(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(filter(cons(X, Y), 0, M)) → mark(cons(0, filter(Y, M, M)))
active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) → mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
active(sieve(cons(0, Y))) → mark(cons(0, sieve(Y)))
active(sieve(cons(s(N), Y))) → mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
active(nats(N)) → mark(cons(N, nats(s(N))))
active(zprimes) → mark(sieve(nats(s(s(0)))))
active(filter(X1, X2, X3)) → filter(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2, X3)) → filter(X1, active(X2), X3)
active(filter(X1, X2, X3)) → filter(X1, X2, active(X3))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(sieve(X)) → sieve(active(X))
active(nats(X)) → nats(active(X))
filter(mark(X1), X2, X3) → mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, mark(X2), X3) → mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, X2, mark(X3)) → mark(filter(X1, X2, X3))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
sieve(mark(X)) → mark(sieve(X))
nats(mark(X)) → mark(nats(X))
proper(filter(X1, X2, X3)) → filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0) → ok(0)
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(sieve(X)) → sieve(proper(X))
proper(nats(X)) → nats(proper(X))
proper(zprimes) → ok(zprimes)
filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(filter(X1, X2, X3))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
sieve(ok(X)) → ok(sieve(X))
nats(ok(X)) → ok(nats(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Rewrite Strategy: INNERMOST
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
filter(mark(X1), X2, X3) →+ mark(filter(X1, X2, X3))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [X1 / mark(X1)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(filter(cons(X, Y), 0', M)) → mark(cons(0', filter(Y, M, M)))
active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) → mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
active(sieve(cons(0', Y))) → mark(cons(0', sieve(Y)))
active(sieve(cons(s(N), Y))) → mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
active(nats(N)) → mark(cons(N, nats(s(N))))
active(zprimes) → mark(sieve(nats(s(s(0')))))
active(filter(X1, X2, X3)) → filter(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2, X3)) → filter(X1, active(X2), X3)
active(filter(X1, X2, X3)) → filter(X1, X2, active(X3))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(sieve(X)) → sieve(active(X))
active(nats(X)) → nats(active(X))
filter(mark(X1), X2, X3) → mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, mark(X2), X3) → mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, X2, mark(X3)) → mark(filter(X1, X2, X3))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
sieve(mark(X)) → mark(sieve(X))
nats(mark(X)) → mark(nats(X))
proper(filter(X1, X2, X3)) → filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(sieve(X)) → sieve(proper(X))
proper(nats(X)) → nats(proper(X))
proper(zprimes) → ok(zprimes)
filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(filter(X1, X2, X3))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
sieve(ok(X)) → ok(sieve(X))
nats(ok(X)) → ok(nats(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(filter(cons(X, Y), 0', M)) → mark(cons(0', filter(Y, M, M)))
active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) → mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
active(sieve(cons(0', Y))) → mark(cons(0', sieve(Y)))
active(sieve(cons(s(N), Y))) → mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
active(nats(N)) → mark(cons(N, nats(s(N))))
active(zprimes) → mark(sieve(nats(s(s(0')))))
active(filter(X1, X2, X3)) → filter(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2, X3)) → filter(X1, active(X2), X3)
active(filter(X1, X2, X3)) → filter(X1, X2, active(X3))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(sieve(X)) → sieve(active(X))
active(nats(X)) → nats(active(X))
filter(mark(X1), X2, X3) → mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, mark(X2), X3) → mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, X2, mark(X3)) → mark(filter(X1, X2, X3))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
sieve(mark(X)) → mark(sieve(X))
nats(mark(X)) → mark(nats(X))
proper(filter(X1, X2, X3)) → filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(sieve(X)) → sieve(proper(X))
proper(nats(X)) → nats(proper(X))
proper(zprimes) → ok(zprimes)
filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(filter(X1, X2, X3))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
sieve(ok(X)) → ok(sieve(X))
nats(ok(X)) → ok(nats(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
filter :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
cons :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
0' :: 0':mark:zprimes:ok
mark :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
s :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
sieve :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
nats :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok
proper :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
ok :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
top :: 0':mark:zprimes:ok → top
