minus(x, 0) → x
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
quot(0, s(y)) → 0
quot(s(x), s(y)) → s(quot(minus(x, y), s(y)))
le(0, y) → true
le(s(x), 0) → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
inc(s(x)) → s(inc(x))
inc(0) → s(0)
log(x) → logIter(x, 0)
logIter(x, y) → if(le(s(0), x), le(s(s(0)), x), quot(x, s(s(0))), inc(y))
if(false, b, x, y) → logZeroError
if(true, false, x, s(y)) → y
if(true, true, x, y) → logIter(x, y)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
quot'(0', s'(y)) → 0'
quot'(s'(x), s'(y)) → s'(quot'(minus'(x, y), s'(y)))
le'(0', y) → true'
le'(s'(x), 0') → false'
le'(s'(x), s'(y)) → le'(x, y)
inc'(s'(x)) → s'(inc'(x))
inc'(0') → s'(0')
log'(x) → logIter'(x, 0')
logIter'(x, y) → if'(le'(s'(0'), x), le'(s'(s'(0')), x), quot'(x, s'(s'(0'))), inc'(y))
if'(false', b, x, y) → logZeroError'
if'(true', false', x, s'(y)) → y
if'(true', true', x, y) → logIter'(x, y)
Infered types.
Rules:
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
quot'(0', s'(y)) → 0'
quot'(s'(x), s'(y)) → s'(quot'(minus'(x, y), s'(y)))
le'(0', y) → true'
le'(s'(x), 0') → false'
le'(s'(x), s'(y)) → le'(x, y)
inc'(s'(x)) → s'(inc'(x))
inc'(0') → s'(0')
log'(x) → logIter'(x, 0')
logIter'(x, y) → if'(le'(s'(0'), x), le'(s'(s'(0')), x), quot'(x, s'(s'(0'))), inc'(y))
if'(false', b, x, y) → logZeroError'
if'(true', false', x, s'(y)) → y
if'(true', true', x, y) → logIter'(x, y)
Types:
minus' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
0' :: 0':s':logZeroError'
s' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
quot' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
le' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → true':false'
true' :: true':false'
false' :: true':false'
inc' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
log' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
logIter' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
if' :: true':false' → true':false' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
logZeroError' :: 0':s':logZeroError'
_hole_0':s':logZeroError'1 :: 0':s':logZeroError'
_hole_true':false'2 :: true':false'
_gen_0':s':logZeroError'3 :: Nat → 0':s':logZeroError'
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
minus', quot', le', inc', logIter'
They will be analysed ascendingly in the following order:
minus' < quot'
quot' < logIter'
le' < logIter'
inc' < logIter'
Rules:
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
quot'(0', s'(y)) → 0'
quot'(s'(x), s'(y)) → s'(quot'(minus'(x, y), s'(y)))
le'(0', y) → true'
le'(s'(x), 0') → false'
le'(s'(x), s'(y)) → le'(x, y)
inc'(s'(x)) → s'(inc'(x))
inc'(0') → s'(0')
log'(x) → logIter'(x, 0')
logIter'(x, y) → if'(le'(s'(0'), x), le'(s'(s'(0')), x), quot'(x, s'(s'(0'))), inc'(y))
if'(false', b, x, y) → logZeroError'
if'(true', false', x, s'(y)) → y
if'(true', true', x, y) → logIter'(x, y)
Types:
minus' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
0' :: 0':s':logZeroError'
s' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
quot' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
le' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → true':false'
true' :: true':false'
false' :: true':false'
inc' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
log' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
logIter' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
if' :: true':false' → true':false' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
logZeroError' :: 0':s':logZeroError'
_hole_0':s':logZeroError'1 :: 0':s':logZeroError'
_hole_true':false'2 :: true':false'
_gen_0':s':logZeroError'3 :: Nat → 0':s':logZeroError'
