(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0) → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0) → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0) → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0) → 0
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
Rewrite Strategy: INNERMOST
(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(2) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(4) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11,
mark,
a__U21,
a__plus,
a__U41,
a__x,
a__and,
a__isNatThey will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat
(6) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U21(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U31(
tt) →
0'a__U41(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__plus(
N,
0') →
a__U11(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U21(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U31(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U41(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2,
X3)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U21(
X1,
X2,
X3) →
U21(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2,
X3) →
U41(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U11, a__U21, a__plus, a__U41, a__x, a__and, a__isNat
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat
(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
mark(
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(
n4_0)) →
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(
n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4
0)
Induction Base:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0)) →RΩ(1)
tt
Induction Step:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(n4_0, 1))) →RΩ(1)
s(mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0))) →IH
s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(c5_0))
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(8) Complex Obligation (BEST)
(9) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U21(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U31(
tt) →
0'a__U41(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__plus(
N,
0') →
a__U11(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U21(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U31(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U41(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2,
X3)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U21(
X1,
X2,
X3) →
U21(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2,
X3) →
U41(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, a__U21, a__plus, a__U41, a__x, a__and, a__isNat
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat
(10) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.
(11) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U21(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U31(
tt) →
0'a__U41(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__plus(
N,
0') →
a__U11(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U21(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U31(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U41(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2,
X3)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U21(
X1,
X2,
X3) →
U21(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2,
X3) →
U41(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U21, a__plus, a__U41, a__x, a__and, a__isNat
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat
(12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U21.
(13) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U21(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U31(
tt) →
0'a__U41(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__plus(
N,
0') →
a__U11(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U21(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U31(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U41(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2,
X3)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U21(
X1,
X2,
X3) →
U21(
X1,
X2,
X3)
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X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2,
X3) →
U41(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus, a__U41, a__x, a__and, a__isNat
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat
(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__plus.
(15) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U21(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U31(
tt) →
0'a__U41(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__plus(
N,
0') →
a__U11(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U21(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U31(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U41(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2,
X3)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U21(
X1,
X2,
X3) →
U21(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2,
X3) →
U41(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNat, a__U41, a__x, a__and
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat
(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNat.
(17) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U21(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U31(
tt) →
0'a__U41(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__plus(
N,
0') →
a__U11(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U21(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U31(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U41(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2,
X3)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U21(
X1,
X2,
X3) →
U21(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2,
X3) →
U41(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__and, a__U41, a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat
(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__and.
(19) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U21(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U31(
tt) →
0'a__U41(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__plus(
N,
0') →
a__U11(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U21(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U31(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U41(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2,
X3)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U21(
X1,
X2,
X3) →
U21(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2,
X3) →
U41(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U41, a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat
(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U41.
(21) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U21(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U31(
tt) →
0'a__U41(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__plus(
N,
0') →
a__U11(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
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M)) →
a__U21(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U31(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U41(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2,
X3)) →
a__U41(
mark(
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X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U21(
X1,
X2,
X3) →
U21(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2,
X3) →
U41(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat
(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__x.
(23) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U21(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U31(
tt) →
0'a__U41(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__plus(
N,
0') →
a__U11(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U21(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U31(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U41(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2,
X3)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U21(
X1,
X2,
X3) →
U21(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2,
X3) →
U41(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(24) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
(25) BOUNDS(n^1, INF)
(26) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U21(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U31(
tt) →
0'a__U41(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__and(
tt,
X) →
mark(
X)
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__isNat(
V1)
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__and(
a__isNat(
V1),
isNat(
V2))
a__plus(
N,
0') →
a__U11(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U21(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U31(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U41(
a__and(
a__isNat(
M),
isNat(
N)),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2,
X3)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
and(
X1,
X2)) →
a__and(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U21(
X1,
X2,
X3) →
U21(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2,
X3) →
U41(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
a__and(
X1,
X2) →
and(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(27) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
(28) BOUNDS(n^1, INF)