(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(__(__(X, Y), Z)) → mark(__(X, __(Y, Z)))
active(__(X, nil)) → mark(X)
active(__(nil, X)) → mark(X)
active(U11(tt)) → mark(U12(tt))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(isNePal(__(I, __(P, I)))) → mark(U11(tt))
active(__(X1, X2)) → __(active(X1), X2)
active(__(X1, X2)) → __(X1, active(X2))
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(isNePal(X)) → isNePal(active(X))
__(mark(X1), X2) → mark(__(X1, X2))
__(X1, mark(X2)) → mark(__(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
isNePal(mark(X)) → mark(isNePal(X))
proper(__(X1, X2)) → __(proper(X1), proper(X2))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNePal(X)) → isNePal(proper(X))
__(ok(X1), ok(X2)) → ok(__(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNePal(ok(X)) → ok(isNePal(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Rewrite Strategy: INNERMOST
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
__(mark(X1), X2) →+ mark(__(X1, X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [X1 / mark(X1)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(__(__(X, Y), Z)) → mark(__(X, __(Y, Z)))
active(__(X, nil)) → mark(X)
active(__(nil, X)) → mark(X)
active(U11(tt)) → mark(U12(tt))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(isNePal(__(I, __(P, I)))) → mark(U11(tt))
active(__(X1, X2)) → __(active(X1), X2)
active(__(X1, X2)) → __(X1, active(X2))
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(isNePal(X)) → isNePal(active(X))
__(mark(X1), X2) → mark(__(X1, X2))
__(X1, mark(X2)) → mark(__(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
isNePal(mark(X)) → mark(isNePal(X))
proper(__(X1, X2)) → __(proper(X1), proper(X2))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNePal(X)) → isNePal(proper(X))
__(ok(X1), ok(X2)) → ok(__(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNePal(ok(X)) → ok(isNePal(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(__(__(X, Y), Z)) → mark(__(X, __(Y, Z)))
active(__(X, nil)) → mark(X)
active(__(nil, X)) → mark(X)
active(U11(tt)) → mark(U12(tt))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(isNePal(__(I, __(P, I)))) → mark(U11(tt))
active(__(X1, X2)) → __(active(X1), X2)
active(__(X1, X2)) → __(X1, active(X2))
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(isNePal(X)) → isNePal(active(X))
__(mark(X1), X2) → mark(__(X1, X2))
__(X1, mark(X2)) → mark(__(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
isNePal(mark(X)) → mark(isNePal(X))
proper(__(X1, X2)) → __(proper(X1), proper(X2))
proper(nil) → ok(nil)
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNePal(X)) → isNePal(proper(X))
__(ok(X1), ok(X2)) → ok(__(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNePal(ok(X)) → ok(isNePal(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
__ :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
mark :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
nil :: mark:nil:tt:ok
U11 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
tt :: mark:nil:tt:ok
U12 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
isNePal :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
proper :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
ok :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
top :: mark:nil:tt:ok → top
hole_mark:nil:tt:ok1_0 :: mark:nil:tt:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:nil:tt:ok3_0 :: Nat → mark:nil:tt:ok
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active,
__,
U12,
U11,
isNePal,
proper,
topThey will be analysed ascendingly in the following order:
__ < active
U12 < active
U11 < active
isNePal < active
active < top
__ < proper
U12 < proper
U11 < proper
isNePal < proper
proper < top
(8) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
__(
__(
X,
Y),
Z)) →
mark(
__(
X,
__(
Y,
Z)))
active(
__(
X,
nil)) →
mark(
X)
active(
__(
nil,
X)) →
mark(
X)
active(
U11(
tt)) →
mark(
U12(
tt))
active(
U12(
tt)) →
mark(
tt)
active(
isNePal(
__(
I,
__(
P,
I)))) →
mark(
U11(
tt))
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
active(
X1),
X2)
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
X1,
active(
X2))
active(
U11(
X)) →
U11(
active(
X))
active(
U12(
X)) →
U12(
active(
X))
active(
isNePal(
X)) →
isNePal(
active(
X))
__(
mark(
X1),
X2) →
mark(
__(
X1,
X2))
__(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
__(
X1,
X2))
U11(
mark(
X)) →
mark(
U11(
X))
U12(
mark(
X)) →
mark(
U12(
X))
isNePal(
mark(
X)) →
mark(
isNePal(
X))
proper(
__(
X1,
X2)) →
__(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
U11(
X)) →
U11(
proper(
X))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X)) →
U12(
proper(
X))
proper(
isNePal(
X)) →
isNePal(
proper(
X))
__(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
__(
X1,
X2))
U11(
ok(
X)) →
ok(
U11(
X))
U12(
ok(
X)) →
ok(
U12(
X))
isNePal(
ok(
X)) →
ok(
