(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(terms(N)) → mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N))))
active(sqr(0)) → mark(0)
active(sqr(s(X))) → mark(s(add(sqr(X), dbl(X))))
active(dbl(0)) → mark(0)
active(dbl(s(X))) → mark(s(s(dbl(X))))
active(add(0, X)) → mark(X)
active(add(s(X), Y)) → mark(s(add(X, Y)))
active(first(0, X)) → mark(nil)
active(first(s(X), cons(Y, Z))) → mark(cons(Y, first(X, Z)))
active(half(0)) → mark(0)
active(half(s(0))) → mark(0)
active(half(s(s(X)))) → mark(s(half(X)))
active(half(dbl(X))) → mark(X)
active(terms(X)) → terms(active(X))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(recip(X)) → recip(active(X))
active(sqr(X)) → sqr(active(X))
active(s(X)) → s(active(X))
active(add(X1, X2)) → add(active(X1), X2)
active(add(X1, X2)) → add(X1, active(X2))
active(dbl(X)) → dbl(active(X))
active(first(X1, X2)) → first(active(X1), X2)
active(first(X1, X2)) → first(X1, active(X2))
active(half(X)) → half(active(X))
terms(mark(X)) → mark(terms(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
recip(mark(X)) → mark(recip(X))
sqr(mark(X)) → mark(sqr(X))
s(mark(X)) → mark(s(X))
add(mark(X1), X2) → mark(add(X1, X2))
add(X1, mark(X2)) → mark(add(X1, X2))
dbl(mark(X)) → mark(dbl(X))
first(mark(X1), X2) → mark(first(X1, X2))
first(X1, mark(X2)) → mark(first(X1, X2))
half(mark(X)) → mark(half(X))
proper(terms(X)) → terms(proper(X))
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(recip(X)) → recip(proper(X))
proper(sqr(X)) → sqr(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(0) → ok(0)
proper(add(X1, X2)) → add(proper(X1), proper(X2))
proper(dbl(X)) → dbl(proper(X))
proper(first(X1, X2)) → first(proper(X1), proper(X2))
proper(nil) → ok(nil)
proper(half(X)) → half(proper(X))
terms(ok(X)) → ok(terms(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
recip(ok(X)) → ok(recip(X))
sqr(ok(X)) → ok(sqr(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
add(ok(X1), ok(X2)) → ok(add(X1, X2))
dbl(ok(X)) → ok(dbl(X))
first(ok(X1), ok(X2)) → ok(first(X1, X2))
half(ok(X)) → ok(half(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Rewrite Strategy: INNERMOST
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
terms(mark(X)) →+ mark(terms(X))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [X / mark(X)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(terms(N)) → mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N))))
active(sqr(0')) → mark(0')
active(sqr(s(X))) → mark(s(add(sqr(X), dbl(X))))
active(dbl(0')) → mark(0')
active(dbl(s(X))) → mark(s(s(dbl(X))))
active(add(0', X)) → mark(X)
active(add(s(X), Y)) → mark(s(add(X, Y)))
active(first(0', X)) → mark(nil)
active(first(s(X), cons(Y, Z))) → mark(cons(Y, first(X, Z)))
active(half(0')) → mark(0')
active(half(s(0'))) → mark(0')
active(half(s(s(X)))) → mark(s(half(X)))
active(half(dbl(X))) → mark(X)
active(terms(X)) → terms(active(X))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(recip(X)) → recip(active(X))
active(sqr(X)) → sqr(active(X))
active(s(X)) → s(active(X))
active(add(X1, X2)) → add(active(X1), X2)
active(add(X1, X2)) → add(X1, active(X2))
active(dbl(X)) → dbl(active(X))
active(first(X1, X2)) → first(active(X1), X2)
active(first(X1, X2)) → first(X1, active(X2))
active(half(X)) → half(active(X))
terms(mark(X)) → mark(terms(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
recip(mark(X)) → mark(recip(X))
sqr(mark(X)) → mark(sqr(X))
s(mark(X)) → mark(s(X))
add(mark(X1), X2) → mark(add(X1, X2))
add(X1, mark(X2)) → mark(add(X1, X2))
dbl(mark(X)) → mark(dbl(X))
first(mark(X1), X2) → mark(first(X1, X2))
first(X1, mark(X2)) → mark(first(X1, X2))
half(mark(X)) → mark(half(X))
proper(terms(X)) → terms(proper(X))
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(recip(X)) → recip(proper(X))
proper(sqr(X)) → sqr(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(0') → ok(0')
proper(add(X1, X2)) → add(proper(X1), proper(X2))
proper(dbl(X)) → dbl(proper(X))
proper(first(X1, X2)) → first(proper(X1), proper(X2))
proper(nil) → ok(nil)
proper(half(X)) → half(proper(X))
terms(ok(X)) → ok(terms(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
recip(ok(X)) → ok(recip(X))
sqr(ok(X)) → ok(sqr(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
add(ok(X1), ok(X2)) → ok(add(X1, X2))
dbl(ok(X)) → ok(dbl(X))
first(ok(X1), ok(X2)) → ok(first(X1, X2))
half(ok(X)) → ok(half(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(terms(N)) → mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N))))
active(sqr(0')) → mark(0')
active(sqr(s(X))) → mark(s(add(sqr(X), dbl(X))))
active(dbl(0')) → mark(0')
active(dbl(s(X))) → mark(s(s(dbl(X))))
active(add(0', X)) → mark(X)
active(add(s(X), Y)) → mark(s(add(X, Y)))
active(first(0', X)) → mark(nil)
active(first(s(X), cons(Y, Z))) → mark(cons(Y, first(X, Z)))
active(half(0')) → mark(0')
active(half(s(0'))) → mark(0')
active(half(s(s(X)))) → mark(s(half(X)))
active(half(dbl(X))) → mark(X)
active(terms(X)) → terms(active(X))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(recip(X)) → recip(active(X))
active(sqr(X)) → sqr(active(X))
active(s(X)) → s(active(X))
active(add(X1, X2)) → add(active(X1), X2)
active(add(X1, X2)) → add(X1, active(X2))
active(dbl(X)) → dbl(active(X))
active(first(X1, X2)) → first(active(X1), X2)
active(first(X1, X2)) → first(X1, active(X2))
active(half(X)) → half(active(X))
terms(mark(X)) → mark(terms(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
recip(mark(X)) → mark(recip(X))
sqr(mark(X)) → mark(sqr(X))
s(mark(X)) → mark(s(X))
add(mark(X1), X2) → mark(add(X1, X2))
add(X1, mark(X2)) → mark(add(X1, X2))
dbl(mark(X)) → mark(dbl(X))
