Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

decrease(Cons(x, xs)) → decrease(xs)
decrease(Nil) → number42(Nil)
number42(x) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
goal(x) → decrease(x)

Rewrite Strategy: INNERMOST

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:


decrease'(Cons'(x, xs)) → decrease'(xs)
decrease'(Nil') → number42'(Nil')
number42'(x) → Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Cons'(Nil', Nil'))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
goal'(x) → decrease'(x)

Rewrite Strategy: INNERMOST

Sliced the following arguments:
Cons'/0
number42'/0

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:


decrease'(Cons'(xs)) → decrease'(xs)
decrease'(Nil') → number42'
number42' → Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Nil'))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
goal'(x) → decrease'(x)

Rewrite Strategy: INNERMOST

Infered types.

Rules:
decrease'(Cons'(xs)) → decrease'(xs)
decrease'(Nil') → number42'
number42' → Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Nil'))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
goal'(x) → decrease'(x)

Types:
decrease' :: Cons':Nil' → Cons':Nil'
Cons' :: Cons':Nil' → Cons':Nil'
Nil' :: Cons':Nil'
number42' :: Cons':Nil'
goal' :: Cons':Nil' → Cons':Nil'
_hole_Cons':Nil'1 :: Cons':Nil'
_gen_Cons':Nil'2 :: Nat → Cons':Nil'

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
decrease'

Rules:
decrease'(Cons'(xs)) → decrease'(xs)
decrease'(Nil') → number42'
number42' → Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Nil'))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
goal'(x) → decrease'(x)

Types:
decrease' :: Cons':Nil' → Cons':Nil'
Cons' :: Cons':Nil' → Cons':Nil'
Nil' :: Cons':Nil'
number42' :: Cons':Nil'
goal' :: Cons':Nil' → Cons':Nil'
_hole_Cons':Nil'1 :: Cons':Nil'
_gen_Cons':Nil'2 :: Nat → Cons':Nil'

Generator Equations:
_gen_Cons':Nil'2(0) ⇔ Nil'
_gen_Cons':Nil'2(+(x, 1)) ⇔ Cons'(_gen_Cons':Nil'2(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
decrease'

Proved the following rewrite lemma:
decrease'(_gen_Cons':Nil'2(_n4)) → _gen_Cons':Nil'2(42), rt ∈ Ω(1 + n4)

Induction Base:
decrease'(_gen_Cons':Nil'2(0)) →RΩ(1)
number42' →RΩ(1)
Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Nil'))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Induction Step:
decrease'(_gen_Cons':Nil'2(+(_$n5, 1))) →RΩ(1)
decrease'(_gen_Cons':Nil'2(_$n5)) →IH
_gen_Cons':Nil'2(42)

We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

Rules:
decrease'(Cons'(xs)) → decrease'(xs)
decrease'(Nil') → number42'
number42' → Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Cons'(Nil'))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
goal'(x) → decrease'(x)

Types:
decrease' :: Cons':Nil' → Cons':Nil'
Cons' :: Cons':Nil' → Cons':Nil'
Nil' :: Cons':Nil'
number42' :: Cons':Nil'
goal' :: Cons':Nil' → Cons':Nil'
_hole_Cons':Nil'1 :: Cons':Nil'
_gen_Cons':Nil'2 :: Nat → Cons':Nil'

Lemmas:
decrease'(_gen_Cons':Nil'2(_n4)) → _gen_Cons':Nil'2(42), rt ∈ Ω(1 + n4)

Generator Equations:
_gen_Cons':Nil'2(0) ⇔ Nil'
_gen_Cons':Nil'2(+(x, 1)) ⇔ Cons'(_gen_Cons':Nil'2(x))

No more defined symbols left to analyse.

The lowerbound Ω(n) was proven with the following lemma:
decrease'(_gen_Cons':Nil'2(_n4)) → _gen_Cons':Nil'2(42), rt ∈ Ω(1 + n4)