isNePal(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
__ :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
mark :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
nil :: mark:nil:tt:ok
U11 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
tt :: mark:nil:tt:ok
U12 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
isNePal :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
proper :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
ok :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
top :: mark:nil:tt:ok → top
hole_mark:nil:tt:ok1_0 :: mark:nil:tt:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:nil:tt:ok3_0 :: Nat → mark:nil:tt:ok
Generator Equations:
gen_mark:nil:tt:ok3_0(0) ⇔ nil
gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:nil:tt:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
__, active, U12, U11, isNePal, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
__ < active
U12 < active
U11 < active
isNePal < active
active < top
__ < proper
U12 < proper
U11 < proper
isNePal < proper
proper < top
(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
__(
gen_mark:nil:tt:ok3_0(
+(
1,
n5_0)),
gen_mark:nil:tt:ok3_0(
b)) →
*4_0, rt ∈ Ω(n5
0)
Induction Base:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b))
Induction Step:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, +(n5_0, 1))), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(10) Complex Obligation (BEST)
(11) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
__(
__(
X,
Y),
Z)) →
mark(
__(
X,
__(
Y,
Z)))
active(
__(
X,
nil)) →
mark(
X)
active(
__(
nil,
X)) →
mark(
X)
active(
U11(
tt)) →
mark(
U12(
tt))
active(
U12(
tt)) →
mark(
tt)
active(
isNePal(
__(
I,
__(
P,
I)))) →
mark(
U11(
tt))
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
active(
X1),
X2)
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
X1,
active(
X2))
active(
U11(
X)) →
U11(
active(
X))
active(
U12(
X)) →
U12(
active(
X))
active(
isNePal(
X)) →
isNePal(
active(
X))
__(
mark(
X1),
X2) →
mark(
__(
X1,
X2))
__(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
__(
X1,
X2))
U11(
mark(
X)) →
mark(
U11(
X))
U12(
mark(
X)) →
mark(
U12(
X))
isNePal(
mark(
X)) →
mark(
isNePal(
X))
proper(
__(
X1,
X2)) →
__(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
U11(
X)) →
U11(
proper(
X))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X)) →
U12(
proper(
X))
proper(
isNePal(
X)) →
isNePal(
proper(
X))
__(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
__(
X1,
X2))
U11(
ok(
X)) →
ok(
U11(
X))
U12(
ok(
X)) →
ok(
U12(
X))
isNePal(
ok(
X)) →
ok(
isNePal(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
__ :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
mark :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
nil :: mark:nil:tt:ok
U11 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
tt :: mark:nil:tt:ok
U12 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
isNePal :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
proper :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
ok :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
top :: mark:nil:tt:ok → top
hole_mark:nil:tt:ok1_0 :: mark:nil:tt:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:nil:tt:ok3_0 :: Nat → mark:nil:tt:ok
Lemmas:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
Generator Equations:
gen_mark:nil:tt:ok3_0(0) ⇔ nil
gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:nil:tt:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
U12, active, U11, isNePal, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
U12 < active
U11 < active
isNePal < active
active < top
U12 < proper
U11 < proper
isNePal < proper
proper < top
(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U12(
gen_mark:nil:tt:ok3_0(
+(
1,
n1233_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n1233
0)
Induction Base:
U12(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
U12(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, +(n1233_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U12(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1233_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(13) Complex Obligation (BEST)
(14) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
__(
__(
X,
Y),
Z)) →
mark(
__(
X,
__(
Y,
Z)))
active(
__(
X,
nil)) →
mark(
X)
active(
__(
nil,
X)) →
mark(
X)
active(
U11(
tt)) →
mark(
U12(
tt))
active(
U12(
tt)) →
mark(
tt)
active(
isNePal(
__(
I,
__(
P,
I)))) →
mark(
U11(
tt))
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
active(
X1),
X2)
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
X1,
active(
X2))
active(
U11(
X)) →
U11(
active(
X))
active(
U12(
X)) →
U12(
active(
X))
active(
isNePal(
X)) →
isNePal(
active(
X))
__(
mark(
X1),
X2) →
mark(
__(
X1,
X2))
__(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
__(
X1,
X2))
U11(
mark(
X)) →
mark(
U11(
X))
U12(
mark(
X)) →
mark(
U12(
X))
isNePal(
mark(
