(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__zeros → cons(0, zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0) → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0) → 0
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
Rewrite Strategy: INNERMOST
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
a__U41(tt, cons(0, V2328_4)) →+ a__U42(a__U41(tt, V2328_4))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [V2328_4 / cons(0, V2328_4)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt) → tt
a__U41(tt, V2) → a__U42(a__isNatIList(V2))
a__U42(tt) → tt
a__U51(tt, V2) → a__U52(a__isNatList(V2))
a__U52(tt) → tt
a__U61(tt, L, N) → a__U62(a__isNat(N), L)
a__U62(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(length(V1)) → a__U11(a__isNatList(V1))
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNatIList(V) → a__U31(a__isNatList(V))
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(V1, V2)) → a__U41(a__isNat(V1), V2)
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(V1, V2)) → a__U51(a__isNat(V1), V2)
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U61(a__isNatList(L), L, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X)) → a__U11(mark(X))
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U42(X)) → a__U42(mark(X))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(U51(X1, X2)) → a__U51(mark(X1), X2)
mark(U52(X)) → a__U52(mark(X))
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(U61(X1, X2, X3)) → a__U61(mark(X1), X2, X3)
mark(U62(X1, X2)) → a__U62(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X) → U11(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U42(X) → U42(X)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__U51(X1, X2) → U51(X1, X2)
a__U52(X) → U52(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__U61(X1, X2, X3) → U61(X1, X2, X3)
a__U62(X1, X2) → U62(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U41,
a__isNatIList,
a__U51,
a__isNatList,
a__U61,
a__U62,
a__isNat,
a__length,
markThey will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = a__isNatIList
a__U41 < mark
a__isNatList < a__isNatIList
a__isNat < a__isNatIList
a__isNatIList < mark
a__U51 = a__isNatList
a__U51 = a__isNat
a__U51 < mark
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList < a__length
a__isNatList < mark
a__U61 = a__U62
a__isNat < a__U61
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__isNat < mark
a__length = mark
(8) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt) →
tta__U41(
tt,
V2) →
a__U42(
a__isNatIList(
V2))
a__U42(
tt) →
tta__U51(
tt,
V2) →
a__U52(
a__isNatList(
V2))
a__U52(
tt) →
tta__U61(
tt,
L,
N) →
a__U62(
a__isNat(
N),
L)
a__U62(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__U11(
a__isNatList(
V1))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNatIList(
V) →
a__U31(
a__isNatList(
V))
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U41(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U51(
a__isNat(
V1),
V2)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U61(
a__isNatList(
L),
L,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X)) →
a__U11(
mark(
X))
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U42(
X)) →
a__U42(
mark(
X))
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
U51(
X1,
X2)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2)
mark(
U52(
X)) →
a__U52(
mark(
X))
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
U61(
X1,
X2,
X3)) →
a__U61(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U62(
X1,
X2)) →
a__U62(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X) →
U11(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U42(
X) →
U42(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
a__U51(
X1,
X2) →
U51(
X1,
X2)
a__U52(
X) →
U52(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__U61(
X1,
X2,
X3) →
U61(
X1,
X2,
X3)
a__U62(
X1,
X2) →
U62(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNatList, a__U41, a__isNatIList, a__U51, a__U61, a__U62, a__isNat, a__length, mark
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = a__isNatIList
a__U41 < mark
a__isNatList < a__isNatIList
a__isNat < a__isNatIList
a__isNatIList < mark
a__U51 = a__isNatList
a__U51 = a__isNat
a__U51 < mark
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList < a__length
a__isNatList < mark
a__U61 = a__U62
a__isNat < a__U61
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__isNat < mark
a__length = mark
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNatList.
