Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

g(s(x), s(y)) → if(and(f(s(x)), f(s(y))), t(g(k(minus(m(x, y), n(x, y)), s(s(0))), k(n(s(x), s(y)), s(s(0))))), g(minus(m(x, y), n(x, y)), n(s(x), s(y))))
n(0, y) → 0
n(x, 0) → 0
n(s(x), s(y)) → s(n(x, y))
m(0, y) → y
m(x, 0) → x
m(s(x), s(y)) → s(m(x, y))
k(0, s(y)) → 0
k(s(x), s(y)) → s(k(minus(x, y), s(y)))
t(x) → p(x, x)
p(s(x), s(y)) → s(s(p(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
p(s(x), x) → p(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
p(0, y) → y
p(id(x), s(y)) → s(p(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
minus(x, 0) → x
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
and(x, false) → false
and(true, true) → true
f(0) → true
f(s(x)) → h(x)
h(0) → false
h(s(x)) → f(x)
gt(s(x), 0) → true
gt(0, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Rewrite Strategy: INNERMOST

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)

Rewrite Strategy: INNERMOST

Infered types.

Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)

Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
g', f', k', minus', m', n', p', gt', h'

They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
k' < g'
minus' < g'
m' < g'
n' < g'
f' = h'
minus' < k'
gt' < p'

Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)

Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'

Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
minus', g', f', k', m', n', p', gt', h'

They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
k' < g'
minus' < g'
m' < g'
n' < g'
f' = h'
minus' < k'
gt' < p'

Proved the following rewrite lemma:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)

Induction Base:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(0), _gen_s':0':true':false'2(0)) →RΩ(1)
_gen_s':0':true':false'2(0)

Induction Step:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(+(_\$n5, 1)), _gen_s':0':true':false'2(+(_\$n5, 1))) →RΩ(1)
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_\$n5), _gen_s':0':true':false'2(_\$n5)) →IH
_gen_s':0':true':false'2(0)

We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)

Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'

Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)

Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
k', g', f', m', n', p', gt', h'

They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
k' < g'
m' < g'
n' < g'
f' = h'
gt' < p'

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol k'.

Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)

Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'

Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)

Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
m', g', f', n', p', gt', h'

They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
m' < g'
n' < g'
f' = h'
gt' < p'

Proved the following rewrite lemma:
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)

Induction Base:
m'(_gen_s':0':true':false'2(0), _gen_s':0':true':false'2(0)) →RΩ(1)
_gen_s':0':true':false'2(0)

Induction Step:
m'(_gen_s':0':true':false'2(+(_\$n1546, 1)), _gen_s':0':true':false'2(+(_\$n1546, 1))) →RΩ(1)
s'(m'(_gen_s':0':true':false'2(_\$n1546), _gen_s':0':true':false'2(_\$n1546))) →IH
s'(_gen_s':0':true':false'2(_\$n1546))

We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)

Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'

Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)

Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
n', g', f', p', gt', h'

They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
n' < g'
f' = h'
gt' < p'

Proved the following rewrite lemma:
n'(_gen_s':0':true':false'2(_n3201), _gen_s':0':true':false'2(_n3201)) → _gen_s':0':true':false'2(_n3201), rt ∈ Ω(1 + n3201)

Induction Base:
n'(_gen_s':0':true':false'2(0), _gen_s':0':true':false'2(0)) →RΩ(1)
0'

Induction Step:
n'(_gen_s':0':true':false'2(+(_\$n3202, 1)), _gen_s':0':true':false'2(+(_\$n3202, 1))) →RΩ(1)
s'(n'(_gen_s':0':true':false'2(_\$n3202), _gen_s':0':true':false'2(_\$n3202))) →IH
s'(_gen_s':0':true':false'2(_\$n3202))

We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)

Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'

Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)
n'(_gen_s':0':true':false'2(_n3201), _gen_s':0':true':false'2(_n3201)) → _gen_s':0':true':false'2(_n3201), rt ∈ Ω(1 + n3201)

Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
gt', g', f', p', h'

They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
f' = h'
gt' < p'

Proved the following rewrite lemma:
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, _n4657)), _gen_s':0':true':false'2(_n4657)) → true', rt ∈ Ω(1 + n4657)

Induction Base:
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, 0)), _gen_s':0':true':false'2(0)) →RΩ(1)
true'

Induction Step:
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, +(_\$n4658, 1))), _gen_s':0':true':false'2(+(_\$n4658, 1))) →RΩ(1)
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, _\$n4658)), _gen_s':0':true':false'2(_\$n4658)) →IH
true'

We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)

Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'

Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)
n'(_gen_s':0':true':false'2(_n3201), _gen_s':0':true':false'2(_n3201)) → _gen_s':0':true':false'2(_n3201), rt ∈ Ω(1 + n3201)
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, _n4657)), _gen_s':0':true':false'2(_n4657)) → true', rt ∈ Ω(1 + n4657)

Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
p', g', f', h'

They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
f' = h'

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol p'.

Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)

Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'

Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)
n'(_gen_s':0':true':false'2(_n3201), _gen_s':0':true':false'2(_n3201)) → _gen_s':0':true':false'2(_n3201), rt ∈ Ω(1 + n3201)
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, _n4657)), _gen_s':0':true':false'2(_n4657)) → true', rt ∈ Ω(1 + n4657)

Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
h', g', f'

They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
f' = h'

Proved the following rewrite lemma:
h'(_gen_s':0':true':false'2(*(2, _n7866))) → false', rt ∈ Ω(1 + n7866)

Induction Base:
h'(_gen_s':0':true':false'2(*(2, 0))) →RΩ(1)
false'

Induction Step:
h'(_gen_s':0':true':false'2(*(2, +(_\$n7867, 1)))) →RΩ(1)
f'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, *(2, _\$n7867)))) →RΩ(1)
h'(_gen_s':0':true':false'2(*(2, _\$n7867))) →IH
false'

We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)

Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'

Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)
n'(_gen_s':0':true':false'2(_n3201), _gen_s':0':true':false'2(_n3201)) → _gen_s':0':true':false'2(_n3201), rt ∈ Ω(1 + n3201)
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, _n4657)), _gen_s':0':true':false'2(_n4657)) → true', rt ∈ Ω(1 + n4657)
h'(_gen_s':0':true':false'2(*(2, _n7866))) → false', rt ∈ Ω(1 + n7866)

Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
f', g'

They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
f' = h'

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol f'.

Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)

Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'

Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)
n'(_gen_s':0':true':false'2(_n3201), _gen_s':0':true':false'2(_n3201)) → _gen_s':0':true':false'2(_n3201), rt ∈ Ω(1 + n3201)
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, _n4657)), _gen_s':0':true':false'2(_n4657)) → true', rt ∈ Ω(1 + n4657)
h'(_gen_s':0':true':false'2(*(2, _n7866))) → false', rt ∈ Ω(1 + n7866)

Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
g'

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol g'.

Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)

Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'

Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)
n'(_gen_s':0':true':false'2(_n3201), _gen_s':0':true':false'2(_n3201)) → _gen_s':0':true':false'2(_n3201), rt ∈ Ω(1 + n3201)
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, _n4657)), _gen_s':0':true':false'2(_n4657)) → true', rt ∈ Ω(1 + n4657)
h'(_gen_s':0':true':false'2(*(2, _n7866))) → false', rt ∈ Ω(1 + n7866)

Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))

No more defined symbols left to analyse.

The lowerbound Ω(n) was proven with the following lemma:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)