X)) →
mark(
isNePal(
X))
proper(
__(
X1,
X2)) →
__(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
U11(
X)) →
U11(
proper(
X))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X)) →
U12(
proper(
X))
proper(
isNePal(
X)) →
isNePal(
proper(
X))
__(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
__(
X1,
X2))
U11(
ok(
X)) →
ok(
U11(
X))
U12(
ok(
X)) →
ok(
U12(
X))
isNePal(
ok(
X)) →
ok(
isNePal(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
__ :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
mark :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
nil :: mark:nil:tt:ok
U11 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
tt :: mark:nil:tt:ok
U12 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
isNePal :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
proper :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
ok :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
top :: mark:nil:tt:ok → top
hole_mark:nil:tt:ok1_0 :: mark:nil:tt:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:nil:tt:ok3_0 :: Nat → mark:nil:tt:ok
Lemmas:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1233_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n12330)
Generator Equations:
gen_mark:nil:tt:ok3_0(0) ⇔ nil
gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:nil:tt:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
U11, active, isNePal, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
U11 < active
isNePal < active
active < top
U11 < proper
isNePal < proper
proper < top
(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U11(
gen_mark:nil:tt:ok3_0(
+(
1,
n1812_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n1812
0)
Induction Base:
U11(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
U11(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, +(n1812_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U11(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1812_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(16) Complex Obligation (BEST)
(17) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
__(
__(
X,
Y),
Z)) →
mark(
__(
X,
__(
Y,
Z)))
active(
__(
X,
nil)) →
mark(
X)
active(
__(
nil,
X)) →
mark(
X)
active(
U11(
tt)) →
mark(
U12(
tt))
active(
U12(
tt)) →
mark(
tt)
active(
isNePal(
__(
I,
__(
P,
I)))) →
mark(
U11(
tt))
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
active(
X1),
X2)
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
X1,
active(
X2))
active(
U11(
X)) →
U11(
active(
X))
active(
U12(
X)) →
U12(
active(
X))
active(
isNePal(
X)) →
isNePal(
active(
X))
__(
mark(
X1),
X2) →
mark(
__(
X1,
X2))
__(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
__(
X1,
X2))
U11(
mark(
X)) →
mark(
U11(
X))
U12(
mark(
X)) →
mark(
U12(
X))
isNePal(
mark(
X)) →
mark(
isNePal(
X))
proper(
__(
X1,
X2)) →
__(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
U11(
X)) →
U11(
proper(
X))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X)) →
U12(
proper(
X))
proper(
isNePal(
X)) →
isNePal(
proper(
X))
__(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
__(
X1,
X2))
U11(
ok(
X)) →
ok(
U11(
X))
U12(
ok(
X)) →
ok(
U12(
X))
isNePal(
ok(
X)) →
ok(
isNePal(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
__ :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
mark :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
nil :: mark:nil:tt:ok
U11 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
tt :: mark:nil:tt:ok
U12 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
isNePal :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
proper :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
ok :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
top :: mark:nil:tt:ok → top
hole_mark:nil:tt:ok1_0 :: mark:nil:tt:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:nil:tt:ok3_0 :: Nat → mark:nil:tt:ok
Lemmas:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1233_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n12330)
U11(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1812_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n18120)
Generator Equations:
gen_mark:nil:tt:ok3_0(0) ⇔ nil
gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:nil:tt:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
isNePal, active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNePal < active
active < top
isNePal < proper
proper < top
(18) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
isNePal(
gen_mark:nil:tt:ok3_0(
+(
1,
n2492_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n2492
0)
Induction Base:
isNePal(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
isNePal(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, +(n2492_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(isNePal(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n2492_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(19) Complex Obligation (BEST)