Generator Equations:
_gen_0':s':logZeroError'3(0) ⇔ 0'
_gen_0':s':logZeroError'3(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':s':logZeroError'3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
minus', quot', le', inc', logIter'
They will be analysed ascendingly in the following order:
minus' < quot'
quot' < logIter'
le' < logIter'
inc' < logIter'
Proved the following rewrite lemma:
minus'(_gen_0':s':logZeroError'3(_n5), _gen_0':s':logZeroError'3(_n5)) → _gen_0':s':logZeroError'3(0), rt ∈ Ω(1 + n5)
Induction Base:
minus'(_gen_0':s':logZeroError'3(0), _gen_0':s':logZeroError'3(0)) →RΩ(1)
_gen_0':s':logZeroError'3(0)
Induction Step:
minus'(_gen_0':s':logZeroError'3(+(_$n6, 1)), _gen_0':s':logZeroError'3(+(_$n6, 1))) →RΩ(1)
minus'(_gen_0':s':logZeroError'3(_$n6), _gen_0':s':logZeroError'3(_$n6)) →IH
_gen_0':s':logZeroError'3(0)
We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
Rules:
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
quot'(0', s'(y)) → 0'
quot'(s'(x), s'(y)) → s'(quot'(minus'(x, y), s'(y)))
le'(0', y) → true'
le'(s'(x), 0') → false'
le'(s'(x), s'(y)) → le'(x, y)
inc'(s'(x)) → s'(inc'(x))
inc'(0') → s'(0')
log'(x) → logIter'(x, 0')
logIter'(x, y) → if'(le'(s'(0'), x), le'(s'(s'(0')), x), quot'(x, s'(s'(0'))), inc'(y))
if'(false', b, x, y) → logZeroError'
if'(true', false', x, s'(y)) → y
if'(true', true', x, y) → logIter'(x, y)
Types:
minus' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
0' :: 0':s':logZeroError'
s' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
quot' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
le' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → true':false'
true' :: true':false'
false' :: true':false'
inc' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
log' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
logIter' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
if' :: true':false' → true':false' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
logZeroError' :: 0':s':logZeroError'
_hole_0':s':logZeroError'1 :: 0':s':logZeroError'
_hole_true':false'2 :: true':false'
_gen_0':s':logZeroError'3 :: Nat → 0':s':logZeroError'
Lemmas:
minus'(_gen_0':s':logZeroError'3(_n5), _gen_0':s':logZeroError'3(_n5)) → _gen_0':s':logZeroError'3(0), rt ∈ Ω(1 + n5)
Generator Equations:
_gen_0':s':logZeroError'3(0) ⇔ 0'
_gen_0':s':logZeroError'3(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':s':logZeroError'3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
quot', le', inc', logIter'
They will be analysed ascendingly in the following order:
quot' < logIter'
le' < logIter'
inc' < logIter'
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol quot'.
Rules:
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
quot'(0', s'(y)) → 0'
quot'(s'(x), s'(y)) → s'(quot'(minus'(x, y), s'(y)))
le'(0', y) → true'
le'(s'(x), 0') → false'
le'(s'(x), s'(y)) → le'(x, y)
inc'(s'(x)) → s'(inc'(x))
inc'(0') → s'(0')
log'(x) → logIter'(x, 0')
logIter'(x, y) → if'(le'(s'(0'), x), le'(s'(s'(0')), x), quot'(x, s'(s'(0'))), inc'(y))
if'(false', b, x, y) → logZeroError'
if'(true', false', x, s'(y)) → y
if'(true', true', x, y) → logIter'(x, y)
Types:
minus' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
0' :: 0':s':logZeroError'
s' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
quot' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
le' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → true':false'
true' :: true':false'
false' :: true':false'
inc' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
log' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