(10) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt) →
tta__U41(
tt,
V2) →
a__U42(
a__isNatIList(
V2))
a__U42(
tt) →
tta__U51(
tt,
V2) →
a__U52(
a__isNatList(
V2))
a__U52(
tt) →
tta__U61(
tt,
L,
N) →
a__U62(
a__isNat(
N),
L)
a__U62(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__U11(
a__isNatList(
V1))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNatIList(
V) →
a__U31(
a__isNatList(
V))
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U41(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U51(
a__isNat(
V1),
V2)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U61(
a__isNatList(
L),
L,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X)) →
a__U11(
mark(
X))
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U42(
X)) →
a__U42(
mark(
X))
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
U51(
X1,
X2)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2)
mark(
U52(
X)) →
a__U52(
mark(
X))
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
U61(
X1,
X2,
X3)) →
a__U61(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U62(
X1,
X2)) →
a__U62(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X) →
U11(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U42(
X) →
U42(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
a__U51(
X1,
X2) →
U51(
X1,
X2)
a__U52(
X) →
U52(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__U61(
X1,
X2,
X3) →
U61(
X1,
X2,
X3)
a__U62(
X1,
X2) →
U62(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U51, a__U41, a__isNatIList, a__U61, a__U62, a__isNat, a__length, mark
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = a__isNatIList
a__U41 < mark
a__isNatList < a__isNatIList
a__isNat < a__isNatIList
a__isNatIList < mark
a__U51 = a__isNatList
a__U51 = a__isNat
a__U51 < mark
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList < a__length
a__isNatList < mark
a__U61 = a__U62
a__isNat < a__U61
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__isNat < mark
a__length = mark
(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U51.
(12) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt) →
tta__U41(
tt,
V2) →
a__U42(
a__isNatIList(
V2))
a__U42(
tt) →
tta__U51(
tt,
V2) →
a__U52(
a__isNatList(
V2))
a__U52(
tt) →
tta__U61(
tt,
L,
N) →
a__U62(
a__isNat(
N),
L)
a__U62(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__U11(
a__isNatList(
V1))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNatIList(
V) →
a__U31(
a__isNatList(
V))
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U41(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U51(
a__isNat(
V1),
V2)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U61(
a__isNatList(
L),
L,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X)) →
a__U11(
mark(
X))
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U42(
X)) →
a__U42(
mark(
X))
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
U51(
X1,
X2)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2)
mark(
U52(
X)) →
a__U52(
mark(
X))
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
U61(
X1,
X2,
X3)) →
a__U61(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U62(
X1,
X2)) →
a__U62(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X) →
U11(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U42(
X) →
U42(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
a__U51(
X1,
X2) →
U51(
X1,
X2)
a__U52(
X) →
U52(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__U61(
X1,
X2,
X3) →
U61(
X1,
X2,
X3)
a__U62(
X1,
X2) →
U62(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNat, a__U41, a__isNatIList, a__U61, a__U62, a__length, mark
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = a__isNatIList
a__U41 < mark
a__isNatList < a__isNatIList
a__isNat < a__isNatIList
a__isNatIList < mark
a__U51 = a__isNatList
a__U51 = a__isNat
a__U51 < mark
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList < a__length
a__isNatList < mark
a__U61 = a__U62
a__isNat < a__U61
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__isNat < mark
a__length = mark
(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNat.
(14) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt) →
tta__U41(
tt,
V2) →
a__U42(
a__isNatIList(
V2))
a__U42(
tt) →
tta__U51(
tt,
V2) →
a__U52(
a__isNatList(
V2))
a__U52(
tt) →
tta__U61(
tt,
L,
N) →
a__U62(
a__isNat(
N),
L)
a__U62(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__U11(
a__isNatList(
V1))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNatIList(
V) →
a__U31(
a__isNatList(
V))
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U41(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U51(
a__isNat(
V1),
V2)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U61(
a__isNatList(
L),
L,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X)) →
a__U11(
mark(
X))
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U42(
X)) →
a__U42(
mark(
X))
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
U51(
X1,
X2)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2)
mark(
U52(
X)) →
a__U52(
mark(
X))
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
U61(
X1,
X2,
X3)) →
a__U61(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U62(
X1,
X2)) →
a__U62(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X) →
U11(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U42(
X) →
U42(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
a__U51(
X1,
X2) →
U51(
X1,
X2)
a__U52(
X) →
U52(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__U61(
X1,
X2,
X3) →
U61(
X1,
X2,
X3)
a__U62(
X1,
X2) →
U62(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNatIList, a__U41, a__U61, a__U62, a__length, mark
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = a__isNatIList
a__U41 < mark
a__isNatIList < mark
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark
(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNatIList.