(20) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
__(
__(
X,
Y),
Z)) →
mark(
__(
X,
__(
Y,
Z)))
active(
__(
X,
nil)) →
mark(
X)
active(
__(
nil,
X)) →
mark(
X)
active(
U11(
tt)) →
mark(
U12(
tt))
active(
U12(
tt)) →
mark(
tt)
active(
isNePal(
__(
I,
__(
P,
I)))) →
mark(
U11(
tt))
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
active(
X1),
X2)
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
X1,
active(
X2))
active(
U11(
X)) →
U11(
active(
X))
active(
U12(
X)) →
U12(
active(
X))
active(
isNePal(
X)) →
isNePal(
active(
X))
__(
mark(
X1),
X2) →
mark(
__(
X1,
X2))
__(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
__(
X1,
X2))
U11(
mark(
X)) →
mark(
U11(
X))
U12(
mark(
X)) →
mark(
U12(
X))
isNePal(
mark(
X)) →
mark(
isNePal(
X))
proper(
__(
X1,
X2)) →
__(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
U11(
X)) →
U11(
proper(
X))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X)) →
U12(
proper(
X))
proper(
isNePal(
X)) →
isNePal(
proper(
X))
__(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
__(
X1,
X2))
U11(
ok(
X)) →
ok(
U11(
X))
U12(
ok(
X)) →
ok(
U12(
X))
isNePal(
ok(
X)) →
ok(
isNePal(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
__ :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
mark :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
nil :: mark:nil:tt:ok
U11 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
tt :: mark:nil:tt:ok
U12 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
isNePal :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
proper :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
ok :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
top :: mark:nil:tt:ok → top
hole_mark:nil:tt:ok1_0 :: mark:nil:tt:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:nil:tt:ok3_0 :: Nat → mark:nil:tt:ok
Lemmas:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1233_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n12330)
U11(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1812_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n18120)
isNePal(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n2492_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n24920)
Generator Equations:
gen_mark:nil:tt:ok3_0(0) ⇔ nil
gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:nil:tt:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
proper < top
(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol active.
(22) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
__(
__(
X,
Y),
Z)) →
mark(
__(
X,
__(
Y,
Z)))
active(
__(
X,
nil)) →
mark(
X)
active(
__(
nil,
X)) →
mark(
X)
active(
U11(
tt)) →
mark(
U12(
tt))
active(
U12(
tt)) →
mark(
tt)
active(
isNePal(
__(
I,
__(
P,
I)))) →
mark(
U11(
tt))
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
active(
X1),
X2)
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
X1,
active(
X2))
active(
U11(
X)) →
U11(
active(
X))
active(
U12(
X)) →
U12(
active(
X))
active(
isNePal(
X)) →
isNePal(
active(
X))
__(
mark(
X1),
X2) →
mark(
__(
X1,
X2))
__(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
__(
X1,
X2))
U11(
mark(
X)) →
mark(
U11(
X))
U12(
mark(
X)) →
mark(
U12(
X))
isNePal(
mark(
X)) →
mark(
isNePal(
X))
proper(
__(
X1,
X2)) →
__(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
U11(
X)) →
U11(
proper(
X))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X)) →
U12(
proper(
X))
proper(
isNePal(
X)) →
isNePal(
proper(
X))
__(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
__(
X1,
X2))
U11(
ok(
X)) →
ok(
U11(
X))
U12(
ok(
X)) →
ok(
U12(
X))
isNePal(
ok(
X)) →
ok(
isNePal(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
__ :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
mark :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
nil :: mark:nil:tt:ok
U11 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
tt :: mark:nil:tt:ok
U12 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
isNePal :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
proper :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
ok :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
top :: mark:nil:tt:ok → top
hole_mark:nil:tt:ok1_0 :: mark:nil:tt:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:nil:tt:ok3_0 :: Nat → mark:nil:tt:ok
Lemmas:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1233_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n12330)
U11(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1812_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n18120)
isNePal(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n2492_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n24920)
Generator Equations:
gen_mark:nil:tt:ok3_0(0) ⇔ nil
gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:nil:tt:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
proper < top
(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol proper.