hole_0':mark:zprimes:ok1_0 :: 0':mark:zprimes:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:zprimes:ok3_0 :: Nat → 0':mark:zprimes:ok
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active,
cons,
filter,
sieve,
s,
nats,
proper,
topThey will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
filter < active
sieve < active
s < active
nats < active
active < top
cons < proper
filter < proper
sieve < proper
s < proper
nats < proper
proper < top
(8) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
filter(
cons(
X,
Y),
0',
M)) →
mark(
cons(
0',
filter(
Y,
M,
M)))
active(
filter(
cons(
X,
Y),
s(
N),
M)) →
mark(
cons(
X,
filter(
Y,
N,
M)))
active(
sieve(
cons(
0',
Y))) →
mark(
cons(
0',
sieve(
Y)))
active(
sieve(
cons(
s(
N),
Y))) →
mark(
cons(
s(
N),
sieve(
filter(
Y,
N,
N))))
active(
nats(
N)) →
mark(
cons(
N,
nats(
s(
N))))
active(
zprimes) →
mark(
sieve(
nats(
s(
s(
0')))))
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
active(
X2),
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
X2,
active(
X3))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
sieve(
X)) →
sieve(
active(
X))
active(
nats(
X)) →
nats(
active(
X))
filter(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
mark(
X2),
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
X2,
mark(
X3)) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
sieve(
mark(
X)) →
mark(
sieve(
X))
nats(
mark(
X)) →
mark(
nats(
X))
proper(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
sieve(
X)) →
sieve(
proper(
X))
proper(
nats(
X)) →
nats(
proper(
X))
proper(
zprimes) →
ok(
zprimes)
filter(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
sieve(
ok(
X)) →
ok(
sieve(
X))
nats(
ok(
X)) →
ok(
nats(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
filter :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
cons :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
0' :: 0':mark:zprimes:ok
mark :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
s :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
sieve :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
nats :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok
proper :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
ok :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
top :: 0':mark:zprimes:ok → top
hole_0':mark:zprimes:ok1_0 :: 0':mark:zprimes:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:zprimes:ok3_0 :: Nat → 0':mark:zprimes:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:zprimes:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, filter, sieve, s, nats, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
filter < active
sieve < active
s < active
nats < active
active < top
cons < proper
filter < proper
sieve < proper
s < proper
nats < proper
proper < top
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol cons.
(10) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
filter(
cons(
X,
Y),
0',
M)) →
mark(
cons(
0',
filter(
Y,
M,
M)))
active(
filter(
cons(
X,
Y),
s(
N),
M)) →
mark(
cons(
X,
filter(
Y,
N,
M)))
active(
sieve(
cons(
0',
Y))) →
mark(
cons(
0',
sieve(
Y)))
active(
sieve(
cons(
s(
N),
Y))) →
mark(
cons(
s(
N),
sieve(
filter(
Y,
N,
N))))
active(
nats(
N)) →
mark(
cons(
N,
nats(
s(
N))))
active(
zprimes) →
mark(
sieve(
nats(
s(
s(
0')))))
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
active(
X2),
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
X2,
active(
X3))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
sieve(
X)) →
sieve(
active(
X))
active(
nats(
X)) →
nats(
active(
X))
filter(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
mark(
X2),
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
X2,
mark(
X3)) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
sieve(
mark(
X)) →
mark(
sieve(
X))
nats(
mark(
X)) →
mark(
nats(
X))
proper(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
sieve(
X)) →
sieve(
proper(
X))
proper(
nats(
X)) →
nats(
proper(
X))
proper(
zprimes) →
ok(
zprimes)
filter(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
sieve(
ok(
X)) →
ok(
sieve(
X))
nats(
ok(
X)) →
ok(
nats(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
filter :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
cons :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
0' :: 0':mark:zprimes:ok
mark :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
s :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
sieve :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
nats :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok
proper :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
ok :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
top :: 0':mark:zprimes:ok → top
hole_0':mark:zprimes:ok1_0 :: 0':mark:zprimes:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:zprimes:ok3_0 :: Nat → 0':mark:zprimes:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:zprimes:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
filter, active, sieve, s, nats, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
filter < active
sieve < active
s < active
nats < active
active < top
filter < proper
sieve < proper
s < proper
nats < proper
proper < top
(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol filter.
