The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

0 CpxTRS
↳1 RenamingProof (⇔, 0 ms)
↳2 CpxRelTRS
↳3 TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms)
↳4 typed CpxTrs
↳5 OrderProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
↳6 typed CpxTrs
↳7 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 546 ms)
↳8 BEST
    ↳9 typed CpxTrs
        ↳10 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
        ↳11 typed CpxTrs
        ↳12 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
        ↳13 typed CpxTrs
        ↳14 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
        ↳15 typed CpxTrs
        ↳16 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 5 ms)
        ↳17 typed CpxTrs
        ↳18 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
        ↳19 typed CpxTrs
        ↳20 LowerBoundsProof (⇔, 0 ms)
        ↳21 BOUNDS(n^1, INF)
    ↳22 typed CpxTrs
        ↳23 LowerBoundsProof (⇔, 0 ms)
        ↳24 BOUNDS(n^1, INF)

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0) → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0) → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0) → 0
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Rewrite Strategy: INNERMOST

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(4) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11, mark, a__U21, a__plus, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

(6) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U11, a__U21, a__plus, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Induction Base:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0)) →RΩ(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(n4_0, 1))) →RΩ(1)
s(mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0))) →IH
s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(c5_0))

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

(8) Complex Obligation (BEST)

(9) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, a__U21, a__plus, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

(10) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.

(11) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U21, a__plus, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

(12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U21.

(13) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__plus.

(15) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNat, a__and

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNat.

(17) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__and

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__and.

(19) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(20) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

(21) BOUNDS(n^1, INF)

(22) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(23) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

(24) BOUNDS(n^1, INF)