(24) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
__(
__(
X,
Y),
Z)) →
mark(
__(
X,
__(
Y,
Z)))
active(
__(
X,
nil)) →
mark(
X)
active(
__(
nil,
X)) →
mark(
X)
active(
U11(
tt)) →
mark(
U12(
tt))
active(
U12(
tt)) →
mark(
tt)
active(
isNePal(
__(
I,
__(
P,
I)))) →
mark(
U11(
tt))
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
active(
X1),
X2)
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
X1,
active(
X2))
active(
U11(
X)) →
U11(
active(
X))
active(
U12(
X)) →
U12(
active(
X))
active(
isNePal(
X)) →
isNePal(
active(
X))
__(
mark(
X1),
X2) →
mark(
__(
X1,
X2))
__(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
__(
X1,
X2))
U11(
mark(
X)) →
mark(
U11(
X))
U12(
mark(
X)) →
mark(
U12(
X))
isNePal(
mark(
X)) →
mark(
isNePal(
X))
proper(
__(
X1,
X2)) →
__(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
U11(
X)) →
U11(
proper(
X))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X)) →
U12(
proper(
X))
proper(
isNePal(
X)) →
isNePal(
proper(
X))
__(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
__(
X1,
X2))
U11(
ok(
X)) →
ok(
U11(
X))
U12(
ok(
X)) →
ok(
U12(
X))
isNePal(
ok(
X)) →
ok(
isNePal(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
__ :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
mark :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
nil :: mark:nil:tt:ok
U11 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
tt :: mark:nil:tt:ok
U12 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
isNePal :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
proper :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
ok :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
top :: mark:nil:tt:ok → top
hole_mark:nil:tt:ok1_0 :: mark:nil:tt:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:nil:tt:ok3_0 :: Nat → mark:nil:tt:ok
Lemmas:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1233_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n12330)
U11(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1812_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n18120)
isNePal(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n2492_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n24920)
Generator Equations:
gen_mark:nil:tt:ok3_0(0) ⇔ nil
gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:nil:tt:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
top
(25) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol top.
(26) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
__(
__(
X,
Y),
Z)) →
mark(
__(
X,
__(
Y,
Z)))
active(
__(
X,
nil)) →
mark(
X)
active(
__(
nil,
X)) →
mark(
X)
active(
U11(
tt)) →
mark(
U12(
tt))
active(
U12(
tt)) →
mark(
tt)
active(
isNePal(
__(
I,
__(
P,
I)))) →
mark(
U11(
tt))
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
active(
X1),
X2)
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
X1,
active(
X2))
active(
U11(
X)) →
U11(
active(
X))
active(
U12(
X)) →
U12(
active(
X))
active(
isNePal(
X)) →
isNePal(
active(
X))
__(
mark(
X1),
X2) →
mark(
__(
X1,
X2))
__(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
__(
X1,
X2))
U11(
mark(
X)) →
mark(
U11(
X))
U12(
mark(
X)) →
mark(
U12(
X))
isNePal(
mark(
X)) →
mark(
isNePal(
X))
proper(
__(
X1,
X2)) →
__(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
U11(
X)) →
U11(
proper(
X))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X)) →
U12(
proper(
X))
proper(
isNePal(
X)) →
isNePal(
proper(
X))
__(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
__(
X1,
X2))
U11(
ok(
X)) →
ok(
U11(
X))
U12(
ok(
X)) →
ok(
U12(
X))
isNePal(
ok(
X)) →
ok(
isNePal(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
__ :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
mark :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
nil :: mark:nil:tt:ok
U11 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
tt :: mark:nil:tt:ok
U12 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
isNePal :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
proper :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
ok :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
top :: mark:nil:tt:ok → top
hole_mark:nil:tt:ok1_0 :: mark:nil:tt:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:nil:tt:ok3_0 :: Nat → mark:nil:tt:ok
Lemmas:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1233_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n12330)
U11(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1812_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n18120)
isNePal(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n2492_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n24920)
Generator Equations:
gen_mark:nil:tt:ok3_0(0) ⇔ nil
gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:nil:tt:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(27) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(28) BOUNDS(n^1, INF)
(29) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
__(
__(
X,
Y),
Z)) →
mark(
__(
X,
__(
Y,
Z)))
active(
__(
X,
nil)) →
mark(
X)
active(
__(
nil,
X)) →
mark(
X)
active(
U11(
tt)) →
mark(
U12(
tt))
active(
