a__minus(0, Y) → 0
a__minus(s(X), s(Y)) → a__minus(X, Y)
a__geq(X, 0) → true
a__geq(0, s(Y)) → false
a__geq(s(X), s(Y)) → a__geq(X, Y)
a__div(0, s(Y)) → 0
a__div(s(X), s(Y)) → a__if(a__geq(X, Y), s(div(minus(X, Y), s(Y))), 0)
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
mark(minus(X1, X2)) → a__minus(X1, X2)
mark(geq(X1, X2)) → a__geq(X1, X2)
mark(div(X1, X2)) → a__div(mark(X1), X2)
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(0) → 0
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(true) → true
mark(false) → false
a__minus(X1, X2) → minus(X1, X2)
a__geq(X1, X2) → geq(X1, X2)
a__div(X1, X2) → div(X1, X2)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__minus'(0', Y) → 0'
a__minus'(s'(X), s'(Y)) → a__minus'(X, Y)
a__geq'(X, 0') → true'
a__geq'(0', s'(Y)) → false'
a__geq'(s'(X), s'(Y)) → a__geq'(X, Y)
a__div'(0', s'(Y)) → 0'
a__div'(s'(X), s'(Y)) → a__if'(a__geq'(X, Y), s'(div'(minus'(X, Y), s'(Y))), 0')
a__if'(true', X, Y) → mark'(X)
a__if'(false', X, Y) → mark'(Y)
mark'(minus'(X1, X2)) → a__minus'(X1, X2)
mark'(geq'(X1, X2)) → a__geq'(X1, X2)
mark'(div'(X1, X2)) → a__div'(mark'(X1), X2)
mark'(if'(X1, X2, X3)) → a__if'(mark'(X1), X2, X3)
mark'(0') → 0'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(true') → true'
mark'(false') → false'
a__minus'(X1, X2) → minus'(X1, X2)
a__geq'(X1, X2) → geq'(X1, X2)
a__div'(X1, X2) → div'(X1, X2)
a__if'(X1, X2, X3) → if'(X1, X2, X3)
Infered types.
Rules:
a__minus'(0', Y) → 0'
a__minus'(s'(X), s'(Y)) → a__minus'(X, Y)
a__geq'(X, 0') → true'
a__geq'(0', s'(Y)) → false'
a__geq'(s'(X), s'(Y)) → a__geq'(X, Y)
a__div'(0', s'(Y)) → 0'
a__div'(s'(X), s'(Y)) → a__if'(a__geq'(X, Y), s'(div'(minus'(X, Y), s'(Y))), 0')
a__if'(true', X, Y) → mark'(X)
a__if'(false', X, Y) → mark'(Y)
mark'(minus'(X1, X2)) → a__minus'(X1, X2)
mark'(geq'(X1, X2)) → a__geq'(X1, X2)
mark'(div'(X1, X2)) → a__div'(mark'(X1), X2)
mark'(if'(X1, X2, X3)) → a__if'(mark'(X1), X2, X3)
mark'(0') → 0'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(true') → true'
mark'(false') → false'
a__minus'(X1, X2) → minus'(X1, X2)
a__geq'(X1, X2) → geq'(X1, X2)
a__div'(X1, X2) → div'(X1, X2)
a__if'(X1, X2, X3) → if'(X1, X2, X3)
Types:
a__minus' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
0' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
s' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__geq' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
true' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
false' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__div' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__if' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
div' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
minus' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
mark' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
geq' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
if' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
_hole_0':s':true':false':minus':div':geq':if'1 :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2 :: Nat → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__minus', a__geq', mark'
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__minus' < mark'
a__geq' < mark'
Rules:
a__minus'(0', Y) → 0'
a__minus'(s'(X), s'(Y)) → a__minus'(X, Y)
a__geq'(X, 0') → true'
a__geq'(0', s'(Y)) → false'
a__geq'(s'(X), s'(Y)) → a__geq'(X, Y)
a__div'(0', s'(Y)) → 0'
a__div'(s'(X), s'(Y)) → a__if'(a__geq'(X, Y), s'(div'(minus'(X, Y), s'(Y))), 0')
a__if'(true', X, Y) → mark'(X)
a__if'(false', X, Y) → mark'(Y)
mark'(minus'(X1, X2)) → a__minus'(X1, X2)
mark'(geq'(X1, X2)) → a__geq'(X1, X2)
mark'(div'(X1, X2)) → a__div'(mark'(X1), X2)
mark'(if'(X1, X2, X3)) → a__if'(mark'(X1), X2, X3)
mark'(0') → 0'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(true') → true'
mark'(false') → false'
a__minus'(X1, X2) → minus'(X1, X2)
a__geq'(X1, X2) → geq'(X1, X2)
a__div'(X1, X2) → div'(X1, X2)
a__if'(X1, X2, X3) → if'(X1, X2, X3)
Types:
a__minus' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
0' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
s' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__geq' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
true' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
false' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__div' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__if' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
div' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
minus' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
mark' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
geq' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
if' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
