Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__and(true, X) → mark(X)
a__and(false, Y) → false
a__if(true, X, Y) → mark(X)
a__if(false, X, Y) → mark(Y)
a__add(0, X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
a__first(0, X) → nil
a__first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, first(X, Z))
a__from(X) → cons(X, from(s(X)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(if(X1, X2, X3)) → a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), X2)
mark(first(X1, X2)) → a__first(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(X)
mark(true) → true
mark(false) → false
mark(0) → 0
mark(s(X)) → s(X)
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__if(X1, X2, X3) → if(X1, X2, X3)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__first(X1, X2) → first(X1, X2)
a__from(X) → from(X)

Rewrite Strategy: INNERMOST

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:


a__and'(true', X) → mark'(X)
a__and'(false', Y) → false'
a__if'(true', X, Y) → mark'(X)
a__if'(false', X, Y) → mark'(Y)
a__add'(0', X) → mark'(X)
a__add'(s'(X), Y) → s'(add'(X, Y))
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s'(X), cons'(Y, Z)) → cons'(Y, first'(X, Z))
a__from'(X) → cons'(X, from'(s'(X)))
mark'(and'(X1, X2)) → a__and'(mark'(X1), X2)
mark'(if'(X1, X2, X3)) → a__if'(mark'(X1), X2, X3)
mark'(add'(X1, X2)) → a__add'(mark'(X1), X2)
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from'(X)) → a__from'(X)
mark'(true') → true'
mark'(false') → false'
mark'(0') → 0'
mark'(s'(X)) → s'(X)
mark'(nil') → nil'
mark'(cons'(X1, X2)) → cons'(X1, X2)
a__and'(X1, X2) → and'(X1, X2)
a__if'(X1, X2, X3) → if'(X1, X2, X3)
a__add'(X1, X2) → add'(X1, X2)
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from'(X) → from'(X)

Rewrite Strategy: INNERMOST

Sliced the following arguments:
s'/0
cons'/0
cons'/1
a__from'/0
from'/0

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:


a__and'(true', X) → mark'(X)
a__and'(false', Y) → false'
a__if'(true', X, Y) → mark'(X)
a__if'(false', X, Y) → mark'(Y)
a__add'(0', X) → mark'(X)
a__add'(s', Y) → s'
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s', cons') → cons'
a__from' → cons'
mark'(and'(X1, X2)) → a__and'(mark'(X1), X2)
mark'(if'(X1, X2, X3)) → a__if'(mark'(X1), X2, X3)
mark'(add'(X1, X2)) → a__add'(mark'(X1), X2)
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from') → a__from'
mark'(true') → true'
mark'(false') → false'
mark'(0') → 0'
mark'(s') → s'
mark'(nil') → nil'
mark'(cons') → cons'
a__and'(X1, X2) → and'(X1, X2)
a__if'(X1, X2, X3) → if'(X1, X2, X3)
a__add'(X1, X2) → add'(X1, X2)
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from' → from'

Rewrite Strategy: INNERMOST

Infered types.

Rules:
a__and'(true', X) → mark'(X)
a__and'(false', Y) → false'
a__if'(true', X, Y) → mark'(X)
a__if'(false', X, Y) → mark'(Y)
a__add'(0', X) → mark'(X)
a__add'(s', Y) → s'
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s', cons') → cons'
a__from' → cons'
mark'(and'(X1, X2)) → a__and'(mark'(X1), X2)
mark'(if'(X1, X2, X3)) → a__if'(mark'(X1), X2, X3)
mark'(add'(X1, X2)) → a__add'(mark'(X1), X2)
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from') → a__from'
mark'(true') → true'
mark'(false') → false'
mark'(0') → 0'
mark'(s') → s'
mark'(nil') → nil'
mark'(cons') → cons'
a__and'(X1, X2) → and'(X1, X2)
a__if'(X1, X2, X3) → if'(X1, X2, X3)
a__add'(X1, X2) → add'(X1, X2)
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from' → from'