(12) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
filter(
cons(
X,
Y),
0',
M)) →
mark(
cons(
0',
filter(
Y,
M,
M)))
active(
filter(
cons(
X,
Y),
s(
N),
M)) →
mark(
cons(
X,
filter(
Y,
N,
M)))
active(
sieve(
cons(
0',
Y))) →
mark(
cons(
0',
sieve(
Y)))
active(
sieve(
cons(
s(
N),
Y))) →
mark(
cons(
s(
N),
sieve(
filter(
Y,
N,
N))))
active(
nats(
N)) →
mark(
cons(
N,
nats(
s(
N))))
active(
zprimes) →
mark(
sieve(
nats(
s(
s(
0')))))
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
active(
X2),
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
X2,
active(
X3))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
sieve(
X)) →
sieve(
active(
X))
active(
nats(
X)) →
nats(
active(
X))
filter(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
mark(
X2),
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
X2,
mark(
X3)) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
sieve(
mark(
X)) →
mark(
sieve(
X))
nats(
mark(
X)) →
mark(
nats(
X))
proper(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
sieve(
X)) →
sieve(
proper(
X))
proper(
nats(
X)) →
nats(
proper(
X))
proper(
zprimes) →
ok(
zprimes)
filter(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
sieve(
ok(
X)) →
ok(
sieve(
X))
nats(
ok(
X)) →
ok(
nats(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
filter :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
cons :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
0' :: 0':mark:zprimes:ok
mark :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
s :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
sieve :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
nats :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok
proper :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
ok :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
top :: 0':mark:zprimes:ok → top
hole_0':mark:zprimes:ok1_0 :: 0':mark:zprimes:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:zprimes:ok3_0 :: Nat → 0':mark:zprimes:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:zprimes:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
sieve, active, s, nats, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
sieve < active
s < active
nats < active
active < top
sieve < proper
s < proper
nats < proper
proper < top
(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol sieve.
(14) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
filter(
cons(
X,
Y),
0',
M)) →
mark(
cons(
0',
filter(
Y,
M,
M)))
active(
filter(
cons(
X,
Y),
s(
N),
M)) →
mark(
cons(
X,
filter(
Y,
N,
M)))
active(
sieve(
cons(
0',
Y))) →
mark(
cons(
0',
sieve(
Y)))
active(
sieve(
cons(
s(
N),
Y))) →
mark(
cons(
s(
N),
sieve(
filter(
Y,
N,
N))))
active(
nats(
N)) →
mark(
cons(
N,
nats(
s(
N))))
active(
zprimes) →
mark(
sieve(
nats(
s(
s(
0')))))
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
active(
X2),
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
X2,
active(
X3))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
sieve(
X)) →
sieve(
active(
X))
active(
nats(
X)) →
nats(
active(
X))
filter(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
mark(
X2),
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
X2,
mark(
X3)) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
sieve(
mark(
X)) →
mark(
sieve(
X))
nats(
mark(
X)) →
mark(
nats(
X))
proper(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
sieve(
X)) →
sieve(
proper(
X))
proper(
nats(
X)) →
nats(
proper(
X))
proper(
zprimes) →
ok(
zprimes)
filter(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
sieve(
ok(
X)) →
ok(
sieve(
X))
nats(
ok(
X)) →
ok(
nats(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
filter :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
cons :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
0' :: 0':mark:zprimes:ok
mark :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
s :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
sieve :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
nats :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok
proper :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
ok :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
top :: 0':mark:zprimes:ok → top
hole_0':mark:zprimes:ok1_0 :: 0':mark:zprimes:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:zprimes:ok3_0 :: Nat → 0':mark:zprimes:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:zprimes:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, nats, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
nats < active
active < top
s < proper
nats < proper
proper < top
(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol s.