U12(
tt)) →
mark(
tt)
active(
isNePal(
__(
I,
__(
P,
I)))) →
mark(
U11(
tt))
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
active(
X1),
X2)
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
X1,
active(
X2))
active(
U11(
X)) →
U11(
active(
X))
active(
U12(
X)) →
U12(
active(
X))
active(
isNePal(
X)) →
isNePal(
active(
X))
__(
mark(
X1),
X2) →
mark(
__(
X1,
X2))
__(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
__(
X1,
X2))
U11(
mark(
X)) →
mark(
U11(
X))
U12(
mark(
X)) →
mark(
U12(
X))
isNePal(
mark(
X)) →
mark(
isNePal(
X))
proper(
__(
X1,
X2)) →
__(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
U11(
X)) →
U11(
proper(
X))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X)) →
U12(
proper(
X))
proper(
isNePal(
X)) →
isNePal(
proper(
X))
__(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
__(
X1,
X2))
U11(
ok(
X)) →
ok(
U11(
X))
U12(
ok(
X)) →
ok(
U12(
X))
isNePal(
ok(
X)) →
ok(
isNePal(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
__ :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
mark :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
nil :: mark:nil:tt:ok
U11 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
tt :: mark:nil:tt:ok
U12 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
isNePal :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
proper :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
ok :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
top :: mark:nil:tt:ok → top
hole_mark:nil:tt:ok1_0 :: mark:nil:tt:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:nil:tt:ok3_0 :: Nat → mark:nil:tt:ok
Lemmas:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1233_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n12330)
U11(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1812_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n18120)
isNePal(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n2492_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n24920)
Generator Equations:
gen_mark:nil:tt:ok3_0(0) ⇔ nil
gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:nil:tt:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(30) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(31) BOUNDS(n^1, INF)
(32) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
__(
__(
X,
Y),
Z)) →
mark(
__(
X,
__(
Y,
Z)))
active(
__(
X,
nil)) →
mark(
X)
active(
__(
nil,
X)) →
mark(
X)
active(
U11(
tt)) →
mark(
U12(
tt))
active(
U12(
tt)) →
mark(
tt)
active(
isNePal(
__(
I,
__(
P,
I)))) →
mark(
U11(
tt))
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
active(
X1),
X2)
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
X1,
active(
X2))
active(
U11(
X)) →
U11(
active(
X))
active(
U12(
X)) →
U12(
active(
X))
active(
isNePal(
X)) →
isNePal(
active(
X))
__(
mark(
X1),
X2) →
mark(
__(
X1,
X2))
__(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
__(
X1,
X2))
U11(
mark(
X)) →
mark(
U11(
X))
U12(
mark(
X)) →
mark(
U12(
X))
isNePal(
mark(
X)) →
mark(
isNePal(
X))
proper(
__(
X1,
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__(
proper(
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proper(
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ok(
nil)
proper(
U11(
X)) →
U11(
proper(
X))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X)) →
U12(
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X))
proper(
isNePal(
X)) →
isNePal(
proper(
X))
__(
ok(
X1),
ok(
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ok(
__(
X1,
X2))
U11(
ok(
X)) →
ok(
U11(
X))
U12(
ok(
X)) →
ok(
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X))
isNePal(
ok(
X)) →
ok(
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X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
__ :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
mark :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
nil :: mark:nil:tt:ok
U11 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
tt :: mark:nil:tt:ok
U12 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
isNePal :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
proper :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
ok :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
top :: mark:nil:tt:ok → top
hole_mark:nil:tt:ok1_0 :: mark:nil:tt:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:nil:tt:ok3_0 :: Nat → mark:nil:tt:ok
Lemmas:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1233_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n12330)
U11(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1812_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n18120)
Generator Equations:
gen_mark:nil:tt:ok3_0(0) ⇔ nil
gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:nil:tt:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(33) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(34) BOUNDS(n^1, INF)
(35) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
__(
__(
X,
Y),
Z)) →
mark(
__(
X,
__(
Y,
Z)))
active(
__(
X,
nil)) →
mark(
X)
active(
__(
nil,
X)) →
mark(
X)
active(
U11(
tt)) →
mark(
U12(
tt))
active(
U12(
tt)) →
mark(
tt)
active(
isNePal(
