(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0) → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0) → 0
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0) → 0
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
Rewrite Strategy: INNERMOST
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
a__and(tt, and(tt, X29_3)) →+ a__and(tt, X29_3)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [].
The pumping substitution is [X29_3 / and(tt, X29_3)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
mark,
a__plus,
a__xThey will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x
(8) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__plus(
N,
0') →
mark(
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__x(
N,
0') →
0'a__x(
N,
s(
M)) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
0') →
0'mark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x
Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus, mark, a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__plus.
(10) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__plus(
N,
0') →
mark(
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__x(
N,
0') →
0'a__x(
N,
s(
M)) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
0') →
0'mark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x
Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x
(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
mark(
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(
n11388_0)) →
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(
n11388_0), rt ∈ Ω(1 + n11388
0)
Induction Base:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0)) →RΩ(1)
tt
Induction Step:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(n11388_0, 1))) →RΩ(1)
s(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11388_0))) →IH
s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(c11389_0))
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(12) Complex Obligation (BEST)
(13) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__plus(
N,
0') →
mark(
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__x(
N,
0') →
0'a__x(
N,
s(
M)) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
0') →
0'mark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x
Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11388_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11388_0), rt ∈ Ω(1 + n113880)
Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__x, a__plus
They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x
(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__x.
(15) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__plus(
N,
0') →
mark(
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__x(
N,
0') →
0'a__x(
N,
s(
M)) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
0') →
0'mark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x
Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11388_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11388_0), rt ∈ Ω(1 + n113880)
Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus
They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x
(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__plus.
(17) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__plus(
N,
0') →
mark(
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__x(
N,
0') →
0'a__x(
N,
s(
M)) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
0') →
0'mark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x
Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11388_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11388_0), rt ∈ Ω(1 + n113880)
Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(18) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11388_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11388_0), rt ∈ Ω(1 + n113880)
(19) BOUNDS(n^1, INF)
(20) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__plus(
N,
0') →
mark(
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__x(
N,
0') →
0'a__x(
N,
s(
M)) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
0') →
0'mark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x
Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11388_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11388_0), rt ∈ Ω(1 + n113880)
Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(21) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11388_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11388_0), rt ∈ Ω(1 + n113880)
(22) BOUNDS(n^1, INF)