The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

rev(nil) → nil
rev(.(x, y)) → ++(rev(y), .(x, nil))
car(.(x, y)) → x
cdr(.(x, y)) → y
null(nil) → true
null(.(x, y)) → false
++(nil, y) → y
++(.(x, y), z) → .(x, ++(y, z))

Rewrite Strategy: INNERMOST

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

rev(nil) → nil
rev(.(x, y)) → ++(rev(y), .(x, nil))
car(.(x, y)) → x
cdr(.(x, y)) → y
null(nil) → true
null(.(x, y)) → false
++(nil, y) → y
++(.(x, y), z) → .(x, ++(y, z))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(4) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
rev(nil) → nil
rev(.(x, y)) → ++(rev(y), .(x, nil))
car(.(x, y)) → x
cdr(.(x, y)) → y
null(nil) → true
null(.(x, y)) → false
++(nil, y) → y
++(.(x, y), z) → .(x, ++(y, z))

Types:
rev :: nil:. → nil:.
nil :: nil:.
. :: car → nil:. → nil:.
++ :: nil:. → nil:. → nil:.
car :: nil:. → car
cdr :: nil:. → nil:.
null :: nil:. → true:false
true :: true:false
false :: true:false
hole_nil:.1_0 :: nil:.
hole_car2_0 :: car
hole_true:false3_0 :: true:false
gen_nil:.4_0 :: Nat → nil:.

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
rev, ++

They will be analysed ascendingly in the following order:
++ < rev

(6) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
rev(nil) → nil
rev(.(x, y)) → ++(rev(y), .(x, nil))
car(.(x, y)) → x
cdr(.(x, y)) → y
null(nil) → true
null(.(x, y)) → false
++(nil, y) → y
++(.(x, y), z) → .(x, ++(y, z))

Types:
rev :: nil:. → nil:.
nil :: nil:.
. :: car → nil:. → nil:.
++ :: nil:. → nil:. → nil:.
car :: nil:. → car
cdr :: nil:. → nil:.
null :: nil:. → true:false
true :: true:false
false :: true:false
hole_nil:.1_0 :: nil:.
hole_car2_0 :: car
hole_true:false3_0 :: true:false
gen_nil:.4_0 :: Nat → nil:.

Generator Equations:
gen_nil:.4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:.4_0(+(x, 1)) ⇔ .(hole_car2_0, gen_nil:.4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
++, rev

They will be analysed ascendingly in the following order:
++ < rev

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
++(gen_nil:.4_0(n6_0), gen_nil:.4_0(b)) → gen_nil:.4_0(+(n6_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

Induction Base:
++(gen_nil:.4_0(0), gen_nil:.4_0(b)) →_R^Ω(1)
gen_nil:.4_0(b)

Induction Step:
++(gen_nil:.4_0(+(n6_0, 1)), gen_nil:.4_0(b)) →_R^Ω(1)
.(hole_car2_0, ++(gen_nil:.4_0(n6_0), gen_nil:.4_0(b))) →_IH
.(hole_car2_0, gen_nil:.4_0(+(b, c7_0)))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(8) Complex Obligation (BEST)

(9) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
rev(nil) → nil
rev(.(x, y)) → ++(rev(y), .(x, nil))
car(.(x, y)) → x
cdr(.(x, y)) → y
null(nil) → true
null(.(x, y)) → false
++(nil, y) → y
++(.(x, y), z) → .(x, ++(y, z))

Types:
rev :: nil:. → nil:.
nil :: nil:.
. :: car → nil:. → nil:.
++ :: nil:. → nil:. → nil:.
car :: nil:. → car
cdr :: nil:. → nil:.
null :: nil:. → true:false
true :: true:false
false :: true:false
hole_nil:.1_0 :: nil:.
hole_car2_0 :: car
hole_true:false3_0 :: true:false
gen_nil:.4_0 :: Nat → nil:.

Lemmas:
++(gen_nil:.4_0(n6_0), gen_nil:.4_0(b)) → gen_nil:.4_0(+(n6_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

Generator Equations:
gen_nil:.4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:.4_0(+(x, 1)) ⇔ .(hole_car2_0, gen_nil:.4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
rev

(10) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
rev(gen_nil:.4_0(n545_0)) → gen_nil:.4_0(n545_0), rt ∈ Ω(1 + n545₀ + n545₀²)

Induction Base:
rev(gen_nil:.4_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
rev(gen_nil:.4_0(+(n545_0, 1))) →_R^Ω(1)
++(rev(gen_nil:.4_0(n545_0)), .(hole_car2_0, nil)) →_IH
++(gen_nil:.4_0(c546_0), .(hole_car2_0, nil)) →_L^{Ω(1 + n545₀)}
gen_nil:.4_0(+(n545_0, +(0, 1)))

We have rt ∈ Ω(n²) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n²).