first(mark(X1), X2) → mark(first(X1, X2))
first(X1, mark(X2)) → mark(first(X1, X2))
half(mark(X)) → mark(half(X))
proper(terms(X)) → terms(proper(X))
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(recip(X)) → recip(proper(X))
proper(sqr(X)) → sqr(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(0') → ok(0')
proper(add(X1, X2)) → add(proper(X1), proper(X2))
proper(dbl(X)) → dbl(proper(X))
proper(first(X1, X2)) → first(proper(X1), proper(X2))
proper(nil) → ok(nil)
proper(half(X)) → half(proper(X))
terms(ok(X)) → ok(terms(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
recip(ok(X)) → ok(recip(X))
sqr(ok(X)) → ok(sqr(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
add(ok(X1), ok(X2)) → ok(add(X1, X2))
dbl(ok(X)) → ok(dbl(X))
first(ok(X1), ok(X2)) → ok(first(X1, X2))
half(ok(X)) → ok(half(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active,
cons,
recip,
sqr,
terms,
s,
add,
dbl,
first,
half,
proper,
topThey will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
recip < active
sqr < active
terms < active
s < active
add < active
dbl < active
first < active
half < active
active < top
cons < proper
recip < proper
sqr < proper
terms < proper
s < proper
add < proper
dbl < proper
first < proper
half < proper
proper < top
(8) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, recip, sqr, terms, s, add, dbl, first, half, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
recip < active
sqr < active
terms < active
s < active
add < active
dbl < active
first < active
half < active
active < top
cons < proper
recip < proper
sqr < proper
terms < proper
s < proper
add < proper
dbl < proper
first < proper
half < proper
proper < top
(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
cons(
gen_mark:0':nil:ok3_0(
+(
1,
n5_0)),
gen_mark:0':nil:ok3_0(
b)) →
*4_0, rt ∈ Ω(n5
0)
Induction Base:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b))
Induction Step:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, +(n5_0, 1))), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(10) Complex Obligation (BEST)
(11) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
recip, active, sqr, terms, s, add, dbl, first, half, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
recip < active
sqr < active
terms < active
s < active
add < active
dbl < active
first < active
half < active
active < top
recip < proper
sqr < proper
terms < proper
s < proper
add < proper
dbl < proper
first < proper
half < proper
proper < top
(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
recip(
gen_mark:0':nil:ok3_0(
+(
1,
n1556_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n1556
0)
Induction Base:
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, +(n1556_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(13) Complex Obligation (BEST)
(14) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
sqr, active, terms, s, add, dbl, first, half, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
sqr < active
terms < active
s < active
add < active
dbl < active
first < active
half < active
active < top
sqr < proper
terms < proper
s < proper
add < proper
dbl < proper
first < proper
half < proper
proper < top
(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
sqr(
gen_mark:0':nil:ok3_0(
+(
1,
n2309_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n2309
0)
Induction Base:
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, +(n2309_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(16) Complex Obligation (BEST)
(17) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
terms, active, s, add, dbl, first, half, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
terms < active
s < active
add < active
dbl < active
first < active
half < active
active < top
terms < proper
s < proper
add < proper
dbl < proper
first < proper
half < proper
proper < top
(18) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
terms(
gen_mark:0':nil:ok3_0(
+(
1,
n3163_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n3163
0)
Induction Base:
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, +(n3163_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(19) Complex Obligation (BEST)
(20) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, add, dbl, first, half, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
add < active
dbl < active
first < active
half < active
active < top
s < proper
add < proper
dbl < proper
first < proper
half < proper
proper < top
(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
s(
gen_mark:0':nil:ok3_0(
+(
1,
n4118_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n4118
0)
Induction Base:
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, +(n4118_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n4118_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(22) Complex Obligation (BEST)
(23) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n4118_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n41180)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
add, active, dbl, first, half, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
add < active
dbl < active
first < active
half < active
active < top
add < proper
dbl < proper
first < proper
half < proper
proper < top
(24) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
add(
gen_mark:0':nil:ok3_0(
+(
1,
n5174_0)),
gen_mark:0':nil:ok3_0(
b)) →
*4_0, rt ∈ Ω(n5174
0)
Induction Base:
add(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b))
Induction Step:
add(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, +(n5174_0, 1))), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(add(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5174_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(25) Complex Obligation (BEST)
