g(s(x), s(y)) → if(and(f(s(x)), f(s(y))), t(g(k(minus(m(x, y), n(x, y)), s(s(0))), k(n(s(x), s(y)), s(s(0))))), g(minus(m(x, y), n(x, y)), n(s(x), s(y))))
n(0, y) → 0
n(x, 0) → 0
n(s(x), s(y)) → s(n(x, y))
m(0, y) → y
m(x, 0) → x
m(s(x), s(y)) → s(m(x, y))
k(0, s(y)) → 0
k(s(x), s(y)) → s(k(minus(x, y), s(y)))
t(x) → p(x, x)
p(s(x), s(y)) → s(s(p(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
p(s(x), x) → p(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
p(0, y) → y
p(id(x), s(y)) → s(p(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
minus(x, 0) → x
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
and(x, false) → false
and(true, true) → true
f(0) → true
f(s(x)) → h(x)
h(0) → false
h(s(x)) → f(x)
gt(s(x), 0) → true
gt(0, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)
Infered types.
Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)
Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
g', f', k', minus', m', n', p', gt', h'
They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
k' < g'
minus' < g'
m' < g'
n' < g'
f' = h'
minus' < k'
gt' < p'
Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)
Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'
Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
minus', g', f', k', m', n', p', gt', h'
They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
k' < g'
minus' < g'
m' < g'
n' < g'
f' = h'
minus' < k'
gt' < p'
Proved the following rewrite lemma:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
Induction Base:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(0), _gen_s':0':true':false'2(0)) →RΩ(1)
_gen_s':0':true':false'2(0)
Induction Step:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(+(_$n5, 1)), _gen_s':0':true':false'2(+(_$n5, 1))) →RΩ(1)
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_$n5), _gen_s':0':true':false'2(_$n5)) →IH
_gen_s':0':true':false'2(0)
We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)
Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'
Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
k', g', f', m', n', p', gt', h'
They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
k' < g'
m' < g'
n' < g'
f' = h'
gt' < p'
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol k'.
Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)
Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'
Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
m', g', f', n', p', gt', h'
They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
m' < g'
n' < g'
f' = h'
gt' < p'
Proved the following rewrite lemma:
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)
Induction Base:
m'(_gen_s':0':true':false'2(0), _gen_s':0':true':false'2(0)) →RΩ(1)
_gen_s':0':true':false'2(0)
Induction Step:
m'(_gen_s':0':true':false'2(+(_$n1546, 1)), _gen_s':0':true':false'2(+(_$n1546, 1))) →RΩ(1)
s'(m'(_gen_s':0':true':false'2(_$n1546), _gen_s':0':true':false'2(_$n1546))) →IH
s'(_gen_s':0':true':false'2(_$n1546))
We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)
Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'
Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)
Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
n', g', f', p', gt', h'
They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
n' < g'
f' = h'
gt' < p'
Proved the following rewrite lemma:
n'(_gen_s':0':true':false'2(_n3201), _gen_s':0':true':false'2(_n3201)) → _gen_s':0':true':false'2(_n3201), rt ∈ Ω(1 + n3201)
Induction Base:
n'(_gen_s':0':true':false'2(0), _gen_s':0':true':false'2(0)) →RΩ(1)
0'
Induction Step:
n'(_gen_s':0':true':false'2(+(_$n3202, 1)), _gen_s':0':true':false'2(+(_$n3202, 1))) →RΩ(1)
s'(n'(_gen_s':0':true':false'2(_$n3202), _gen_s':0':true':false'2(_$n3202))) →IH
s'(_gen_s':0':true':false'2(_$n3202))
We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)
Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'
Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)
n'(_gen_s':0':true':false'2(_n3201), _gen_s':0':true':false'2(_n3201)) → _gen_s':0':true':false'2(_n3201), rt ∈ Ω(1 + n3201)
Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
gt', g', f', p', h'
They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
f' = h'
gt' < p'
Proved the following rewrite lemma:
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, _n4657)), _gen_s':0':true':false'2(_n4657)) → true', rt ∈ Ω(1 + n4657)
Induction Base:
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, 0)), _gen_s':0':true':false'2(0)) →RΩ(1)
true'
Induction Step:
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, +(_$n4658, 1))), _gen_s':0':true':false'2(+(_$n4658, 1))) →RΩ(1)
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, _$n4658)), _gen_s':0':true':false'2(_$n4658)) →IH
true'
We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)
Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'
Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)
n'(_gen_s':0':true':false'2(_n3201), _gen_s':0':true':false'2(_n3201)) → _gen_s':0':true':false'2(_n3201), rt ∈ Ω(1 + n3201)
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, _n4657)), _gen_s':0':true':false'2(_n4657)) → true', rt ∈ Ω(1 + n4657)
Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
p', g', f', h'
They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
f' = h'
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol p'.
Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)
Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'
Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)
n'(_gen_s':0':true':false'2(_n3201), _gen_s':0':true':false'2(_n3201)) → _gen_s':0':true':false'2(_n3201), rt ∈ Ω(1 + n3201)
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, _n4657)), _gen_s':0':true':false'2(_n4657)) → true', rt ∈ Ω(1 + n4657)
Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
h', g', f'
They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
f' = h'
Proved the following rewrite lemma:
h'(_gen_s':0':true':false'2(*(2, _n7866))) → false', rt ∈ Ω(1 + n7866)
Induction Base:
h'(_gen_s':0':true':false'2(*(2, 0))) →RΩ(1)
false'
Induction Step:
h'(_gen_s':0':true':false'2(*(2, +(_$n7867, 1)))) →RΩ(1)
f'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, *(2, _$n7867)))) →RΩ(1)
h'(_gen_s':0':true':false'2(*(2, _$n7867))) →IH
false'
We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)
Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'
Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)
n'(_gen_s':0':true':false'2(_n3201), _gen_s':0':true':false'2(_n3201)) → _gen_s':0':true':false'2(_n3201), rt ∈ Ω(1 + n3201)
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, _n4657)), _gen_s':0':true':false'2(_n4657)) → true', rt ∈ Ω(1 + n4657)
h'(_gen_s':0':true':false'2(*(2, _n7866))) → false', rt ∈ Ω(1 + n7866)
Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
f', g'
They will be analysed ascendingly in the following order:
f' < g'
f' = h'
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol f'.
Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)
Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'
Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)
n'(_gen_s':0':true':false'2(_n3201), _gen_s':0':true':false'2(_n3201)) → _gen_s':0':true':false'2(_n3201), rt ∈ Ω(1 + n3201)
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, _n4657)), _gen_s':0':true':false'2(_n4657)) → true', rt ∈ Ω(1 + n4657)
h'(_gen_s':0':true':false'2(*(2, _n7866))) → false', rt ∈ Ω(1 + n7866)
Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
g'
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol g'.
Rules:
g'(s'(x), s'(y)) → if'(and'(f'(s'(x)), f'(s'(y))), t'(g'(k'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), s'(s'(0'))), k'(n'(s'(x), s'(y)), s'(s'(0'))))), g'(minus'(m'(x, y), n'(x, y)), n'(s'(x), s'(y))))
n'(0', y) → 0'
n'(x, 0') → 0'
n'(s'(x), s'(y)) → s'(n'(x, y))
m'(0', y) → y
m'(x, 0') → x
m'(s'(x), s'(y)) → s'(m'(x, y))
k'(0', s'(y)) → 0'
k'(s'(x), s'(y)) → s'(k'(minus'(x, y), s'(y)))
t'(x) → p'(x, x)
p'(s'(x), s'(y)) → s'(s'(p'(if'(gt'(x, y), x, y), if'(not'(gt'(x, y)), id'(x), id'(y)))))
p'(s'(x), x) → p'(if'(gt'(x, x), id'(x), id'(x)), s'(x))
p'(0', y) → y
p'(id'(x), s'(y)) → s'(p'(x, if'(gt'(s'(y), y), y, s'(y))))
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
id'(x) → x
if'(true', x, y) → x
if'(false', x, y) → y
not'(x) → if'(x, false', true')
and'(x, false') → false'
and'(true', true') → true'
f'(0') → true'
f'(s'(x)) → h'(x)
h'(0') → false'
h'(s'(x)) → f'(x)
gt'(s'(x), 0') → true'
gt'(0', y) → false'
gt'(s'(x), s'(y)) → gt'(x, y)
Types:
g' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
s' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
if' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
and' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
f' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
t' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
k' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
minus' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
m' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
n' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
0' :: s':0':true':false'
p' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
gt' :: s':0':true':false' → s':0':true':false' → s':0':true':false'
not' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
id' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
true' :: s':0':true':false'
false' :: s':0':true':false'
h' :: s':0':true':false' → s':0':true':false'
_hole_s':0':true':false'1 :: s':0':true':false'
_gen_s':0':true':false'2 :: Nat → s':0':true':false'
Lemmas:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)
m'(_gen_s':0':true':false'2(_n1545), _gen_s':0':true':false'2(_n1545)) → _gen_s':0':true':false'2(_n1545), rt ∈ Ω(1 + n1545)
n'(_gen_s':0':true':false'2(_n3201), _gen_s':0':true':false'2(_n3201)) → _gen_s':0':true':false'2(_n3201), rt ∈ Ω(1 + n3201)
gt'(_gen_s':0':true':false'2(+(1, _n4657)), _gen_s':0':true':false'2(_n4657)) → true', rt ∈ Ω(1 + n4657)
h'(_gen_s':0':true':false'2(*(2, _n7866))) → false', rt ∈ Ω(1 + n7866)
Generator Equations:
_gen_s':0':true':false'2(0) ⇔ 0'
_gen_s':0':true':false'2(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_s':0':true':false'2(x))
No more defined symbols left to analyse.
The lowerbound Ω(n) was proven with the following lemma:
minus'(_gen_s':0':true':false'2(_n4), _gen_s':0':true':false'2(_n4)) → _gen_s':0':true':false'2(0), rt ∈ Ω(1 + n4)