Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeros → cons(0, n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0 → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Rewrite Strategy: INNERMOST

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeros' → cons'(0', n__zeros')
U11'(tt', V1) → U12'(isNatIListKind'(activate'(V1)), activate'(V1))
U12'(tt', V1) → U13'(isNatList'(activate'(V1)))
U13'(tt') → tt'
U21'(tt', V1) → U22'(isNatKind'(activate'(V1)), activate'(V1))
U22'(tt', V1) → U23'(isNat'(activate'(V1)))
U23'(tt') → tt'
U31'(tt', V) → U32'(isNatIListKind'(activate'(V)), activate'(V))
U32'(tt', V) → U33'(isNatList'(activate'(V)))
U33'(tt') → tt'
U41'(tt', V1, V2) → U42'(isNatKind'(activate'(V1)), activate'(V1), activate'(V2))
U42'(tt', V1, V2) → U43'(isNatIListKind'(activate'(V2)), activate'(V1), activate'(V2))
U43'(tt', V1, V2) → U44'(isNatIListKind'(activate'(V2)), activate'(V1), activate'(V2))
U44'(tt', V1, V2) → U45'(isNat'(activate'(V1)), activate'(V2))
U45'(tt', V2) → U46'(isNatIList'(activate'(V2)))
U46'(tt') → tt'
U51'(tt', V2) → U52'(isNatIListKind'(activate'(V2)))
U52'(tt') → tt'
U61'(tt') → tt'
U71'(tt') → tt'
U81'(tt', V1, V2) → U82'(isNatKind'(activate'(V1)), activate'(V1), activate'(V2))
U82'(tt', V1, V2) → U83'(isNatIListKind'(activate'(V2)), activate'(V1), activate'(V2))
U83'(tt', V1, V2) → U84'(isNatIListKind'(activate'(V2)), activate'(V1), activate'(V2))
U84'(tt', V1, V2) → U85'(isNat'(activate'(V1)), activate'(V2))
U85'(tt', V2) → U86'(isNatList'(activate'(V2)))
U86'(tt') → tt'
U91'(tt', L, N) → U92'(isNatIListKind'(activate'(L)), activate'(L), activate'(N))
U92'(tt', L, N) → U93'(isNat'(activate'(N)), activate'(L), activate'(N))
U93'(tt', L, N) → U94'(isNatKind'(activate'(N)), activate'(L))
U94'(tt', L) → s'(length'(activate'(L)))
isNat'(n__0') → tt'
isNat'(n__length'(V1)) → U11'(isNatIListKind'(activate'(V1)), activate'(V1))
isNat'(n__s'(V1)) → U21'(isNatKind'(activate'(V1)), activate'(V1))
isNatIList'(V) → U31'(isNatIListKind'(activate'(V)), activate'(V))
isNatIList'(n__zeros') → tt'
isNatIList'(n__cons'(V1, V2)) → U41'(isNatKind'(activate'(V1)), activate'(V1), activate'(V2))
isNatIListKind'(n__nil') → tt'
isNatIListKind'(n__zeros') → tt'
isNatIListKind'(n__cons'(V1, V2)) → U51'(isNatKind'(activate'(V1)), activate'(V2))
isNatKind'(n__0') → tt'
isNatKind'(n__length'(V1)) → U61'(isNatIListKind'(activate'(V1)))
isNatKind'(n__s'(V1)) → U71'(isNatKind'(activate'(V1)))
isNatList'(n__nil') → tt'
isNatList'(n__cons'(V1, V2)) → U81'(isNatKind'(activate'(V1)), activate'(V1), activate'(V2))
length'(nil') → 0'
length'(cons'(N, L)) → U91'(isNatList'(activate'(L)), activate'(L), N)
zeros' → n__zeros'
0' → n__0'
length'(X) → n__length'(X)
s'(X) → n__s'(X)
cons'(X1, X2) → n__cons'(X1, X2)
nil' → n__nil'
activate'(n__zeros') → zeros'
activate'(n__0') → 0'
activate'(n__length'(X)) → length'(activate'(X))
activate'(n__s'(X)) → s'(activate'(X))
activate'(n__cons'(X1, X2)) → cons'(activate'(X1), X2)
activate'(n__nil') → nil'
activate'(X) → X

Rewrite Strategy: INNERMOST

Infered types.