(26) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n4118_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n41180)
add(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5174_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n51740)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
dbl, active, first, half, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
dbl < active
first < active
half < active
active < top
dbl < proper
first < proper
half < proper
proper < top
(27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
dbl(
gen_mark:0':nil:ok3_0(
+(
1,
n8052_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n8052
0)
Induction Base:
dbl(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
dbl(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, +(n8052_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(dbl(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n8052_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(28) Complex Obligation (BEST)
(29) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n4118_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n41180)
add(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5174_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n51740)
dbl(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n8052_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n80520)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
first, active, half, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
first < active
half < active
active < top
first < proper
half < proper
proper < top
(30) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
first(
gen_mark:0':nil:ok3_0(
+(
1,
n9359_0)),
gen_mark:0':nil:ok3_0(
b)) →
*4_0, rt ∈ Ω(n9359
0)
Induction Base:
first(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b))
Induction Step:
first(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, +(n9359_0, 1))), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(first(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n9359_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(31) Complex Obligation (BEST)
(32) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n4118_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n41180)
add(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5174_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n51740)
dbl(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n8052_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n80520)
first(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n9359_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n93590)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
half, active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
half < active
active < top
half < proper
proper < top
(33) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
half(
gen_mark:0':nil:ok3_0(
+(
1,
n12747_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n12747
0)
Induction Base:
half(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
half(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, +(n12747_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(half(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n12747_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(34) Complex Obligation (BEST)
(35) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n4118_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n41180)
add(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5174_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n51740)
dbl(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n8052_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n80520)
first(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n9359_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n93590)
half(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n12747_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n127470)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
proper < top
(36) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol active.
(37) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n4118_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n41180)
add(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5174_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n51740)
dbl(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n8052_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n80520)
first(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n9359_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n93590)
half(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n12747_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n127470)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
proper < top
(38) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol proper.
(39) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n4118_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n41180)
add(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5174_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n51740)
dbl(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n8052_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n80520)
first(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n9359_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n93590)
half(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n12747_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n127470)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
top
(40) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol top.