logIter' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
if' :: true':false' → true':false' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
logZeroError' :: 0':s':logZeroError'
_hole_0':s':logZeroError'1 :: 0':s':logZeroError'
_hole_true':false'2 :: true':false'
_gen_0':s':logZeroError'3 :: Nat → 0':s':logZeroError'
Lemmas:
minus'(_gen_0':s':logZeroError'3(_n5), _gen_0':s':logZeroError'3(_n5)) → _gen_0':s':logZeroError'3(0), rt ∈ Ω(1 + n5)
Generator Equations:
_gen_0':s':logZeroError'3(0) ⇔ 0'
_gen_0':s':logZeroError'3(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':s':logZeroError'3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
le', inc', logIter'
They will be analysed ascendingly in the following order:
le' < logIter'
inc' < logIter'
Proved the following rewrite lemma:
le'(_gen_0':s':logZeroError'3(_n937), _gen_0':s':logZeroError'3(_n937)) → true', rt ∈ Ω(1 + n937)
Induction Base:
le'(_gen_0':s':logZeroError'3(0), _gen_0':s':logZeroError'3(0)) →RΩ(1)
true'
Induction Step:
le'(_gen_0':s':logZeroError'3(+(_$n938, 1)), _gen_0':s':logZeroError'3(+(_$n938, 1))) →RΩ(1)
le'(_gen_0':s':logZeroError'3(_$n938), _gen_0':s':logZeroError'3(_$n938)) →IH
true'
We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
Rules:
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
quot'(0', s'(y)) → 0'
quot'(s'(x), s'(y)) → s'(quot'(minus'(x, y), s'(y)))
le'(0', y) → true'
le'(s'(x), 0') → false'
le'(s'(x), s'(y)) → le'(x, y)
inc'(s'(x)) → s'(inc'(x))
inc'(0') → s'(0')
log'(x) → logIter'(x, 0')
logIter'(x, y) → if'(le'(s'(0'), x), le'(s'(s'(0')), x), quot'(x, s'(s'(0'))), inc'(y))
if'(false', b, x, y) → logZeroError'
if'(true', false', x, s'(y)) → y
if'(true', true', x, y) → logIter'(x, y)
Types:
minus' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
0' :: 0':s':logZeroError'
s' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
quot' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
le' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → true':false'
true' :: true':false'
false' :: true':false'
inc' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
log' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
logIter' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
if' :: true':false' → true':false' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
logZeroError' :: 0':s':logZeroError'
_hole_0':s':logZeroError'1 :: 0':s':logZeroError'
_hole_true':false'2 :: true':false'
_gen_0':s':logZeroError'3 :: Nat → 0':s':logZeroError'
Lemmas:
minus'(_gen_0':s':logZeroError'3(_n5), _gen_0':s':logZeroError'3(_n5)) → _gen_0':s':logZeroError'3(0), rt ∈ Ω(1 + n5)
le'(_gen_0':s':logZeroError'3(_n937), _gen_0':s':logZeroError'3(_n937)) → true', rt ∈ Ω(1 + n937)
Generator Equations:
_gen_0':s':logZeroError'3(0) ⇔ 0'
_gen_0':s':logZeroError'3(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':s':logZeroError'3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
inc', logIter'
They will be analysed ascendingly in the following order:
inc' < logIter'
Proved the following rewrite lemma:
inc'(_gen_0':s':logZeroError'3(_n1666)) → _gen_0':s':logZeroError'3(+(1, _n1666)), rt ∈ Ω(1 + n1666)
Induction Base:
inc'(_gen_0':s':logZeroError'3(0)) →RΩ(1)
s'(0')
Induction Step:
inc'(_gen_0':s':logZeroError'3(+(_$n1667, 1))) →RΩ(1)
s'(inc'(_gen_0':s':logZeroError'3(_$n1667))) →IH
s'(_gen_0':s':logZeroError'3(+(1, _$n1667)))
We have rt ∈ Ω(n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
Rules:
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
quot'(0', s'(y)) → 0'
quot'(s'(x), s'(y)) → s'(quot'(minus'(x, y), s'(y)))
le'(0', y) → true'
le'(s'(x), 0') → false'