(16) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt) →
tta__U41(
tt,
V2) →
a__U42(
a__isNatIList(
V2))
a__U42(
tt) →
tta__U51(
tt,
V2) →
a__U52(
a__isNatList(
V2))
a__U52(
tt) →
tta__U61(
tt,
L,
N) →
a__U62(
a__isNat(
N),
L)
a__U62(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__U11(
a__isNatList(
V1))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNatIList(
V) →
a__U31(
a__isNatList(
V))
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U41(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U51(
a__isNat(
V1),
V2)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U61(
a__isNatList(
L),
L,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X)) →
a__U11(
mark(
X))
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U42(
X)) →
a__U42(
mark(
X))
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
U51(
X1,
X2)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2)
mark(
U52(
X)) →
a__U52(
mark(
X))
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
U61(
X1,
X2,
X3)) →
a__U61(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U62(
X1,
X2)) →
a__U62(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X) →
U11(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U42(
X) →
U42(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
a__U51(
X1,
X2) →
U51(
X1,
X2)
a__U52(
X) →
U52(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__U61(
X1,
X2,
X3) →
U61(
X1,
X2,
X3)
a__U62(
X1,
X2) →
U62(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U41, a__U61, a__U62, a__length, mark
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = a__isNatIList
a__U41 < mark
a__isNatIList < mark
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark
(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U41.
(18) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt) →
tta__U41(
tt,
V2) →
a__U42(
a__isNatIList(
V2))
a__U42(
tt) →
tta__U51(
tt,
V2) →
a__U52(
a__isNatList(
V2))
a__U52(
tt) →
tta__U61(
tt,
L,
N) →
a__U62(
a__isNat(
N),
L)
a__U62(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__U11(
a__isNatList(
V1))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNatIList(
V) →
a__U31(
a__isNatList(
V))
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U41(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U51(
a__isNat(
V1),
V2)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U61(
a__isNatList(
L),
L,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X)) →
a__U11(
mark(
X))
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U42(
X)) →
a__U42(
mark(
X))
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
U51(
X1,
X2)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2)
mark(
U52(
X)) →
a__U52(
mark(
X))
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
U61(
X1,
X2,
X3)) →
a__U61(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U62(
X1,
X2)) →
a__U62(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X) →
U11(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U42(
X) →
U42(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
a__U51(
X1,
X2) →
U51(
X1,
X2)
a__U52(
X) →
U52(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__U61(
X1,
X2,
X3) →
U61(
X1,
X2,
X3)
a__U62(
X1,
X2) →
U62(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U62, a__U61, a__length, mark
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark
(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U62.
(20) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt) →
tta__U41(
tt,
V2) →
a__U42(
a__isNatIList(
V2))
a__U42(
tt) →
tta__U51(
tt,
V2) →
a__U52(
a__isNatList(
V2))
a__U52(
tt) →
tta__U61(
tt,
L,
N) →
a__U62(
a__isNat(
N),
L)
a__U62(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__U11(
a__isNatList(
V1))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNatIList(
V) →
a__U31(
a__isNatList(
V))
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U41(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U51(
a__isNat(
V1),
V2)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U61(
a__isNatList(
L),
L,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X)) →
a__U11(
mark(
X))
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U42(
X)) →
a__U42(
mark(
X))
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
U51(
X1,
X2)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2)
mark(
U52(
X)) →
a__U52(
mark(
X))
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
U61(
X1,
X2,
X3)) →
a__U61(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U62(
X1,
X2)) →
a__U62(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X) →
U11(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U42(
X) →
U42(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
a__U51(
X1,
X2) →
U51(
X1,
X2)
a__U52(
X) →
U52(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__U61(
X1,
X2,
X3) →
U61(
X1,
X2,
X3)
a__U62(
X1,
X2) →
U62(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__U61, mark
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark
(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.
(22) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt) →
tta__U41(
tt,
V2) →
a__U42(
a__isNatIList(
V2))
a__U42(
tt) →
tta__U51(
tt,
V2) →
a__U52(
a__isNatList(
V2))
a__U52(
tt) →
tta__U61(
tt,
L,
N) →
a__U62(
a__isNat(
N),
L)
a__U62(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__U11(
a__isNatList(
V1))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNatIList(
V) →
a__U31(
a__isNatList(
V))
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U41(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U51(
a__isNat(
V1),
V2)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U61(
a__isNatList(
L),
L,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X)) →
a__U11(
mark(
X))
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U42(
X)) →
a__U42(
mark(
X))
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
U51(
X1,
X2)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2)
mark(
U52(
X)) →
a__U52(
mark(
X))
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
U61(
X1,
X2,
X3)) →
a__U61(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U62(
X1,
X2)) →
a__U62(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X) →
U11(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U42(
X) →
U42(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
a__U51(
X1,
X2) →
U51(
X1,
X2)
a__U52(
X) →
U52(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__U61(
X1,
X2,
X3) →
U61(
X1,
X2,
X3)
a__U62(
X1,
X2) →
U62(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U61, mark
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark
(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U61.