_hole_0':s':true':false':minus':div':geq':if'1 :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2 :: Nat → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
Generator Equations:
_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0) ⇔ 0'
_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__minus', a__geq', mark'
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__minus' < mark'
a__geq' < mark'
Proved the following rewrite lemma:
a__minus'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n4), _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n4)) → _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
Induction Base:
a__minus'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0), _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0)) →RΩ(1)
0'
Induction Step:
a__minus'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(+(_$n5, 1)), _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(+(_$n5, 1))) →RΩ(1)
a__minus'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_$n5), _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_$n5)) →IH
_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0)
We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
Rules:
a__minus'(0', Y) → 0'
a__minus'(s'(X), s'(Y)) → a__minus'(X, Y)
a__geq'(X, 0') → true'
a__geq'(0', s'(Y)) → false'
a__geq'(s'(X), s'(Y)) → a__geq'(X, Y)
a__div'(0', s'(Y)) → 0'
a__div'(s'(X), s'(Y)) → a__if'(a__geq'(X, Y), s'(div'(minus'(X, Y), s'(Y))), 0')
a__if'(true', X, Y) → mark'(X)
a__if'(false', X, Y) → mark'(Y)
mark'(minus'(X1, X2)) → a__minus'(X1, X2)
mark'(geq'(X1, X2)) → a__geq'(X1, X2)
mark'(div'(X1, X2)) → a__div'(mark'(X1), X2)
mark'(if'(X1, X2, X3)) → a__if'(mark'(X1), X2, X3)
mark'(0') → 0'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(true') → true'
mark'(false') → false'
a__minus'(X1, X2) → minus'(X1, X2)
a__geq'(X1, X2) → geq'(X1, X2)
a__div'(X1, X2) → div'(X1, X2)
a__if'(X1, X2, X3) → if'(X1, X2, X3)
Types:
a__minus' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
0' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
s' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__geq' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
true' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
false' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__div' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__if' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
div' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
minus' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
mark' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
geq' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
if' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
_hole_0':s':true':false':minus':div':geq':if'1 :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2 :: Nat → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
Lemmas:
a__minus'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n4), _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n4)) → _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
Generator Equations:
_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0) ⇔ 0'
_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__geq', mark'
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__geq' < mark'
Proved the following rewrite lemma:
a__geq'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n2036), _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n2036)) → true', rt ∈ Ω(1 + n2036)
Induction Base:
a__geq'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0), _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0)) →RΩ(1)
true'
Induction Step:
a__geq'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(+(_$n2037, 1)), _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(+(_$n2037, 1))) →RΩ(1)
a__geq'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_$n2037), _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_$n2037)) →IH
true'
We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
Rules:
a__minus'(0', Y) → 0'
a__minus'(s'(X), s'(Y)) → a__minus'(X, Y)
a__geq'(X, 0') → true'
a__geq'(0', s'(Y)) → false'
a__geq'(s'(X), s'(Y)) → a__geq'(X, Y)
a__div'(0', s'(Y)) → 0'
a__div'(s'(X), s'(Y)) → a__if'(a__geq'(X, Y), s'(div'(minus'(X, Y), s'(Y))), 0')
a__if'(true', X, Y) → mark'(X)
a__if'(false', X, Y) → mark'(Y)
mark'(minus'(X1, X2)) → a__minus'(X1, X2)
mark'(geq'(X1, X2)) → a__geq'(X1, X2)
mark'(div'(X1, X2)) → a__div'(mark'(X1), X2)
mark'(if'(X1, X2, X3)) → a__if'(mark'(X1), X2, X3)
mark'(0') → 0'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(true') → true'
mark'(false') → false'
a__minus'(X1, X2) → minus'(X1, X2)
a__geq'(X1, X2) → geq'(X1, X2)
a__div'(X1, X2) → div'(X1, X2)