(11) Complex Obligation (BEST)

(12) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
rev(nil) → nil
rev(.(x, y)) → ++(rev(y), .(x, nil))
car(.(x, y)) → x
cdr(.(x, y)) → y
null(nil) → true
null(.(x, y)) → false
++(nil, y) → y
++(.(x, y), z) → .(x, ++(y, z))

Types:
rev :: nil:. → nil:.
nil :: nil:.
. :: car → nil:. → nil:.
++ :: nil:. → nil:. → nil:.
car :: nil:. → car
cdr :: nil:. → nil:.
null :: nil:. → true:false
true :: true:false
false :: true:false
hole_nil:.1_0 :: nil:.
hole_car2_0 :: car
hole_true:false3_0 :: true:false
gen_nil:.4_0 :: Nat → nil:.

Lemmas:
++(gen_nil:.4_0(n6_0), gen_nil:.4_0(b)) → gen_nil:.4_0(+(n6_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n6₀)
rev(gen_nil:.4_0(n545_0)) → gen_nil:.4_0(n545_0), rt ∈ Ω(1 + n545₀ + n545₀²)

Generator Equations:
gen_nil:.4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:.4_0(+(x, 1)) ⇔ .(hole_car2_0, gen_nil:.4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(13) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
rev(gen_nil:.4_0(n545_0)) → gen_nil:.4_0(n545_0), rt ∈ Ω(1 + n545₀ + n545₀²)

(14) BOUNDS(n^2, INF)

(15) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
rev(nil) → nil
rev(.(x, y)) → ++(rev(y), .(x, nil))
car(.(x, y)) → x
cdr(.(x, y)) → y
null(nil) → true
null(.(x, y)) → false
++(nil, y) → y
++(.(x, y), z) → .(x, ++(y, z))

Types:
rev :: nil:. → nil:.
nil :: nil:.
. :: car → nil:. → nil:.
++ :: nil:. → nil:. → nil:.
car :: nil:. → car
cdr :: nil:. → nil:.
null :: nil:. → true:false
true :: true:false
false :: true:false
hole_nil:.1_0 :: nil:.
hole_car2_0 :: car
hole_true:false3_0 :: true:false
gen_nil:.4_0 :: Nat → nil:.

Lemmas:
++(gen_nil:.4_0(n6_0), gen_nil:.4_0(b)) → gen_nil:.4_0(+(n6_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n6₀)
rev(gen_nil:.4_0(n545_0)) → gen_nil:.4_0(n545_0), rt ∈ Ω(1 + n545₀ + n545₀²)

Generator Equations:
gen_nil:.4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:.4_0(+(x, 1)) ⇔ .(hole_car2_0, gen_nil:.4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(16) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
rev(gen_nil:.4_0(n545_0)) → gen_nil:.4_0(n545_0), rt ∈ Ω(1 + n545₀ + n545₀²)

(17) BOUNDS(n^2, INF)

(18) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
rev(nil) → nil
rev(.(x, y)) → ++(rev(y), .(x, nil))
car(.(x, y)) → x
cdr(.(x, y)) → y
null(nil) → true
null(.(x, y)) → false
++(nil, y) → y
++(.(x, y), z) → .(x, ++(y, z))

Types:
rev :: nil:. → nil:.
nil :: nil:.
. :: car → nil:. → nil:.
++ :: nil:. → nil:. → nil:.
car :: nil:. → car
cdr :: nil:. → nil:.
null :: nil:. → true:false
true :: true:false
false :: true:false
hole_nil:.1_0 :: nil:.
hole_car2_0 :: car
hole_true:false3_0 :: true:false
gen_nil:.4_0 :: Nat → nil:.

Lemmas:
++(gen_nil:.4_0(n6_0), gen_nil:.4_0(b)) → gen_nil:.4_0(+(n6_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

Generator Equations:
gen_nil:.4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:.4_0(+(x, 1)) ⇔ .(hole_car2_0, gen_nil:.4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(19) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
++(gen_nil:.4_0(n6_0), gen_nil:.4_0(b)) → gen_nil:.4_0(+(n6_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

(20) BOUNDS(n^1, INF)