__(
I,
__(
P,
I)))) →
mark(
U11(
tt))
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
active(
X1),
X2)
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
X1,
active(
X2))
active(
U11(
X)) →
U11(
active(
X))
active(
U12(
X)) →
U12(
active(
X))
active(
isNePal(
X)) →
isNePal(
active(
X))
__(
mark(
X1),
X2) →
mark(
__(
X1,
X2))
__(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
__(
X1,
X2))
U11(
mark(
X)) →
mark(
U11(
X))
U12(
mark(
X)) →
mark(
U12(
X))
isNePal(
mark(
X)) →
mark(
isNePal(
X))
proper(
__(
X1,
X2)) →
__(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
U11(
X)) →
U11(
proper(
X))
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ok(
tt)
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U12(
X)) →
U12(
proper(
X))
proper(
isNePal(
X)) →
isNePal(
proper(
X))
__(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
__(
X1,
X2))
U11(
ok(
X)) →
ok(
U11(
X))
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X)) →
ok(
U12(
X))
isNePal(
ok(
X)) →
ok(
isNePal(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
__ :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
mark :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
nil :: mark:nil:tt:ok
U11 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
tt :: mark:nil:tt:ok
U12 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
isNePal :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
proper :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
ok :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
top :: mark:nil:tt:ok → top
hole_mark:nil:tt:ok1_0 :: mark:nil:tt:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:nil:tt:ok3_0 :: Nat → mark:nil:tt:ok
Lemmas:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n1233_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n12330)
Generator Equations:
gen_mark:nil:tt:ok3_0(0) ⇔ nil
gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:nil:tt:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(36) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(37) BOUNDS(n^1, INF)
(38) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
__(
__(
X,
Y),
Z)) →
mark(
__(
X,
__(
Y,
Z)))
active(
__(
X,
nil)) →
mark(
X)
active(
__(
nil,
X)) →
mark(
X)
active(
U11(
tt)) →
mark(
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tt))
active(
U12(
tt)) →
mark(
tt)
active(
isNePal(
__(
I,
__(
P,
I)))) →
mark(
U11(
tt))
active(
__(
X1,
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__(
active(
X1),
X2)
active(
__(
X1,
X2)) →
__(
X1,
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U11(
X)) →
U11(
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X))
active(
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X)) →
U12(
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X)) →
isNePal(
active(
X))
__(
mark(
X1),
X2) →
mark(
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X1,
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__(
X1,
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mark(
__(
X1,
X2))
U11(
mark(
X)) →
mark(
U11(
X))
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X)) →
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X))
isNePal(
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mark(
isNePal(
X))
proper(
__(
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__(
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X1),
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X2))
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nil) →
ok(
nil)
proper(
U11(
X)) →
U11(
proper(
X))
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tt)
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U12(
X)) →
U12(
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X))
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isNePal(
X)) →
isNePal(
proper(
X))
__(
ok(
X1),
ok(
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ok(
__(
X1,
X2))
U11(
ok(
X)) →
ok(
U11(
X))
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X)) →
ok(
U12(
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ok(
X)) →
ok(
isNePal(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
__ :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
mark :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
nil :: mark:nil:tt:ok
U11 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
tt :: mark:nil:tt:ok
U12 :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
isNePal :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
proper :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
ok :: mark:nil:tt:ok → mark:nil:tt:ok
top :: mark:nil:tt:ok → top
hole_mark:nil:tt:ok1_0 :: mark:nil:tt:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:nil:tt:ok3_0 :: Nat → mark:nil:tt:ok
Lemmas:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
Generator Equations:
gen_mark:nil:tt:ok3_0(0) ⇔ nil
gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:nil:tt:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(39) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
__(gen_mark:nil:tt:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(40) BOUNDS(n^1, INF)