4
6:W:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):6
-->_1 f_7#(x) -> c_9():1
7:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):2
8:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):8
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):7
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
5: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
4: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
3: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
8: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
7: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
2: f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
6: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
1: f_7#(x) -> c_9()
************* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1.b:3.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^3))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):4
2:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):5
3:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):3
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):2
4:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):6
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):4
5:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):5
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):1
6:W:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y)):7
7:W:g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y)):7
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
6: f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
7: g_7#(s(x),y) -> c_19(g_7#(x,y))
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^3))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/2,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):4
2:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):5
3:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):3
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):2
4:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):4
5:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):5
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):1
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
********* Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3: Decompose WORST_CASE(?,O(n^3))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Decompose {onSelection = all cycle independent sub-graph, withBound = RelativeAdd}
+ Details:
We analyse the complexity of following sub-problems (R) and (S).
Problem (S) is obtained from the input problem by shifting strict rules from (R) into the weak component.
Problem (R)
- Strict DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
Problem (S)
- Strict DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1: DecomposeDG WORST_CASE(?,O(n^3))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
+ Details:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
and a lower component
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_13) = {2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [0]
p(f_0) = [1] x1 + [2]
p(f_1) = [1] x1 + [1]
p(f_10) = [2] x1 + [0]
p(f_2) = [4] x1 + [0]
p(f_3) = [1] x1 + [2]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [8] x1 + [0]
p(f_7) = [2] x1 + [0]
p(f_8) = [1] x1 + [0]
p(f_9) = [1] x1 + [0]
p(g_1) = [1] x1 + [2] x2 + [2]
p(g_10) = [8]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [6]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [0]
p(f_9#) = [0]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [4] x1 + [8] x2 + [2]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [0]
p(g_8#) = [0]
p(g_9#) = [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [1] x1 + [8]
p(c_3) = [1] x1 + [0]
p(c_4) = [8]
p(c_5) = [1]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [8] x1 + [0]
p(c_8) = [1]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [1]
p(c_11) = [1] x1 + [4]
p(c_12) = [1] x1 + [1]
p(c_13) = [1] x2 + [12]
p(c_14) = [2] x1 + [4]
p(c_15) = [1] x1 + [8]
p(c_16) = [1] x1 + [0]
p(c_17) = [1] x1 + [0]
p(c_18) = [1]
p(c_19) = [1] x1 + [1]
p(c_20) = [1] x1 + [1]
p(c_21) = [1] x1 + [2] x2 + [1]
Following rules are strictly oriented:
g_10#(s(x),y) = [4] x + [8] y + [26]
> [4] x + [8] y + [14]
= c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):1
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
2: g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:1: NaturalPI WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a polynomial interpretation of kind constructor-based(mixed(2)):
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_10) = {1},
uargs(c_11) = {1},
uargs(c_20) = {1},
uargs(c_21) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = 1
p(b) = 1 + x1 + x2
p(f_0) = 0
p(f_1) = 0
p(f_10) = 0
p(f_2) = 0
p(f_3) = 0
p(f_4) = 0
p(f_5) = 0
p(f_6) = 0
p(f_7) = 0
p(f_8) = 0
p(f_9) = x1^2
p(g_1) = 1 + 4*x1
p(g_10) = x1 + x1^2 + x2^2
