(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__U11(tt, M, N) → a__U12(tt, M, N)
a__U12(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__plus(N, 0) → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → a__U11(tt, M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2, X3)) → a__U12(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0) → 0
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2, X3) → U12(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
Rewrite Strategy: INNERMOST
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
a__U11(tt, M, U11(tt, X257_4, X358_4)) →+ s(a__plus(a__U11(tt, X257_4, X358_4), mark(M)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X358_4 / U11(tt, X257_4, X358_4)].
The result substitution is [M / X257_4].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__U11(tt, M, N) → a__U12(tt, M, N)
a__U12(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → a__U11(tt, M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2, X3)) → a__U12(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2, X3) → U12(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, M, N) → a__U12(tt, M, N)
a__U12(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → a__U11(tt, M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2, X3)) → a__U12(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2, X3) → U12(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
tt :: tt:s:0':U11:U12:plus
a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
s :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
mark :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
0' :: tt:s:0':U11:U12:plus
U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat → tt:s:0':U11:U12:plus
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11,
a__U12,
a__plus,
markThey will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__plus
a__U11 = mark
a__U12 = a__plus
a__U12 = mark
a__plus = mark
(8) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
M,
N) →
a__U12(
tt,
M,
N)
a__U12(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__plus(
N,
0') →
mark(
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U11(
tt,
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2,
X3) →
U11(
X1,
X2,
X3)
a__U12(
X1,
X2,
X3) →
U12(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
tt :: tt:s:0':U11:U12:plus
a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
s :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
mark :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
0' :: tt:s:0':U11:U12:plus
U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat → tt:s:0':U11:U12:plus
Generator Equations:
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U12, a__U11, a__plus, mark
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__plus
a__U11 = mark
a__U12 = a__plus
a__U12 = mark
a__plus = mark
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U12.
(10) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
M,
N) →
a__U12(
tt,
M,
N)
a__U12(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__plus(
N,
0') →
mark(
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U11(
tt,
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2,
X3) →
U11(
X1,
X2,
X3)
a__U12(
X1,
X2,
X3) →
U12(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
tt :: tt:s:0':U11:U12:plus
a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
s :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
mark :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
0' :: tt:s:0':U11:U12:plus
U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat → tt:s:0':U11:U12:plus
Generator Equations:
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus, a__U11, mark
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__plus
a__U11 = mark
a__U12 = a__plus
a__U12 = mark
a__plus = mark
(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__plus.
(12) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
M,
N) →
a__U12(
tt,
M,
N)
a__U12(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__plus(
N,
0') →
mark(
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U11(
tt,
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2,
X3) →
U11(
X1,
X2,
X3)
a__U12(
X1,
X2,
X3) →
U12(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
tt :: tt:s:0':U11:U12:plus
a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
s :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
mark :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
0' :: tt:s:0':U11:U12:plus
U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat → tt:s:0':U11:U12:plus
Generator Equations:
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U11
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__plus
a__U11 = mark
a__U12 = a__plus
a__U12 = mark
a__plus = mark
(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
mark(
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(
n7693_0)) →
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(
n7693_0), rt ∈ Ω(1 + n7693
0)
Induction Base:
mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0)) →RΩ(1)
tt
Induction Step:
mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(n7693_0, 1))) →RΩ(1)
s(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0))) →IH
s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c7694_0))
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(14) Complex Obligation (BEST)
(15) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
M,
N) →
a__U12(
tt,
M,
N)
a__U12(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__plus(
N,
0') →
mark(
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U11(
tt,
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2,
X3) →
U11(
X1,
X2,
X3)
a__U12(
X1,
X2,
X3) →
U12(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
tt :: tt:s:0':U11:U12:plus
a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
s :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
mark :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
0' :: tt:s:0':U11:U12:plus
U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat → tt:s:0':U11:U12:plus
Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0)) → gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0), rt ∈ Ω(1 + n76930)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, a__U12, a__plus
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__plus
a__U11 = mark
a__U12 = a__plus
a__U12 = mark
a__plus = mark
(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.
(17) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
M,
N) →
a__U12(
tt,
M,
N)
a__U12(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__plus(
N,
0') →
mark(
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U11(
tt,
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2,
X3) →
U11(
X1,
X2,
X3)
a__U12(
X1,
X2,
X3) →
U12(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
tt :: tt:s:0':U11:U12:plus
a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
s :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
mark :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
0' :: tt:s:0':U11:U12:plus
U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat → tt:s:0':U11:U12:plus
Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0)) → gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0), rt ∈ Ω(1 + n76930)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U12, a__plus
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__plus
a__U11 = mark
a__U12 = a__plus
a__U12 = mark
a__plus = mark
(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U12.
(19) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
M,
N) →
a__U12(
tt,
M,
N)
a__U12(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__plus(
N,
0') →
mark(
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U11(
tt,
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2,
X3) →
U11(
X1,
X2,
X3)
a__U12(
X1,
X2,
X3) →
U12(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
tt :: tt:s:0':U11:U12:plus
a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
s :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
mark :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
0' :: tt:s:0':U11:U12:plus
U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat → tt:s:0':U11:U12:plus
Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0)) → gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0), rt ∈ Ω(1 + n76930)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__plus
a__U11 = mark
a__U12 = a__plus
a__U12 = mark
a__plus = mark
(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__plus.
(21) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
M,
N) →
a__U12(
tt,
M,
N)
a__U12(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__plus(
N,
0') →
mark(
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U11(
tt,
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2,
X3) →
U11(
X1,
X2,
X3)
a__U12(
X1,
X2,
X3) →
U12(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
tt :: tt:s:0':U11:U12:plus
a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
s :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
mark :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
0' :: tt:s:0':U11:U12:plus
U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat → tt:s:0':U11:U12:plus
Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0)) → gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0), rt ∈ Ω(1 + n76930)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(22) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0)) → gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0), rt ∈ Ω(1 + n76930)
(23) BOUNDS(n^1, INF)
(24) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
M,
N) →
a__U12(
tt,
M,
N)
a__U12(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__plus(
N,
0') →
mark(
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U11(
tt,
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2,
X3) →
U11(
X1,
X2,
X3)
a__U12(
X1,
X2,
X3) →
U12(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
tt :: tt:s:0':U11:U12:plus
a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
s :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
mark :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
0' :: tt:s:0':U11:U12:plus
U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
plus :: tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus → tt:s:0':U11:U12:plus
hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat → tt:s:0':U11:U12:plus
Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0)) → gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0), rt ∈ Ω(1 + n76930)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(25) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0)) → gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7693_0), rt ∈ Ω(1 + n76930)
(26) BOUNDS(n^1, INF)