a__app(nil, YS) → mark(YS)
a__app(cons(X, XS), YS) → cons(mark(X), app(XS, YS))
a__from(X) → cons(mark(X), from(s(X)))
a__zWadr(nil, YS) → nil
a__zWadr(XS, nil) → nil
a__zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(a__app(mark(Y), cons(mark(X), nil)), zWadr(XS, YS))
a__prefix(L) → cons(nil, zWadr(L, prefix(L)))
mark(app(X1, X2)) → a__app(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(mark(X))
mark(zWadr(X1, X2)) → a__zWadr(mark(X1), mark(X2))
mark(prefix(X)) → a__prefix(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__app(X1, X2) → app(X1, X2)
a__from(X) → from(X)
a__zWadr(X1, X2) → zWadr(X1, X2)
a__prefix(X) → prefix(X)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__app'(nil', YS) → mark'(YS)
a__app'(cons'(X, XS), YS) → cons'(mark'(X), app'(XS, YS))
a__from'(X) → cons'(mark'(X), from'(s'(X)))
a__zWadr'(nil', YS) → nil'
a__zWadr'(XS, nil') → nil'
a__zWadr'(cons'(X, XS), cons'(Y, YS)) → cons'(a__app'(mark'(Y), cons'(mark'(X), nil')), zWadr'(XS, YS))
a__prefix'(L) → cons'(nil', zWadr'(L, prefix'(L)))
mark'(app'(X1, X2)) → a__app'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(zWadr'(X1, X2)) → a__zWadr'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(prefix'(X)) → a__prefix'(mark'(X))
mark'(nil') → nil'
mark'(cons'(X1, X2)) → cons'(mark'(X1), X2)
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
a__app'(X1, X2) → app'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)
a__zWadr'(X1, X2) → zWadr'(X1, X2)
a__prefix'(X) → prefix'(X)
Sliced the following arguments:
cons'/1
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__app'(nil', YS) → mark'(YS)
a__app'(cons'(X), YS) → cons'(mark'(X))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
a__zWadr'(nil', YS) → nil'
a__zWadr'(XS, nil') → nil'
a__zWadr'(cons'(X), cons'(Y)) → cons'(a__app'(mark'(Y), cons'(mark'(X))))
a__prefix'(L) → cons'(nil')
mark'(app'(X1, X2)) → a__app'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(zWadr'(X1, X2)) → a__zWadr'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(prefix'(X)) → a__prefix'(mark'(X))
mark'(nil') → nil'
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
a__app'(X1, X2) → app'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)
a__zWadr'(X1, X2) → zWadr'(X1, X2)
a__prefix'(X) → prefix'(X)
Infered types.
Rules:
a__app'(nil', YS) → mark'(YS)
a__app'(cons'(X), YS) → cons'(mark'(X))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
a__zWadr'(nil', YS) → nil'
a__zWadr'(XS, nil') → nil'
a__zWadr'(cons'(X), cons'(Y)) → cons'(a__app'(mark'(Y), cons'(mark'(X))))
a__prefix'(L) → cons'(nil')
mark'(app'(X1, X2)) → a__app'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(zWadr'(X1, X2)) → a__zWadr'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(prefix'(X)) → a__prefix'(mark'(X))
mark'(nil') → nil'
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
a__app'(X1, X2) → app'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)
a__zWadr'(X1, X2) → zWadr'(X1, X2)
a__prefix'(X) → prefix'(X)
Types:
a__app' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
nil' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
mark' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
cons' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__from' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__zWadr' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__prefix' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
app' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
from' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
zWadr' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
prefix' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
s' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
_hole_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'1 :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2 :: Nat → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__app', mark', a__from'
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__app' = mark'
a__app' = a__from'
mark' = a__from'
Rules:
a__app'(nil', YS) → mark'(YS)
a__app'(cons'(X), YS) → cons'(mark'(X))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
a__zWadr'(nil', YS) → nil'
a__zWadr'(XS, nil') → nil'
a__zWadr'(cons'(X), cons'(Y)) → cons'(a__app'(mark'(Y), cons'(mark'(X))))
a__prefix'(L) → cons'(nil')
mark'(app'(X1, X2)) → a__app'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(zWadr'(X1, X2)) → a__zWadr'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(prefix'(X)) → a__prefix'(mark'(X))
mark'(nil') → nil'
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
a__app'(X1, X2) → app'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)
a__zWadr'(X1, X2) → zWadr'(X1, X2)
a__prefix'(X) → prefix'(X)
Types:
a__app' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
nil' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
mark' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
cons' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__from' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__zWadr' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__prefix' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
app' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
from' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
zWadr' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
prefix' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
s' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
_hole_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'1 :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2 :: Nat → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
Generator Equations:
_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(0) ⇔ nil'
_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(+(x, 1)) ⇔ cons'(_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
mark', a__app', a__from'
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__app' = mark'
a__app' = a__from'
mark' = a__from'
Proved the following rewrite lemma:
mark'(_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(_n4)) → _gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(_n4), rt ∈ Ω(1 + n4)
Induction Base:
mark'(_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(0)) →RΩ(1)
nil'
Induction Step:
mark'(_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(+(_$n5, 1))) →RΩ(1)
cons'(mark'(_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(_$n5))) →IH
cons'(_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(_$n5))
We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
Rules:
a__app'(nil', YS) → mark'(YS)
a__app'(cons'(X), YS) → cons'(mark'(X))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
a__zWadr'(nil', YS) → nil'
a__zWadr'(XS, nil') → nil'
a__zWadr'(cons'(X), cons'(Y)) → cons'(a__app'(mark'(Y), cons'(mark'(X))))
a__prefix'(L) → cons'(nil')
mark'(app'(X1, X2)) → a__app'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(zWadr'(X1, X2)) → a__zWadr'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(prefix'(X)) → a__prefix'(mark'(X))
mark'(nil') → nil'
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
a__app'(X1, X2) → app'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)
a__zWadr'(X1, X2) → zWadr'(X1, X2)
a__prefix'(X) → prefix'(X)
Types:
a__app' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
nil' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
mark' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
cons' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__from' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__zWadr' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__prefix' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
app' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
from' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
zWadr' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
prefix' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
s' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
_hole_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'1 :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2 :: Nat → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
Lemmas:
mark'(_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(_n4)) → _gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(_n4), rt ∈ Ω(1 + n4)
Generator Equations:
_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(0) ⇔ nil'
_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(+(x, 1)) ⇔ cons'(_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__app', a__from'
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__app' = mark'
a__app' = a__from'
mark' = a__from'
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__app'.
Rules:
a__app'(nil', YS) → mark'(YS)
a__app'(cons'(X), YS) → cons'(mark'(X))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
a__zWadr'(nil', YS) → nil'
a__zWadr'(XS, nil') → nil'
a__zWadr'(cons'(X), cons'(Y)) → cons'(a__app'(mark'(Y), cons'(mark'(X))))
a__prefix'(L) → cons'(nil')
mark'(app'(X1, X2)) → a__app'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(zWadr'(X1, X2)) → a__zWadr'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(prefix'(X)) → a__prefix'(mark'(X))
mark'(nil') → nil'
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
a__app'(X1, X2) → app'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)
a__zWadr'(X1, X2) → zWadr'(X1, X2)
a__prefix'(X) → prefix'(X)
Types:
a__app' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
nil' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
mark' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
cons' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__from' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__zWadr' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__prefix' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
app' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
from' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
zWadr' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
prefix' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
s' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
_hole_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'1 :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2 :: Nat → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
Lemmas:
mark'(_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(_n4)) → _gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(_n4), rt ∈ Ω(1 + n4)
Generator Equations:
_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(0) ⇔ nil'
_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(+(x, 1)) ⇔ cons'(_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__from'
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__app' = mark'
a__app' = a__from'
mark' = a__from'
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__from'.
Rules:
a__app'(nil', YS) → mark'(YS)
a__app'(cons'(X), YS) → cons'(mark'(X))
a__from'(X) → cons'(mark'(X))
a__zWadr'(nil', YS) → nil'
a__zWadr'(XS, nil') → nil'
a__zWadr'(cons'(X), cons'(Y)) → cons'(a__app'(mark'(Y), cons'(mark'(X))))
a__prefix'(L) → cons'(nil')
mark'(app'(X1, X2)) → a__app'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(mark'(X))
mark'(zWadr'(X1, X2)) → a__zWadr'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(prefix'(X)) → a__prefix'(mark'(X))
mark'(nil') → nil'
mark'(cons'(X1)) → cons'(mark'(X1))
mark'(s'(X)) → s'(mark'(X))
a__app'(X1, X2) → app'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)
a__zWadr'(X1, X2) → zWadr'(X1, X2)
a__prefix'(X) → prefix'(X)
Types:
a__app' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
nil' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
mark' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
cons' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__from' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__zWadr' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
a__prefix' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
app' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
from' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
zWadr' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
prefix' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
s' :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s' → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
_hole_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'1 :: nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2 :: Nat → nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'
Lemmas:
mark'(_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(_n4)) → _gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(_n4), rt ∈ Ω(1 + n4)
Generator Equations:
_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(0) ⇔ nil'
_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(+(x, 1)) ⇔ cons'(_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(x))
No more defined symbols left to analyse.
The lowerbound Ω(n) was proven with the following lemma:
mark'(_gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(_n4)) → _gen_nil':cons':app':from':zWadr':prefix':s'2(_n4), rt ∈ Ω(1 + n4)