Rules:
zeros' → cons'(0', n__zeros')
U11'(tt', V1) → U12'(isNatIListKind'(activate'(V1)), activate'(V1))
U12'(tt', V1) → U13'(isNatList'(activate'(V1)))
U13'(tt') → tt'
U21'(tt', V1) → U22'(isNatKind'(activate'(V1)), activate'(V1))
U22'(tt', V1) → U23'(isNat'(activate'(V1)))
U23'(tt') → tt'
U31'(tt', V) → U32'(isNatIListKind'(activate'(V)), activate'(V))
U32'(tt', V) → U33'(isNatList'(activate'(V)))
U33'(tt') → tt'
U41'(tt', V1, V2) → U42'(isNatKind'(activate'(V1)), activate'(V1), activate'(V2))
U42'(tt', V1, V2) → U43'(isNatIListKind'(activate'(V2)), activate'(V1), activate'(V2))
U43'(tt', V1, V2) → U44'(isNatIListKind'(activate'(V2)), activate'(V1), activate'(V2))
U44'(tt', V1, V2) → U45'(isNat'(activate'(V1)), activate'(V2))
U45'(tt', V2) → U46'(isNatIList'(activate'(V2)))
U46'(tt') → tt'
U51'(tt', V2) → U52'(isNatIListKind'(activate'(V2)))
U52'(tt') → tt'
U61'(tt') → tt'
U71'(tt') → tt'
U81'(tt', V1, V2) → U82'(isNatKind'(activate'(V1)), activate'(V1), activate'(V2))
U82'(tt', V1, V2) → U83'(isNatIListKind'(activate'(V2)), activate'(V1), activate'(V2))
U83'(tt', V1, V2) → U84'(isNatIListKind'(activate'(V2)), activate'(V1), activate'(V2))
U84'(tt', V1, V2) → U85'(isNat'(activate'(V1)), activate'(V2))
U85'(tt', V2) → U86'(isNatList'(activate'(V2)))
U86'(tt') → tt'
U91'(tt', L, N) → U92'(isNatIListKind'(activate'(L)), activate'(L), activate'(N))
U92'(tt', L, N) → U93'(isNat'(activate'(N)), activate'(L), activate'(N))
U93'(tt', L, N) → U94'(isNatKind'(activate'(N)), activate'(L))
U94'(tt', L) → s'(length'(activate'(L)))
isNat'(n__0') → tt'
isNat'(n__length'(V1)) → U11'(isNatIListKind'(activate'(V1)), activate'(V1))
isNat'(n__s'(V1)) → U21'(isNatKind'(activate'(V1)), activate'(V1))
isNatIList'(V) → U31'(isNatIListKind'(activate'(V)), activate'(V))
isNatIList'(n__zeros') → tt'
isNatIList'(n__cons'(V1, V2)) → U41'(isNatKind'(activate'(V1)), activate'(V1), activate'(V2))
isNatIListKind'(n__nil') → tt'
isNatIListKind'(n__zeros') → tt'
isNatIListKind'(n__cons'(V1, V2)) → U51'(isNatKind'(activate'(V1)), activate'(V2))
isNatKind'(n__0') → tt'
isNatKind'(n__length'(V1)) → U61'(isNatIListKind'(activate'(V1)))
isNatKind'(n__s'(V1)) → U71'(isNatKind'(activate'(V1)))
isNatList'(n__nil') → tt'
isNatList'(n__cons'(V1, V2)) → U81'(isNatKind'(activate'(V1)), activate'(V1), activate'(V2))
length'(nil') → 0'
length'(cons'(N, L)) → U91'(isNatList'(activate'(L)), activate'(L), N)
zeros' → n__zeros'
0' → n__0'
length'(X) → n__length'(X)
s'(X) → n__s'(X)
cons'(X1, X2) → n__cons'(X1, X2)
nil' → n__nil'
activate'(n__zeros') → zeros'
activate'(n__0') → 0'
activate'(n__length'(X)) → length'(activate'(X))
activate'(n__s'(X)) → s'(activate'(X))
activate'(n__cons'(X1, X2)) → cons'(activate'(X1), X2)
activate'(n__nil') → nil'
activate'(X) → X

Types:
zeros' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
cons' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
0' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
n__zeros' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
U11' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
tt' :: tt'
U12' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
isNatIListKind' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
activate' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
U13' :: tt' → tt'
isNatList' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U21' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U22' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
isNatKind' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U23' :: tt' → tt'
isNat' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U31' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U32' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U33' :: tt' → tt'
U41' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U42' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U43' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U44' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U45' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U46' :: tt' → tt'
isNatIList' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U51' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U52' :: tt' → tt'
U61' :: tt' → tt'
U71' :: tt' → tt'
U81' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U82' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U83' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U84' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U85' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → tt'
U86' :: tt' → tt'
U91' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
U92' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
U93' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
U94' :: tt' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
s' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
length' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
n__0' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
n__length' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
n__s' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
n__cons' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil' → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
n__nil' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
nil' :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
_hole_n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'1 :: n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'
_hole_tt'2 :: tt'
_gen_n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'3 :: Nat → n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNatIListKind', activate', isNatList', isNatKind', isNat', isNatIList', length'

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIListKind' = activate'
isNatIListKind' = isNatList'
isNatIListKind' = isNatKind'
isNatIListKind' = isNat'
isNatIListKind' < isNatIList'
isNatIListKind' = length'
activate' = isNatList'
activate' = isNatKind'
activate' = isNat'
activate' < isNatIList'
activate' = length'
isNatList' = isNatKind'
isNatList' = isNat'
isNatList' = length'
isNatKind' = isNat'
isNatKind' < isNatIList'
isNatKind' = length'
isNat' < isNatIList'
isNat' = length'

Generator Equations:
_gen_n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'3(0) ⇔ n__zeros'
_gen_n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'3(+(x, 1)) ⇔ n__length'(_gen_n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatKind', isNatIListKind', activate', isNatList', isNat', isNatIList', length'

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatKind'.

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIListKind', activate', isNatList', isNat', isNatIList', length'

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIListKind'.

The following defined symbols remain to be analysed:
activate', isNatList', isNat', isNatIList', length'

Proved the following rewrite lemma:
activate'(_gen_n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'3(+(1, _n20986))) → _*4, rt ∈ Ω(_n20986)

Induction Base:
activate'(_gen_n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'3(+(1, 0)))

Induction Step:
activate'(_gen_n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'3(+(1, +(_$n20987, 1)))) →_R^Ω(1)
length'(activate'(_gen_n__zeros':n__0':n__length':n__s':n__cons':n__nil'3(+(1, _$n20987)))) →_IH
length'(_*4)

We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).