(16) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
filter(
cons(
X,
Y),
0',
M)) →
mark(
cons(
0',
filter(
Y,
M,
M)))
active(
filter(
cons(
X,
Y),
s(
N),
M)) →
mark(
cons(
X,
filter(
Y,
N,
M)))
active(
sieve(
cons(
0',
Y))) →
mark(
cons(
0',
sieve(
Y)))
active(
sieve(
cons(
s(
N),
Y))) →
mark(
cons(
s(
N),
sieve(
filter(
Y,
N,
N))))
active(
nats(
N)) →
mark(
cons(
N,
nats(
s(
N))))
active(
zprimes) →
mark(
sieve(
nats(
s(
s(
0')))))
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
active(
X2),
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
X2,
active(
X3))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
sieve(
X)) →
sieve(
active(
X))
active(
nats(
X)) →
nats(
active(
X))
filter(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
mark(
X2),
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
X2,
mark(
X3)) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
sieve(
mark(
X)) →
mark(
sieve(
X))
nats(
mark(
X)) →
mark(
nats(
X))
proper(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
sieve(
X)) →
sieve(
proper(
X))
proper(
nats(
X)) →
nats(
proper(
X))
proper(
zprimes) →
ok(
zprimes)
filter(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
sieve(
ok(
X)) →
ok(
sieve(
X))
nats(
ok(
X)) →
ok(
nats(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
filter :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
cons :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
0' :: 0':mark:zprimes:ok
mark :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
s :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
sieve :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
nats :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok
proper :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
ok :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
top :: 0':mark:zprimes:ok → top
hole_0':mark:zprimes:ok1_0 :: 0':mark:zprimes:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:zprimes:ok3_0 :: Nat → 0':mark:zprimes:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:zprimes:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
nats, active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
nats < active
active < top
nats < proper
proper < top
(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol nats.
(18) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
filter(
cons(
X,
Y),
0',
M)) →
mark(
cons(
0',
filter(
Y,
M,
M)))
active(
filter(
cons(
X,
Y),
s(
N),
M)) →
mark(
cons(
X,
filter(
Y,
N,
M)))
active(
sieve(
cons(
0',
Y))) →
mark(
cons(
0',
sieve(
Y)))
active(
sieve(
cons(
s(
N),
Y))) →
mark(
cons(
s(
N),
sieve(
filter(
Y,
N,
N))))
active(
nats(
N)) →
mark(
cons(
N,
nats(
s(
N))))
active(
zprimes) →
mark(
sieve(
nats(
s(
s(
0')))))
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
active(
X2),
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
X2,
active(
X3))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
sieve(
X)) →
sieve(
active(
X))
active(
nats(
X)) →
nats(
active(
X))
filter(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
mark(
X2),
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
X2,
mark(
X3)) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
sieve(
mark(
X)) →
mark(
sieve(
X))
nats(
mark(
X)) →
mark(
nats(
X))
proper(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
sieve(
X)) →
sieve(
proper(
X))
proper(
nats(
X)) →
nats(
proper(
X))
proper(
zprimes) →
ok(
zprimes)
filter(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
sieve(
ok(
X)) →
ok(
sieve(
X))
nats(
ok(
X)) →
ok(
nats(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
filter :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
cons :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
0' :: 0':mark:zprimes:ok
mark :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
s :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
sieve :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
nats :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok
proper :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
ok :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
top :: 0':mark:zprimes:ok → top
hole_0':mark:zprimes:ok1_0 :: 0':mark:zprimes:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:zprimes:ok3_0 :: Nat → 0':mark:zprimes:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:zprimes:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
proper < top
(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol active.
(20) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
filter(
cons(
X,
Y),
0',
M)) →
mark(
cons(
0',
filter(
Y,
M,
M)))
active(
filter(
cons(
X,
Y),
s(
N),
M)) →
mark(
cons(
X,
filter(
Y,
N,
M)))
active(
sieve(
cons(
0',
Y))) →
mark(
cons(
0',
sieve(
Y)))
active(
sieve(
cons(
s(
N),
Y))) →
mark(
cons(
s(
N),
sieve(
filter(
Y,
N,
N))))
active(
nats(
N)) →
mark(
cons(
N,
nats(
s(
N))))
active(
zprimes) →
mark(
sieve(
nats(
s(
s(
0')))))
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
active(
X2),
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
X2,
active(
X3))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
sieve(
X)) →
sieve(
active(
X))
active(
nats(
X)) →
nats(
active(
X))
filter(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
mark(
X2),
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
X2,
mark(
X3)) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
sieve(
mark(
X)) →
mark(
sieve(
X))
nats(
mark(
X)) →
mark(
nats(
X))
proper(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
sieve(
X)) →
sieve(
proper(
X))
proper(
nats(
X)) →
nats(
proper(
X))
proper(
zprimes) →
ok(
zprimes)
filter(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
sieve(
ok(
X)) →
ok(
sieve(
X))
nats(
ok(
X)) →
ok(
nats(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
filter :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
cons :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
0' :: 0':mark:zprimes:ok
mark :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
s :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
sieve :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
nats :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok
proper :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
ok :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
top :: 0':mark:zprimes:ok → top
hole_0':mark:zprimes:ok1_0 :: 0':mark:zprimes:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:zprimes:ok3_0 :: Nat → 0':mark:zprimes:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:zprimes:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
proper < top
(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol proper.
