(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → tt
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNePal(X) → isNePal(X)
Rewrite Strategy: INNERMOST
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
a__and(tt, and(tt, X22550_0)) →+ a__and(tt, X22550_0)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [].
The pumping substitution is [X22550_0 / and(tt, X22550_0)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → tt
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNePal(X) → isNePal(X)
S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → tt
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNePal(X) → isNePal(X)
Types:
a____ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
__ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
mark :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
nil :: __:nil:tt:and:isNePal
a__and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
tt :: __:nil:tt:and:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
hole___:nil:tt:and:isNePal1_0 :: __:nil:tt:and:isNePal
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:and:isNePal
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a____,
markThey will be analysed ascendingly in the following order:
a____ = mark
(8) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a____(
__(
X,
Y),
Z) →
a____(
mark(
X),
a____(
mark(
Y),
mark(
Z)))
a____(
X,
nil) →
mark(
X)
a____(
nil,
X) →
mark(
X)
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNePal(
__(
I,
__(
P,
I))) →
ttmark(
__(
X1,
X2)) →
a____(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNePal(
X)) →
a__isNePal(
mark(
X))
mark(
nil) →
nilmark(
tt) →
tta____(
X1,
X2) →
__(
X1,
X2)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNePal(
X) →
isNePal(
X)
Types:
a____ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
__ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
mark :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
nil :: __:nil:tt:and:isNePal
a__and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
tt :: __:nil:tt:and:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
hole___:nil:tt:and:isNePal1_0 :: __:nil:tt:and:isNePal
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:and:isNePal
Generator Equations:
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0) ⇔ nil
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(+(x, 1)) ⇔ __(nil, gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a____
They will be analysed ascendingly in the following order:
a____ = mark
(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
mark(
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(
n4_0)) →
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(
0), rt ∈ Ω(1 + n4
0)
Induction Base:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0)) →RΩ(1)
nil
Induction Step:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(+(n4_0, 1))) →RΩ(1)
a____(mark(nil), mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0))) →RΩ(1)
a____(nil, mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0))) →IH
a____(nil, gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0)) →RΩ(1)
mark(nil) →RΩ(1)
nil
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(10) Complex Obligation (BEST)
(11) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a____(
__(
X,
Y),
Z) →
a____(
mark(
X),
a____(
mark(
Y),
mark(
Z)))
a____(
X,
nil) →
mark(
X)
a____(
nil,
X) →
mark(
X)
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNePal(
__(
I,
__(
P,
I))) →
ttmark(
__(
X1,
X2)) →
a____(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNePal(
X)) →
a__isNePal(
mark(
X))
mark(
nil) →
nilmark(
tt) →
tta____(
X1,
X2) →
__(
X1,
X2)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNePal(
X) →
isNePal(
X)
Types:
a____ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
__ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
mark :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
nil :: __:nil:tt:and:isNePal
a__and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
tt :: __:nil:tt:and:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
hole___:nil:tt:and:isNePal1_0 :: __:nil:tt:and:isNePal
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:and:isNePal
Lemmas:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n40)
Generator Equations:
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0) ⇔ nil
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(+(x, 1)) ⇔ __(nil, gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a____
They will be analysed ascendingly in the following order:
a____ = mark
(12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a____.
(13) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a____(
__(
X,
Y),
Z) →
a____(
mark(
X),
a____(
mark(
Y),
mark(
Z)))
a____(
X,
nil) →
mark(
X)
a____(
nil,
X) →
mark(
X)
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNePal(
__(
I,
__(
P,
I))) →
ttmark(
__(
X1,
X2)) →
a____(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNePal(
X)) →
a__isNePal(
mark(
X))
mark(
nil) →
nilmark(
tt) →
tta____(
X1,
X2) →
__(
X1,
X2)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNePal(
X) →
isNePal(
X)
Types:
a____ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
__ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
mark :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
nil :: __:nil:tt:and:isNePal
a__and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
tt :: __:nil:tt:and:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
hole___:nil:tt:and:isNePal1_0 :: __:nil:tt:and:isNePal
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:and:isNePal
Lemmas:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n40)
Generator Equations:
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0) ⇔ nil
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(+(x, 1)) ⇔ __(nil, gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(14) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n40)
(15) BOUNDS(n^1, INF)
(16) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a____(
__(
X,
Y),
Z) →
a____(
mark(
X),
a____(
mark(
Y),
mark(
Z)))
a____(
X,
nil) →
mark(
X)
a____(
nil,
X) →
mark(
X)
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNePal(
__(
I,
__(
P,
I))) →
ttmark(
__(
X1,
X2)) →
a____(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNePal(
X)) →
a__isNePal(
mark(
X))
mark(
nil) →
nilmark(
tt) →
tta____(
X1,
X2) →
__(
X1,
X2)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNePal(
X) →
isNePal(
X)
Types:
a____ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
__ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
mark :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
nil :: __:nil:tt:and:isNePal
a__and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
tt :: __:nil:tt:and:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
hole___:nil:tt:and:isNePal1_0 :: __:nil:tt:and:isNePal
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:and:isNePal
Lemmas:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n40)
Generator Equations:
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0) ⇔ nil
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(+(x, 1)) ⇔ __(nil, gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(17) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n40)
(18) BOUNDS(n^1, INF)