(24) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt) →
tta__U41(
tt,
V2) →
a__U42(
a__isNatIList(
V2))
a__U42(
tt) →
tta__U51(
tt,
V2) →
a__U52(
a__isNatList(
V2))
a__U52(
tt) →
tta__U61(
tt,
L,
N) →
a__U62(
a__isNat(
N),
L)
a__U62(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__U11(
a__isNatList(
V1))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNatIList(
V) →
a__U31(
a__isNatList(
V))
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U41(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U51(
a__isNat(
V1),
V2)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U61(
a__isNatList(
L),
L,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X)) →
a__U11(
mark(
X))
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U42(
X)) →
a__U42(
mark(
X))
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
U51(
X1,
X2)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2)
mark(
U52(
X)) →
a__U52(
mark(
X))
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
U61(
X1,
X2,
X3)) →
a__U61(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U62(
X1,
X2)) →
a__U62(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X) →
U11(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U42(
X) →
U42(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
a__U51(
X1,
X2) →
U51(
X1,
X2)
a__U52(
X) →
U52(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__U61(
X1,
X2,
X3) →
U61(
X1,
X2,
X3)
a__U62(
X1,
X2) →
U62(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
mark
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark
(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
mark(
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(
n322_0)) →
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(
n322_0), rt ∈ Ω(1 + n322
0)
Induction Base:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0)) →RΩ(1)
0'
Induction Step:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(n322_0, 1))) →RΩ(1)
cons(mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)), 0') →IH
cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(c323_0), 0')
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(26) Complex Obligation (BEST)
(27) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt) →
tta__U41(
tt,
V2) →
a__U42(
a__isNatIList(
V2))
a__U42(
tt) →
tta__U51(
tt,
V2) →
a__U52(
a__isNatList(
V2))
a__U52(
tt) →
tta__U61(
tt,
L,
N) →
a__U62(
a__isNat(
N),
L)
a__U62(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__U11(
a__isNatList(
V1))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNatIList(
V) →
a__U31(
a__isNatList(
V))
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U41(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U51(
a__isNat(
V1),
V2)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U61(
a__isNatList(
L),
L,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X)) →
a__U11(
mark(
X))
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U42(
X)) →
a__U42(
mark(
X))
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
U51(
X1,
X2)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2)
mark(
U52(
X)) →
a__U52(
mark(
X))
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
U61(
X1,
X2,
X3)) →
a__U61(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U62(
X1,
X2)) →
a__U62(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X) →
U11(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U42(
X) →
U42(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
a__U51(
X1,
X2) →
U51(
X1,
X2)
a__U52(
X) →
U52(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__U61(
X1,
X2,
X3) →
U61(
X1,
X2,
X3)
a__U62(
X1,
X2) →
U62(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n3220)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U62, a__U61, a__length
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark
(28) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U62.
(29) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt) →
tta__U41(
tt,
V2) →
a__U42(
a__isNatIList(
V2))
a__U42(
tt) →
tta__U51(
tt,
V2) →
a__U52(
a__isNatList(
V2))
a__U52(
tt) →
tta__U61(
tt,
L,
N) →
a__U62(
a__isNat(
N),
L)
a__U62(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__U11(
a__isNatList(
V1))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNatIList(
V) →
a__U31(
a__isNatList(
V))
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U41(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U51(
a__isNat(
V1),
V2)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U61(
a__isNatList(
L),
L,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X)) →
a__U11(
mark(
X))
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U42(
X)) →
a__U42(
mark(
X))
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
U51(
X1,
X2)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2)
mark(
U52(
X)) →
a__U52(
mark(
X))
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
U61(
X1,
X2,
X3)) →
a__U61(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U62(
X1,
X2)) →
a__U62(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X) →
U11(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U42(
X) →
U42(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
a__U51(
X1,
X2) →
U51(
X1,
X2)
a__U52(
X) →
U52(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__U61(
X1,
X2,
X3) →
U61(
X1,
X2,
X3)
a__U62(
X1,
X2) →
U62(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n3220)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__U61
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark
(30) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.