le'(s'(x), s'(y)) → le'(x, y)
inc'(s'(x)) → s'(inc'(x))
inc'(0') → s'(0')
log'(x) → logIter'(x, 0')
logIter'(x, y) → if'(le'(s'(0'), x), le'(s'(s'(0')), x), quot'(x, s'(s'(0'))), inc'(y))
if'(false', b, x, y) → logZeroError'
if'(true', false', x, s'(y)) → y
if'(true', true', x, y) → logIter'(x, y)
Types:
minus' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
0' :: 0':s':logZeroError'
s' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
quot' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
le' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → true':false'
true' :: true':false'
false' :: true':false'
inc' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
log' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
logIter' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
if' :: true':false' → true':false' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
logZeroError' :: 0':s':logZeroError'
_hole_0':s':logZeroError'1 :: 0':s':logZeroError'
_hole_true':false'2 :: true':false'
_gen_0':s':logZeroError'3 :: Nat → 0':s':logZeroError'
Lemmas:
minus'(_gen_0':s':logZeroError'3(_n5), _gen_0':s':logZeroError'3(_n5)) → _gen_0':s':logZeroError'3(0), rt ∈ Ω(1 + n5)
le'(_gen_0':s':logZeroError'3(_n937), _gen_0':s':logZeroError'3(_n937)) → true', rt ∈ Ω(1 + n937)
inc'(_gen_0':s':logZeroError'3(_n1666)) → _gen_0':s':logZeroError'3(+(1, _n1666)), rt ∈ Ω(1 + n1666)
Generator Equations:
_gen_0':s':logZeroError'3(0) ⇔ 0'
_gen_0':s':logZeroError'3(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':s':logZeroError'3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
logIter'
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol logIter'.
Rules:
minus'(x, 0') → x
minus'(s'(x), s'(y)) → minus'(x, y)
quot'(0', s'(y)) → 0'
quot'(s'(x), s'(y)) → s'(quot'(minus'(x, y), s'(y)))
le'(0', y) → true'
le'(s'(x), 0') → false'
le'(s'(x), s'(y)) → le'(x, y)
inc'(s'(x)) → s'(inc'(x))
inc'(0') → s'(0')
log'(x) → logIter'(x, 0')
logIter'(x, y) → if'(le'(s'(0'), x), le'(s'(s'(0')), x), quot'(x, s'(s'(0'))), inc'(y))
if'(false', b, x, y) → logZeroError'
if'(true', false', x, s'(y)) → y
if'(true', true', x, y) → logIter'(x, y)
Types:
minus' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
0' :: 0':s':logZeroError'
s' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
quot' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
le' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → true':false'
true' :: true':false'
false' :: true':false'
inc' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
log' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
logIter' :: 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
if' :: true':false' → true':false' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError' → 0':s':logZeroError'
logZeroError' :: 0':s':logZeroError'
_hole_0':s':logZeroError'1 :: 0':s':logZeroError'
_hole_true':false'2 :: true':false'
_gen_0':s':logZeroError'3 :: Nat → 0':s':logZeroError'
Lemmas:
minus'(_gen_0':s':logZeroError'3(_n5), _gen_0':s':logZeroError'3(_n5)) → _gen_0':s':logZeroError'3(0), rt ∈ Ω(1 + n5)
le'(_gen_0':s':logZeroError'3(_n937), _gen_0':s':logZeroError'3(_n937)) → true', rt ∈ Ω(1 + n937)
inc'(_gen_0':s':logZeroError'3(_n1666)) → _gen_0':s':logZeroError'3(+(1, _n1666)), rt ∈ Ω(1 + n1666)
Generator Equations:
_gen_0':s':logZeroError'3(0) ⇔ 0'
_gen_0':s':logZeroError'3(+(x, 1)) ⇔ s'(_gen_0':s':logZeroError'3(x))
No more defined symbols left to analyse.
The lowerbound Ω(n) was proven with the following lemma:
minus'(_gen_0':s':logZeroError'3(_n5), _gen_0':s':logZeroError'3(_n5)) → _gen_0':s':logZeroError'3(0), rt ∈ Ω(1 + n5)