(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(length(nil)) → mark(0)
active(length(cons(N, L))) → mark(s(length(L)))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
active(length(X)) → length(active(X))
active(s(X)) → s(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
length(mark(X)) → mark(length(X))
s(mark(X)) → mark(s(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0) → ok(0)
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(s(X)) → s(proper(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
length(ok(X)) → ok(length(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Rewrite Strategy: INNERMOST
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
cons(mark(X1), X2) →+ mark(cons(X1, X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [X1 / mark(X1)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(s(length(L)))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
active(length(X)) → length(active(X))
active(s(X)) → s(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
length(mark(X)) → mark(length(X))
s(mark(X)) → mark(s(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(s(X)) → s(proper(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
length(ok(X)) → ok(length(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(s(length(L)))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
active(length(X)) → length(active(X))
active(s(X)) → s(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
length(mark(X)) → mark(length(X))
s(mark(X)) → mark(s(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
proper(s(X)) → s(proper(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
length(ok(X)) → ok(length(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active,
cons,
s,
length,
and,
proper,
topThey will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
s < active
length < active
and < active
active < top
cons < proper
s < proper
length < proper
and < proper
proper < top
(8) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, s, length, and, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
s < active
length < active
and < active
active < top
cons < proper
s < proper
length < proper
and < proper
proper < top
(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
cons(
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
+(
1,
n5_0)),
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
b)) →
*4_0, rt ∈ Ω(n5
0)
Induction Base:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))
Induction Step:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n5_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(10) Complex Obligation (BEST)
(11) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, length, and, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
length < active
and < active
active < top
s < proper
length < proper
and < proper
proper < top
(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
s(
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
+(
1,
n998_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n998
0)
Induction Base:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n998_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n998_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(13) Complex Obligation (BEST)
(14) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n998_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9980)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
length, active, and, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
length < active
and < active
active < top
length < proper
and < proper
proper < top
(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
length(
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
+(
1,
n1565_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n1565
0)
Induction Base:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n1565_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1565_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(16) Complex Obligation (BEST)
(17) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n998_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9980)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1565_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15650)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
and, active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
and < active
active < top
and < proper
proper < top
(18) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
and(
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
+(
1,
n2233_0)),
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(
b)) →
*4_0, rt ∈ Ω(n2233
0)
Induction Base:
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))
Induction Step:
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n2233_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2233_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(19) Complex Obligation (BEST)
(20) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n998_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9980)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1565_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15650)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2233_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n22330)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
proper < top
(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol active.
(22) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n998_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9980)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1565_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15650)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2233_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n22330)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
proper < top
(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol proper.
(24) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n998_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9980)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1565_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15650)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2233_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n22330)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
top
(25) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol top.
(26) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n998_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9980)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1565_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15650)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2233_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n22330)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(27) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(28) BOUNDS(n^1, INF)
(29) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n998_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9980)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1565_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15650)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2233_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n22330)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(30) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(31) BOUNDS(n^1, INF)
(32) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n998_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9980)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1565_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15650)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(33) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(34) BOUNDS(n^1, INF)
(35) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n998_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9980)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(36) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(37) BOUNDS(n^1, INF)
(38) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
zeros) →
mark(
cons(
0',
zeros))
active(
and(
tt,
X)) →
mark(
X)
active(
length(
nil)) →
mark(
0')
active(
length(
cons(
N,
L))) →
mark(
s(
length(
L)))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
and(
X1,
X2)) →
and(
active(
X1),
X2)
active(
length(
X)) →
length(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
and(
mark(
X1),
X2) →
mark(
and(
X1,
X2))
length(
mark(
X)) →
mark(
length(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
proper(
zeros) →
ok(
zeros)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
and(
X1,
X2)) →
and(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
length(
X)) →
length(
proper(
X))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
and(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
and(
X1,
X2))
length(
ok(
X)) →
ok(
length(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok
Lemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(39) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(40) BOUNDS(n^1, INF)