Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__first(0, X) → nil
a__first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(mark(Y), first(X, Z))
a__from(X) → cons(mark(X), from(s(X)))
mark(first(X1, X2)) → a__first(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(mark(X))
mark(0) → 0
mark(nil) → nil
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__first(X1, X2) → first(X1, X2)
a__from(X) → from(X)

Rewrite Strategy: INNERMOST

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y, Z)) → cons'(mark'(Y), first'(X, Z))
a__from'(X) → cons'(mark'(X), from'(s'(X)))
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(0') → 0'
mark'(nil') → nil'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(cons'(X1, X2)) → cons'(mark'(X1), X2)
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)

Rewrite Strategy: INNERMOST

Sliced the following arguments:
cons'/1

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y)) → cons'(mark'(Y))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(0') → 0'
mark'(nil') → nil'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)

Rewrite Strategy: INNERMOST

Infered types.

Rules:
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y)) → cons'(mark'(Y))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(0') → 0'
mark'(nil') → nil'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)

Types:
a__first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
0' :: 0':nil':s':cons':first':from'
nil' :: 0':nil':s':cons':first':from'
s' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
cons' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
mark' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
a__from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
_hole_0':nil':s':cons':first':from'1 :: 0':nil':s':cons':first':from'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2 :: Nat → 0':nil':s':cons':first':from'

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
mark', a__from'

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark' = a__from'

Rules:
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y)) → cons'(mark'(Y))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(0') → 0'
mark'(nil') → nil'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)

Types:
a__first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
0' :: 0':nil':s':cons':first':from'
nil' :: 0':nil':s':cons':first':from'
s' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
cons' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
mark' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
a__from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
_hole_0':nil':s':cons':first':from'1 :: 0':nil':s':cons':first':from'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2 :: Nat → 0':nil':s':cons':first':from'

Generator Equations:
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(0) ⇔ 0'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__from', mark'

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark' = a__from'

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__from'.

Rules:
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y)) → cons'(mark'(Y))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(0') → 0'
mark'(nil') → nil'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)

Types:
a__first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
0' :: 0':nil':s':cons':first':from'
nil' :: 0':nil':s':cons':first':from'
s' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
cons' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
mark' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
a__from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
_hole_0':nil':s':cons':first':from'1 :: 0':nil':s':cons':first':from'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2 :: Nat → 0':nil':s':cons':first':from'

Generator Equations:
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(0) ⇔ 0'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark'

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark' = a__from'

Proved the following rewrite lemma:
mark'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130)) → _gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130), rt ∈ Ω(1 + n3130)

Induction Base:
mark'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(0)) →RΩ(1)
0'

Induction Step:
mark'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(+(_\$n3131, 1))) →RΩ(1)
s'(mark'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_\$n3131))) →IH
s'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_\$n3131))

We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

Rules:
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y)) → cons'(mark'(Y))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(0') → 0'
mark'(nil') → nil'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)

Types:
a__first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
0' :: 0':nil':s':cons':first':from'
nil' :: 0':nil':s':cons':first':from'
s' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
cons' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
mark' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
a__from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
_hole_0':nil':s':cons':first':from'1 :: 0':nil':s':cons':first':from'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2 :: Nat → 0':nil':s':cons':first':from'

Lemmas:
mark'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130)) → _gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130), rt ∈ Ω(1 + n3130)

Generator Equations:
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(0) ⇔ 0'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__from'

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark' = a__from'

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__from'.

Rules:
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y)) → cons'(mark'(Y))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(0') → 0'
mark'(nil') → nil'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)

Types:
a__first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
0' :: 0':nil':s':cons':first':from'
nil' :: 0':nil':s':cons':first':from'
s' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
cons' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
mark' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
a__from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
_hole_0':nil':s':cons':first':from'1 :: 0':nil':s':cons':first':from'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2 :: Nat → 0':nil':s':cons':first':from'

Lemmas:
mark'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130)) → _gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130), rt ∈ Ω(1 + n3130)

Generator Equations:
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(0) ⇔ 0'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(x))

No more defined symbols left to analyse.

The lowerbound Ω(n) was proven with the following lemma:
mark'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130)) → _gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130), rt ∈ Ω(1 + n3130)