a__first(0, X) → nil
a__first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(mark(Y), first(X, Z))
a__from(X) → cons(mark(X), from(s(X)))
mark(first(X1, X2)) → a__first(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(mark(X))
mark(0) → 0
mark(nil) → nil
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__first(X1, X2) → first(X1, X2)
a__from(X) → from(X)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y, Z)) → cons'(mark'(Y), first'(X, Z))
a__from'(X) → cons'(mark'(X), from'(s'(X)))
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(0') → 0'
mark'(nil') → nil'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(cons'(X1, X2)) → cons'(mark'(X1), X2)
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)
Sliced the following arguments:
cons'/1
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y)) → cons'(mark'(Y))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(0') → 0'
mark'(nil') → nil'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)
Infered types.
Rules:
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y)) → cons'(mark'(Y))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(0') → 0'
mark'(nil') → nil'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)
Types:
a__first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
0' :: 0':nil':s':cons':first':from'
nil' :: 0':nil':s':cons':first':from'
s' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
cons' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
mark' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
a__from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
_hole_0':nil':s':cons':first':from'1 :: 0':nil':s':cons':first':from'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2 :: Nat → 0':nil':s':cons':first':from'
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
mark', a__from'
They will be analysed ascendingly in the following order:
mark' = a__from'
Rules:
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y)) → cons'(mark'(Y))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(0') → 0'
mark'(nil') → nil'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)
Types:
a__first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
0' :: 0':nil':s':cons':first':from'
nil' :: 0':nil':s':cons':first':from'
s' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
cons' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
mark' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
a__from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
_hole_0':nil':s':cons':first':from'1 :: 0':nil':s':cons':first':from'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2 :: Nat → 0':nil':s':cons':first':from'
Generator Equations:
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(0) ⇔ 0'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__from', mark'
They will be analysed ascendingly in the following order:
mark' = a__from'
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__from'.
Rules:
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y)) → cons'(mark'(Y))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(0') → 0'
mark'(nil') → nil'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)
Types:
a__first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
0' :: 0':nil':s':cons':first':from'
nil' :: 0':nil':s':cons':first':from'
s' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
cons' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
mark' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
a__from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
_hole_0':nil':s':cons':first':from'1 :: 0':nil':s':cons':first':from'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2 :: Nat → 0':nil':s':cons':first':from'
Generator Equations:
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(0) ⇔ 0'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
mark'
They will be analysed ascendingly in the following order:
mark' = a__from'
Proved the following rewrite lemma:
mark'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130)) → _gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130), rt ∈ Ω(1 + n3130)
Induction Base:
mark'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(0)) →RΩ(1)
0'
Induction Step:
mark'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(+(_$n3131, 1))) →RΩ(1)
s'(mark'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_$n3131))) →IH
s'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_$n3131))
We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
Rules:
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y)) → cons'(mark'(Y))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(0') → 0'
mark'(nil') → nil'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)
Types:
a__first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
0' :: 0':nil':s':cons':first':from'
nil' :: 0':nil':s':cons':first':from'
s' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
cons' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
mark' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
a__from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
_hole_0':nil':s':cons':first':from'1 :: 0':nil':s':cons':first':from'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2 :: Nat → 0':nil':s':cons':first':from'
Lemmas:
mark'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130)) → _gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130), rt ∈ Ω(1 + n3130)
Generator Equations:
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(0) ⇔ 0'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__from'
They will be analysed ascendingly in the following order:
mark' = a__from'
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__from'.
Rules:
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y)) → cons'(mark'(Y))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(0') → 0'
mark'(nil') → nil'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)
Types:
a__first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
0' :: 0':nil':s':cons':first':from'
nil' :: 0':nil':s':cons':first':from'
s' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
cons' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
mark' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
a__from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
first' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
from' :: 0':nil':s':cons':first':from' → 0':nil':s':cons':first':from'
_hole_0':nil':s':cons':first':from'1 :: 0':nil':s':cons':first':from'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2 :: Nat → 0':nil':s':cons':first':from'
Lemmas:
mark'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130)) → _gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130), rt ∈ Ω(1 + n3130)
Generator Equations:
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(0) ⇔ 0'
_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(x))
No more defined symbols left to analyse.
The lowerbound Ω(n) was proven with the following lemma:
mark'(_gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130)) → _gen_0':nil':s':cons':first':from'2(_n3130), rt ∈ Ω(1 + n3130)