(31) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt) →
tta__U41(
tt,
V2) →
a__U42(
a__isNatIList(
V2))
a__U42(
tt) →
tta__U51(
tt,
V2) →
a__U52(
a__isNatList(
V2))
a__U52(
tt) →
tta__U61(
tt,
L,
N) →
a__U62(
a__isNat(
N),
L)
a__U62(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__U11(
a__isNatList(
V1))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNatIList(
V) →
a__U31(
a__isNatList(
V))
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U41(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U51(
a__isNat(
V1),
V2)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U61(
a__isNatList(
L),
L,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X)) →
a__U11(
mark(
X))
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U42(
X)) →
a__U42(
mark(
X))
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
U51(
X1,
X2)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2)
mark(
U52(
X)) →
a__U52(
mark(
X))
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
U61(
X1,
X2,
X3)) →
a__U61(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U62(
X1,
X2)) →
a__U62(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X) →
U11(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U42(
X) →
U42(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
a__U51(
X1,
X2) →
U51(
X1,
X2)
a__U52(
X) →
U52(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__U61(
X1,
X2,
X3) →
U61(
X1,
X2,
X3)
a__U62(
X1,
X2) →
U62(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n3220)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U61
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U61 = a__U62
a__U61 = a__length
a__U61 = mark
a__U62 = a__length
a__U62 = mark
a__length = mark
(32) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U61.
(33) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt) →
tta__U41(
tt,
V2) →
a__U42(
a__isNatIList(
V2))
a__U42(
tt) →
tta__U51(
tt,
V2) →
a__U52(
a__isNatList(
V2))
a__U52(
tt) →
tta__U61(
tt,
L,
N) →
a__U62(
a__isNat(
N),
L)
a__U62(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__U11(
a__isNatList(
V1))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNatIList(
V) →
a__U31(
a__isNatList(
V))
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U41(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U51(
a__isNat(
V1),
V2)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U61(
a__isNatList(
L),
L,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X)) →
a__U11(
mark(
X))
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U42(
X)) →
a__U42(
mark(
X))
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
U51(
X1,
X2)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2)
mark(
U52(
X)) →
a__U52(
mark(
X))
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
U61(
X1,
X2,
X3)) →
a__U61(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U62(
X1,
X2)) →
a__U62(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X) →
U11(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U42(
X) →
U42(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
a__U51(
X1,
X2) →
U51(
X1,
X2)
a__U52(
X) →
U52(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__U61(
X1,
X2,
X3) →
U61(
X1,
X2,
X3)
a__U62(
X1,
X2) →
U62(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n3220)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')
No more defined symbols left to analyse.
(34) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n3220)
(35) BOUNDS(n^1, INF)
(36) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt) →
tta__U41(
tt,
V2) →
a__U42(
a__isNatIList(
V2))
a__U42(
tt) →
tta__U51(
tt,
V2) →
a__U52(
a__isNatList(
V2))
a__U52(
tt) →
tta__U61(
tt,
L,
N) →
a__U62(
a__isNat(
N),
L)
a__U62(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
length(
V1)) →
a__U11(
a__isNatList(
V1))
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNatIList(
V) →
a__U31(
a__isNatList(
V))
a__isNatIList(
zeros) →
tta__isNatIList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U41(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNatList(
nil) →
tta__isNatList(
cons(
V1,
V2)) →
a__U51(
a__isNat(
V1),
V2)
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U61(
a__isNatList(
L),
L,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X)) →
a__U11(
mark(
X))
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X)) →
a__U31(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U42(
X)) →
a__U42(
mark(
X))
mark(
isNatIList(
X)) →
a__isNatIList(
X)
mark(
U51(
X1,
X2)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2)
mark(
U52(
X)) →
a__U52(
mark(
X))
mark(
isNatList(
X)) →
a__isNatList(
X)
mark(
U61(
X1,
X2,
X3)) →
a__U61(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U62(
X1,
X2)) →
a__U62(
mark(
X1),
X2)
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X) →
U11(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X) →
U31(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U42(
X) →
U42(
X)
a__isNatIList(
X) →
isNatIList(
X)
a__U51(
X1,
X2) →
U51(
X1,
X2)
a__U52(
X) →
U52(
X)
a__isNatList(
X) →
isNatList(
X)
a__U61(
X1,
X2,
X3) →
U61(
X1,
X2,
X3)
a__U62(
X1,
X2) →
U62(
X1,
X2)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__length(
X) →
length(
X)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
s :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
length :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U31 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U41 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U42 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatIList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U51 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U52 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNatList :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U61 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
U62 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
isNat :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
hole_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n3220)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(x), 0')
No more defined symbols left to analyse.
(37) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:length:nil:U11:U21:U31:U41:U42:isNatIList:U51:U52:isNatList:U61:U62:isNat2_0(n322_0), rt ∈ Ω(1 + n3220)
(38) BOUNDS(n^1, INF)