(22) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
filter(
cons(
X,
Y),
0',
M)) →
mark(
cons(
0',
filter(
Y,
M,
M)))
active(
filter(
cons(
X,
Y),
s(
N),
M)) →
mark(
cons(
X,
filter(
Y,
N,
M)))
active(
sieve(
cons(
0',
Y))) →
mark(
cons(
0',
sieve(
Y)))
active(
sieve(
cons(
s(
N),
Y))) →
mark(
cons(
s(
N),
sieve(
filter(
Y,
N,
N))))
active(
nats(
N)) →
mark(
cons(
N,
nats(
s(
N))))
active(
zprimes) →
mark(
sieve(
nats(
s(
s(
0')))))
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
active(
X2),
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
X2,
active(
X3))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
sieve(
X)) →
sieve(
active(
X))
active(
nats(
X)) →
nats(
active(
X))
filter(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
mark(
X2),
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
X2,
mark(
X3)) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
sieve(
mark(
X)) →
mark(
sieve(
X))
nats(
mark(
X)) →
mark(
nats(
X))
proper(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
sieve(
X)) →
sieve(
proper(
X))
proper(
nats(
X)) →
nats(
proper(
X))
proper(
zprimes) →
ok(
zprimes)
filter(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
sieve(
ok(
X)) →
ok(
sieve(
X))
nats(
ok(
X)) →
ok(
nats(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
filter :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
cons :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
0' :: 0':mark:zprimes:ok
mark :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
s :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
sieve :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
nats :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok
proper :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
ok :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
top :: 0':mark:zprimes:ok → top
hole_0':mark:zprimes:ok1_0 :: 0':mark:zprimes:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:zprimes:ok3_0 :: Nat → 0':mark:zprimes:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:zprimes:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
top
(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol top.
(24) Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(
filter(
cons(
X,
Y),
0',
M)) →
mark(
cons(
0',
filter(
Y,
M,
M)))
active(
filter(
cons(
X,
Y),
s(
N),
M)) →
mark(
cons(
X,
filter(
Y,
N,
M)))
active(
sieve(
cons(
0',
Y))) →
mark(
cons(
0',
sieve(
Y)))
active(
sieve(
cons(
s(
N),
Y))) →
mark(
cons(
s(
N),
sieve(
filter(
Y,
N,
N))))
active(
nats(
N)) →
mark(
cons(
N,
nats(
s(
N))))
active(
zprimes) →
mark(
sieve(
nats(
s(
s(
0')))))
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
active(
X2),
X3)
active(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
X1,
X2,
active(
X3))
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
sieve(
X)) →
sieve(
active(
X))
active(
nats(
X)) →
nats(
active(
X))
filter(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
mark(
X2),
X3) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
filter(
X1,
X2,
mark(
X3)) →
mark(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
sieve(
mark(
X)) →
mark(
sieve(
X))
nats(
mark(
X)) →
mark(
nats(
X))
proper(
filter(
X1,
X2,
X3)) →
filter(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
sieve(
X)) →
sieve(
proper(
X))
proper(
nats(
X)) →
nats(
proper(
X))
proper(
zprimes) →
ok(
zprimes)
filter(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
filter(
X1,
X2,
X3))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
sieve(
ok(
X)) →
ok(
sieve(
X))
nats(
ok(
X)) →
ok(
nats(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
filter :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
cons :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
0' :: 0':mark:zprimes:ok
mark :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
s :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
sieve :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
nats :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok
proper :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
ok :: 0':mark:zprimes:ok → 0':mark:zprimes:ok
top :: 0':mark:zprimes:ok → top
hole_0':mark:zprimes:ok1_0 :: 0':mark:zprimes:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:zprimes:ok3_0 :: Nat → 0':mark:zprimes:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:zprimes:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:zprimes:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.