a__if'(X1, X2, X3) → if'(X1, X2, X3)
Types:
a__minus' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
0' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
s' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__geq' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
true' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
false' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__div' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__if' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
div' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
minus' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
mark' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
geq' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
if' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
_hole_0':s':true':false':minus':div':geq':if'1 :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2 :: Nat → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
Lemmas:
a__minus'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n4), _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n4)) → _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
a__geq'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n2036), _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n2036)) → true', rt ∈ Ω(1 + n2036)
Generator Equations:
_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0) ⇔ 0'
_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
mark'
Proved the following rewrite lemma:
mark'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n4091)) → _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n4091), rt ∈ Ω(1 + n4091)
Induction Base:
mark'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0)) →RΩ(1)
0'
Induction Step:
mark'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(+(_$n4092, 1))) →RΩ(1)
s'(mark'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_$n4092))) →IH
s'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_$n4092))
We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
Rules:
a__minus'(0', Y) → 0'
a__minus'(s'(X), s'(Y)) → a__minus'(X, Y)
a__geq'(X, 0') → true'
a__geq'(0', s'(Y)) → false'
a__geq'(s'(X), s'(Y)) → a__geq'(X, Y)
a__div'(0', s'(Y)) → 0'
a__div'(s'(X), s'(Y)) → a__if'(a__geq'(X, Y), s'(div'(minus'(X, Y), s'(Y))), 0')
a__if'(true', X, Y) → mark'(X)
a__if'(false', X, Y) → mark'(Y)
mark'(minus'(X1, X2)) → a__minus'(X1, X2)
mark'(geq'(X1, X2)) → a__geq'(X1, X2)
mark'(div'(X1, X2)) → a__div'(mark'(X1), X2)
mark'(if'(X1, X2, X3)) → a__if'(mark'(X1), X2, X3)
mark'(0') → 0'
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
mark'(true') → true'
mark'(false') → false'
a__minus'(X1, X2) → minus'(X1, X2)
a__geq'(X1, X2) → geq'(X1, X2)
a__div'(X1, X2) → div'(X1, X2)
a__if'(X1, X2, X3) → if'(X1, X2, X3)
Types:
a__minus' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
0' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
s' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__geq' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
true' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
false' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__div' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
a__if' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
div' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
minus' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
mark' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
geq' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
if' :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if' → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
_hole_0':s':true':false':minus':div':geq':if'1 :: 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2 :: Nat → 0':s':true':false':minus':div':geq':if'
Lemmas:
a__minus'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n4), _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n4)) → _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
a__geq'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n2036), _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n2036)) → true', rt ∈ Ω(1 + n2036)
mark'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n4091)) → _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n4091), rt ∈ Ω(1 + n4091)
Generator Equations:
_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0) ⇔ 0'
_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(x))
No more defined symbols left to analyse.
The lowerbound Ω(n) was proven with the following lemma:
a__minus'(_gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n4), _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(_n4)) → _gen_0':s':true':false':minus':div':geq':if'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)