Types:
a__and' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
true' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
mark' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
false' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
a__if' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
a__add' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
0' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
s' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
a__first' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
nil' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
cons' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
a__from' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
and' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
if' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
add' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
first' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
from' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
_hole_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'1 :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2 :: Nat → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
mark'

Rules:
a__and'(true', X) → mark'(X)
a__and'(false', Y) → false'
a__if'(true', X, Y) → mark'(X)
a__if'(false', X, Y) → mark'(Y)
a__add'(0', X) → mark'(X)
a__add'(s', Y) → s'
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s', cons') → cons'
a__from' → cons'
mark'(and'(X1, X2)) → a__and'(mark'(X1), X2)
mark'(if'(X1, X2, X3)) → a__if'(mark'(X1), X2, X3)
mark'(add'(X1, X2)) → a__add'(mark'(X1), X2)
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from') → a__from'
mark'(true') → true'
mark'(false') → false'
mark'(0') → 0'
mark'(s') → s'
mark'(nil') → nil'
mark'(cons') → cons'
a__and'(X1, X2) → and'(X1, X2)
a__if'(X1, X2, X3) → if'(X1, X2, X3)
a__add'(X1, X2) → add'(X1, X2)
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from' → from'

Types:
a__and' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
true' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
mark' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
false' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
a__if' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
a__add' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
0' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
s' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
a__first' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
nil' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
cons' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
a__from' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
and' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
if' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
add' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
first' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
from' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
_hole_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'1 :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2 :: Nat → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'

Generator Equations:
_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(0) ⇔ true'
_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(+(x, 1)) ⇔ and'(_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(x), true')

The following defined symbols remain to be analysed:
mark'

Proved the following rewrite lemma:
mark'(_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(_n4)) → _gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)

Induction Base:
mark'(_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(0)) →RΩ(1)
true'

Induction Step:
mark'(_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(+(_$n5, 1))) →RΩ(1)
a__and'(mark'(_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(_$n5)), true') →IH
a__and'(_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(0), true') →RΩ(1)
mark'(true') →RΩ(1)
true'

We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

Rules:
a__and'(true', X) → mark'(X)
a__and'(false', Y) → false'
a__if'(true', X, Y) → mark'(X)
a__if'(false', X, Y) → mark'(Y)
a__add'(0', X) → mark'(X)
a__add'(s', Y) → s'
a__first'(0', X) → nil'
a__first'(s', cons') → cons'
a__from' → cons'
mark'(and'(X1, X2)) → a__and'(mark'(X1), X2)
mark'(if'(X1, X2, X3)) → a__if'(mark'(X1), X2, X3)
mark'(add'(X1, X2)) → a__add'(mark'(X1), X2)
mark'(first'(X1, X2)) → a__first'(mark'(X1), mark'(X2))
mark'(from') → a__from'
mark'(true') → true'
mark'(false') → false'
mark'(0') → 0'
mark'(s') → s'
mark'(nil') → nil'
mark'(cons') → cons'
a__and'(X1, X2) → and'(X1, X2)
a__if'(X1, X2, X3) → if'(X1, X2, X3)
a__add'(X1, X2) → add'(X1, X2)
a__first'(X1, X2) → first'(X1, X2)
a__from' → from'

Types:
a__and' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
true' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
mark' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
false' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
a__if' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
a__add' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
0' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
s' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
a__first' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
nil' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
cons' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
a__from' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
and' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
if' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
add' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
first' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from' → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
from' :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
_hole_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'1 :: true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'
_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2 :: Nat → true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'

Lemmas:
mark'(_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(_n4)) → _gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)

Generator Equations:
_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(0) ⇔ true'
_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(+(x, 1)) ⇔ and'(_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(x), true')

No more defined symbols left to analyse.

The lowerbound Ω(n) was proven with the following lemma:
mark'(_gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(_n4)) → _gen_true':false':0':s':nil':cons':and':if':add':first':from'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)