p(g_2) = 0
p(g_3) = 2*x2
p(g_4) = 2 + 2*x1 + x1*x2 + x1^2 + 2*x2
p(g_5) = x1*x2 + x1^2 + x2^2
p(g_6) = 0
p(g_7) = x2 + x2^2
p(g_8) = x1*x2 + x2^2
p(g_9) = x1*x2
p(s) = 1 + x1
p(f_0#) = x1
p(f_1#) = 1 + 2*x1 + x1^2
p(f_10#) = 4 + x1
p(f_2#) = 1
p(f_3#) = 1
p(f_4#) = x1
p(f_5#) = x1^2
p(f_6#) = 2
p(f_7#) = 0
p(f_8#) = 6 + x1
p(f_9#) = 5 + 4*x1 + 7*x1^2
p(g_1#) = 2*x2 + x2^2
p(g_10#) = 2*x1 + 4*x1*x2 + 3*x1^2 + 7*x2^2
p(g_2#) = 1 + 4*x1^2 + x2^2
p(g_3#) = 0
p(g_4#) = 4 + 2*x1 + 2*x2 + x2^2
p(g_5#) = 2 + x2^2
p(g_6#) = x2^2
p(g_7#) = 2 + 4*x1 + x1*x2 + 4*x1^2
p(g_8#) = x1
p(g_9#) = 3*x1 + x1*x2 + 4*x1^2 + 2*x2^2
p(c_1) = 0
p(c_2) = x1
p(c_3) = 1
p(c_4) = x1
p(c_5) = x1
p(c_6) = 0
p(c_7) = 0
p(c_8) = x1
p(c_9) = 0
p(c_10) = x1
p(c_11) = x1
p(c_12) = x1
p(c_13) = 0
p(c_14) = 1
p(c_15) = 0
p(c_16) = 1 + x1
p(c_17) = 0
p(c_18) = 0
p(c_19) = 0
p(c_20) = x1
p(c_21) = x1 + x2
Following rules are strictly oriented:
f_8#(x) = 6 + x
> x
= c_10(g_8#(x,x))
g_8#(s(x),y) = 1 + x
> x
= c_20(g_8#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_9#(x) = 5 + 4*x + 7*x^2
>= 3*x + 7*x^2
= c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) = 5 + 8*x + 4*x*y + 3*x^2 + 4*y + 7*y^2
>= 5 + 4*y + 7*y^2
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = 5 + 8*x + 4*x*y + 3*x^2 + 4*y + 7*y^2
>= 2*x + 4*x*y + 3*x^2 + 7*y^2
= g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) = 7 + 11*x + x*y + 4*x^2 + y + 2*y^2
>= 6 + 3*x + x*y + 4*x^2 + y + 2*y^2
= c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y)):5
2:W:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):6
3:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):2
4:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):4
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):3
5:W:g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y)):5
6:W:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):6
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):1
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
4: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
3: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
2: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
6: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
1: f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
5: g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Weak DPs:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):3
2:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):2
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):1
3:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):4
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):3
4:W:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y)):5
5:W:g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y)):5
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
4: f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
5: g_8#(s(x),y) -> c_20(g_8#(x,y))
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/2}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):3
2:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):2
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):1
3:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):3
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y))
********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3: Decompose WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Decompose {onSelection = all cycle independent sub-graph, withBound = RelativeAdd}
+ Details:
We analyse the complexity of following sub-problems (R) and (S).
Problem (S) is obtained from the input problem by shifting strict rules from (R) into the weak component.
Problem (R)
- Strict DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y))
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
Problem (S)
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y))
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
3: g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:1: NaturalPI WORST_CASE(?,O(n^2))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y))
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a polynomial interpretation of kind constructor-based(mixed(2)):
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_11) = {1},
uargs(c_13) = {1,2},
uargs(c_21) = {1}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = 1
p(b) = 1 + x1 + x2
p(f_0) = 0
p(f_1) = 0
p(f_10) = 0
p(f_2) = 0
p(f_3) = 0
p(f_4) = 0
p(f_5) = 0
p(f_6) = 0
p(f_7) = 0
p(f_8) = 0
p(f_9) = 0
p(g_1) = 0
p(g_10) = 0
p(g_2) = 0
p(g_3) = 0
p(g_4) = 0
p(g_5) = 0
p(g_6) = 0
p(g_7) = 0
p(g_8) = x1^2 + x2
p(g_9) = 4 + x1^2 + 4*x2^2
p(s) = 1 + x1
p(f_0#) = 1 + x1 + x1^2
p(f_1#) = 2
p(f_10#) = 1 + 2*x1 + x1^2
p(f_2#) = 2
p(f_3#) = 1 + 2*x1
p(f_4#) = 2 + x1 + x1^2
p(f_5#) = 1 + 4*x1
p(f_6#) = 8*x1^2
p(f_7#) = 2
p(f_8#) = 1 + x1^2
p(f_9#) = 9 + 12*x1
p(g_1#) = 1 + x1^2
p(g_10#) = 12 + 12*x1 + 12*x1*x2 + 4*x2 + 2*x2^2
