eq0(S(x'), S(x)) → eq0(x', x)
eq0(S(x), 0) → 0
eq0(0, S(x)) → 0
eq0(0, 0) → S(0)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
eq0'(S'(x'), S'(x)) → eq0'(x', x)
eq0'(S'(x), 0') → 0'
eq0'(0', S'(x)) → 0'
eq0'(0', 0') → S'(0')
Infered types.
Rules:
eq0'(S'(x'), S'(x)) → eq0'(x', x)
eq0'(S'(x), 0') → 0'
eq0'(0', S'(x)) → 0'
eq0'(0', 0') → S'(0')
Types:
eq0' :: S':0' → S':0' → S':0'
S' :: S':0' → S':0'
0' :: S':0'
_hole_S':0'1 :: S':0'
_gen_S':0'2 :: Nat → S':0'
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
eq0'
Rules:
eq0'(S'(x'), S'(x)) → eq0'(x', x)
eq0'(S'(x), 0') → 0'
eq0'(0', S'(x)) → 0'
eq0'(0', 0') → S'(0')
Types:
eq0' :: S':0' → S':0' → S':0'
S' :: S':0' → S':0'
0' :: S':0'
_hole_S':0'1 :: S':0'
_gen_S':0'2 :: Nat → S':0'
Generator Equations:
_gen_S':0'2(0) ⇔ 0'
_gen_S':0'2(+(x, 1)) ⇔ S'(_gen_S':0'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
eq0'
Proved the following rewrite lemma:
eq0'(_gen_S':0'2(+(1, _n4)), _gen_S':0'2(_n4)) → _gen_S':0'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
Induction Base:
eq0'(_gen_S':0'2(+(1, 0)), _gen_S':0'2(0)) →RΩ(1)
0'
Induction Step:
eq0'(_gen_S':0'2(+(1, +(_$n5, 1))), _gen_S':0'2(+(_$n5, 1))) →RΩ(1)
eq0'(_gen_S':0'2(+(1, _$n5)), _gen_S':0'2(_$n5)) →IH
_gen_S':0'2(0)
We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
Rules:
eq0'(S'(x'), S'(x)) → eq0'(x', x)
eq0'(S'(x), 0') → 0'
eq0'(0', S'(x)) → 0'
eq0'(0', 0') → S'(0')
Types:
eq0' :: S':0' → S':0' → S':0'
S' :: S':0' → S':0'
0' :: S':0'
_hole_S':0'1 :: S':0'
_gen_S':0'2 :: Nat → S':0'
Lemmas:
eq0'(_gen_S':0'2(+(1, _n4)), _gen_S':0'2(_n4)) → _gen_S':0'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
Generator Equations:
_gen_S':0'2(0) ⇔ 0'
_gen_S':0'2(+(x, 1)) ⇔ S'(_gen_S':0'2(x))
No more defined symbols left to analyse.
The lowerbound Ω(n) was proven with the following lemma:
eq0'(_gen_S':0'2(+(1, _n4)), _gen_S':0'2(_n4)) → _gen_S':0'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)