(41) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n4118_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n41180)
add(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5174_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n51740)
dbl(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n8052_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n80520)
first(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n9359_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n93590)
half(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n12747_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n127470)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(42) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(43) BOUNDS(n^1, INF)
(44) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n4118_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n41180)
add(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5174_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n51740)
dbl(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n8052_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n80520)
first(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n9359_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n93590)
half(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n12747_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n127470)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(45) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(46) BOUNDS(n^1, INF)
(47) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n4118_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n41180)
add(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5174_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n51740)
dbl(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n8052_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n80520)
first(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n9359_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n93590)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(48) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(49) BOUNDS(n^1, INF)
(50) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n4118_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n41180)
add(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5174_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n51740)
dbl(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n8052_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n80520)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(51) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(52) BOUNDS(n^1, INF)
(53) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n4118_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n41180)
add(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5174_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n51740)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(54) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(55) BOUNDS(n^1, INF)
(56) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
s(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n4118_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n41180)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(57) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(58) BOUNDS(n^1, INF)
(59) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
terms(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n3163_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n31630)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(60) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(61) BOUNDS(n^1, INF)
(62) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
sqr(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n2309_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n23090)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(63) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(64) BOUNDS(n^1, INF)
(65) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
recip(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n1556_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15560)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(66) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(67) BOUNDS(n^1, INF)
(68) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
terms(
N)) →
mark(
cons(
recip(
sqr(
N)),
terms(
s(
N))))
active(
sqr(
0')) →
mark(
0')
active(
sqr(
s(
X))) →
mark(
s(
add(
sqr(
X),
dbl(
X))))
active(
dbl(
0')) →
mark(
0')
active(
dbl(
s(
X))) →
mark(
s(
s(
dbl(
X))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
first(
0',
X)) →
mark(
nil)
active(
first(
s(
X),
cons(
Y,
Z))) →
mark(
cons(
Y,
first(
X,
Z)))
active(
half(
0')) →
mark(
0')
active(
half(
s(
0'))) →
mark(
0')
active(
half(
s(
s(
X)))) →
mark(
s(
half(
X)))
active(
half(
dbl(
X))) →
mark(
X)
active(
terms(
X)) →
terms(
active(
X))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
recip(
X)) →
recip(
active(
X))
active(
sqr(
X)) →
sqr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
active(
dbl(
X)) →
dbl(
active(
X))
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
active(
X1),
X2)
active(
first(
X1,
X2)) →
first(
X1,
active(
X2))
active(
half(
X)) →
half(
active(
X))
terms(
mark(
X)) →
mark(
terms(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
recip(
mark(
X)) →
mark(
recip(
X))
sqr(
mark(
X)) →
mark(
sqr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
dbl(
mark(
X)) →
mark(
dbl(
X))
first(
mark(
X1),
X2) →
mark(
first(
X1,
X2))
first(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
first(
X1,
X2))
half(
mark(
X)) →
mark(
half(
X))
proper(
terms(
X)) →
terms(
proper(
X))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
recip(
X)) →
recip(
proper(
X))
proper(
sqr(
X)) →
sqr(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
dbl(
X)) →
dbl(
proper(
X))
proper(
first(
X1,
X2)) →
first(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
nil) →
ok(
nil)
proper(
half(
X)) →
half(
proper(
X))
terms(
ok(
X)) →
ok(
terms(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
recip(
ok(
X)) →
ok(
recip(
X))
sqr(
ok(
X)) →
ok(
sqr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
dbl(
ok(
X)) →
ok(
dbl(
X))
first(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
first(
X1,
X2))
half(
ok(
X)) →
ok(
half(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
terms :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
mark :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
cons :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
recip :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
sqr :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
s :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
0' :: mark:0':nil:ok
add :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
dbl :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
first :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
nil :: mark:0':nil:ok
half :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
proper :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
ok :: mark:0':nil:ok → mark:0':nil:ok
top :: mark:0':nil:ok → top
hole_mark:0':nil:ok1_0 :: mark:0':nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_mark:0':nil:ok3_0 :: Nat → mark:0':nil:ok
Lemmas:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
Generator Equations:
gen_mark:0':nil:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_mark:0':nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_mark:0':nil:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(69) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_mark:0':nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:0':nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(70) BOUNDS(n^1, INF)