p(g_2#) = 8*x1*x2 + 2*x1^2 + x2
p(g_3#) = x1 + x1*x2 + x1^2 + 2*x2 + x2^2
p(g_4#) = x1*x2 + x1^2 + 2*x2^2
p(g_5#) = 2 + 2*x1 + x1*x2
p(g_6#) = 1 + x1*x2 + x1^2 + 2*x2
p(g_7#) = 8*x1 + x1*x2 + x1^2 + x2
p(g_8#) = 8*x1 + x1*x2 + x2 + 2*x2^2
p(g_9#) = 3*x1 + 4*x2
p(c_1) = 0
p(c_2) = 0
p(c_3) = 1 + x1
p(c_4) = 1
p(c_5) = 1 + x1
p(c_6) = 1
p(c_7) = 1
p(c_8) = 1 + x1
p(c_9) = x1
p(c_10) = 0
p(c_11) = x1
p(c_12) = x1
p(c_13) = x1 + x2
p(c_14) = 1
p(c_15) = 0
p(c_16) = 0
p(c_17) = 0
p(c_18) = x1
p(c_19) = 0
p(c_20) = x1
p(c_21) = x1
Following rules are strictly oriented:
f_9#(x) = 9 + 12*x
> 7*x
= c_11(g_9#(x,x))
g_9#(s(x),y) = 3 + 3*x + 4*y
> 3*x + 4*y
= c_21(g_9#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
g_10#(s(x),y) = 24 + 12*x + 12*x*y + 16*y + 2*y^2
>= 21 + 12*x + 12*x*y + 16*y + 2*y^2
= c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y)):3
2:W:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):2
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):1
3:W:g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y)):3
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
2: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
1: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
3: g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Weak DPs:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):2
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):1
2:W:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y)):3
3:W:g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y)):3
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
2: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
3: g_9#(s(x),y) -> c_21(g_9#(x,y))
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
SimplifyRHS
+ Details:
Consider the dependency graph
1:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):1
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
g_10#(s(x),y) -> c_13(g_10#(x,y))
*********** Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}}
+ Details:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly:
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(g_10#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1))
+ Considered Problem:
- Strict DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules}
+ Details:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_13) = {1}
Following symbols are considered usable:
{f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#
,g_9#}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [1]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [2]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [2] x2 + [0]
p(g_3) = [1] x2 + [0]
p(g_4) = [1] x2 + [8]
p(g_5) = [1] x1 + [8] x2 + [0]
p(g_6) = [2] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_7) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_8) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_9) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
p(s) = [1] x1 + [4]
p(f_0#) = [1] x1 + [2]
p(f_1#) = [2] x1 + [0]
p(f_10#) = [1] x1 + [1]
p(f_2#) = [2] x1 + [2]
p(f_3#) = [1]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [1] x1 + [4]
p(f_6#) = [1] x1 + [1]
p(f_7#) = [2] x1 + [0]
p(f_8#) = [1] x1 + [0]
p(f_9#) = [2] x1 + [0]
p(g_1#) = [2] x1 + [1] x2 + [2]
p(g_10#) = [4] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_2#) = [1] x2 + [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [0]
p(g_8#) = [0]
p(g_9#) = [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [1] x1 + [12]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [0]
p(c_18) = [2]
p(c_19) = [2]
p(c_20) = [2]
p(c_21) = [4]
Following rules are strictly oriented:
g_10#(s(x),y) = [4] x + [1] y + [16]
> [4] x + [1] y + [12]
= c_13(g_10#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}}
+ Details:
()
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Weak DPs:
g_10#(s(x),y) -> c_13(g_10#(x,y))
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
+ Details:
Consider the dependency graph
1:W:g_10#(s(x),y) -> c_13(g_10#(x,y))
-->_1 g_10#(s(x),y) -> c_13(g_10#(x,y)):1
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(g_10#(x,y))
************ Step 1.b:7.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:3.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1))
+ Considered Problem:
- Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2
,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1
,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1
,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/1
,c_20/1,c_21/1}
- Obligation:
innermost runtime complexity wrt. defined symbols {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#
,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#} and constructors {a,b,s}
+ Applied Processor:
EmptyProcessor
+ Details:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
WORST_CASE(Omega(n^1),O(n^10))