The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

le(0, y) → true
le(s(x), 0) → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
low(n, nil) → nil
low(n, add(m, x)) → if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) → add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) → low(n, x)
high(n, nil) → nil
high(n, add(m, x)) → if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) → high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) → add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) → n
tail(add(n, x)) → x
isempty(nil) → true
isempty(add(n, x)) → false
quicksort(x) → if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) → nil
if_qs(false, x, n, y) → app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Rewrite Strategy: INNERMOST

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
low(n, nil) → nil
low(n, add(m, x)) → if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) → add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) → low(n, x)
high(n, nil) → nil
high(n, add(m, x)) → if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) → high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) → add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) → n
tail(add(n, x)) → x
isempty(nil) → true
isempty(add(n, x)) → false
quicksort(x) → if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) → nil
if_qs(false, x, n, y) → app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(4) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
low(n, nil) → nil
low(n, add(m, x)) → if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) → add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) → low(n, x)
high(n, nil) → nil
high(n, add(m, x)) → if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) → high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) → add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) → n
tail(add(n, x)) → x
isempty(nil) → true
isempty(add(n, x)) → false
quicksort(x) → if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) → nil
if_qs(false, x, n, y) → app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s → nil:add → nil:add
low :: 0':s → nil:add → nil:add
if_low :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
high :: 0':s → nil:add → nil:add
if_high :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
head :: nil:add → 0':s
tail :: nil:add → nil:add
isempty :: nil:add → true:false
quicksort :: nil:add → nil:add
if_qs :: true:false → nil:add → 0':s → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat → nil:add

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
le, app, low, high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < low
le < high
app < quicksort
low < quicksort
high < quicksort

(6) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
low(n, nil) → nil
low(n, add(m, x)) → if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) → add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) → low(n, x)
high(n, nil) → nil
high(n, add(m, x)) → if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) → high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) → add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) → n
tail(add(n, x)) → x
isempty(nil) → true
isempty(add(n, x)) → false
quicksort(x) → if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) → nil
if_qs(false, x, n, y) → app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s → nil:add → nil:add
low :: 0':s → nil:add → nil:add
if_low :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
high :: 0':s → nil:add → nil:add
if_high :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
head :: nil:add → 0':s
tail :: nil:add → nil:add
isempty :: nil:add → true:false
quicksort :: nil:add → nil:add
if_qs :: true:false → nil:add → 0':s → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat → nil:add

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) ⇔ add(0', gen_nil:add5_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
le, app, low, high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < low
le < high
app < quicksort
low < quicksort
high < quicksort

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)

Induction Base:
le(gen_0':s4_0(0), gen_0':s4_0(0)) →_R^Ω(1)
true

Induction Step:
le(gen_0':s4_0(+(n7_0, 1)), gen_0':s4_0(+(n7_0, 1))) →_R^Ω(1)
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) →_IH
true

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(8) Complex Obligation (BEST)

(9) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
low(n, nil) → nil
low(n, add(m, x)) → if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) → add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) → low(n, x)
high(n, nil) → nil
high(n, add(m, x)) → if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) → high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) → add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) → n
tail(add(n, x)) → x
isempty(nil) → true
isempty(add(n, x)) → false
quicksort(x) → if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) → nil
if_qs(false, x, n, y) → app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s → nil:add → nil:add
low :: 0':s → nil:add → nil:add
if_low :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
high :: 0':s → nil:add → nil:add
if_high :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
head :: nil:add → 0':s
tail :: nil:add → nil:add
isempty :: nil:add → true:false
quicksort :: nil:add → nil:add
if_qs :: true:false → nil:add → 0':s → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) ⇔ add(0', gen_nil:add5_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
app, low, high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < quicksort
low < quicksort
high < quicksort

(10) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
app(gen_nil:add5_0(n348_0), gen_nil:add5_0(b)) → gen_nil:add5_0(+(n348_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n348₀)

Induction Base:
app(gen_nil:add5_0(0), gen_nil:add5_0(b)) →_R^Ω(1)
gen_nil:add5_0(b)

Induction Step:
app(gen_nil:add5_0(+(n348_0, 1)), gen_nil:add5_0(b)) →_R^Ω(1)
add(0', app(gen_nil:add5_0(n348_0), gen_nil:add5_0(b))) →_IH
add(0', gen_nil:add5_0(+(b, c349_0)))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(11) Complex Obligation (BEST)

(12) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
low(n, nil) → nil
low(n, add(m, x)) → if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) → add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) → low(n, x)
high(n, nil) → nil
high(n, add(m, x)) → if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) → high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) → add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) → n
tail(add(n, x)) → x
isempty(nil) → true
isempty(add(n, x)) → false
quicksort(x) → if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) → nil
if_qs(false, x, n, y) → app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s → nil:add → nil:add
low :: 0':s → nil:add → nil:add
if_low :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
high :: 0':s → nil:add → nil:add
if_high :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
head :: nil:add → 0':s
tail :: nil:add → nil:add
isempty :: nil:add → true:false
quicksort :: nil:add → nil:add
if_qs :: true:false → nil:add → 0':s → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)
app(gen_nil:add5_0(n348_0), gen_nil:add5_0(b)) → gen_nil:add5_0(+(n348_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n348₀)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) ⇔ add(0', gen_nil:add5_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
low, high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
low < quicksort
high < quicksort

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1413_0)) → gen_nil:add5_0(n1413_0), rt ∈ Ω(1 + n1413₀)

Induction Base:
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(+(n1413_0, 1))) →_R^Ω(1)
if_low(le(0', gen_0':s4_0(0)), gen_0':s4_0(0), add(0', gen_nil:add5_0(n1413_0))) →_L^Ω(1)
if_low(true, gen_0':s4_0(0), add(0', gen_nil:add5_0(n1413_0))) →_R^Ω(1)
add(0', low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1413_0))) →_IH
add(0', gen_nil:add5_0(c1414_0))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(14) Complex Obligation (BEST)

(15) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
low(n, nil) → nil
low(n, add(m, x)) → if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) → add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) → low(n, x)
high(n, nil) → nil
high(n, add(m, x)) → if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) → high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) → add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) → n
tail(add(n, x)) → x
isempty(nil) → true
isempty(add(n, x)) → false
quicksort(x) → if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) → nil
if_qs(false, x, n, y) → app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s → nil:add → nil:add
low :: 0':s → nil:add → nil:add
if_low :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
high :: 0':s → nil:add → nil:add
if_high :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
head :: nil:add → 0':s
tail :: nil:add → nil:add
isempty :: nil:add → true:false
quicksort :: nil:add → nil:add
if_qs :: true:false → nil:add → 0':s → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)
app(gen_nil:add5_0(n348_0), gen_nil:add5_0(b)) → gen_nil:add5_0(+(n348_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n348₀)
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1413_0)) → gen_nil:add5_0(n1413_0), rt ∈ Ω(1 + n1413₀)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) ⇔ add(0', gen_nil:add5_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
high < quicksort

(16) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
high(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n2141_0)) → gen_nil:add5_0(0), rt ∈ Ω(1 + n2141₀)

Induction Base:
high(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
high(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(+(n2141_0, 1))) →_R^Ω(1)
if_high(le(0', gen_0':s4_0(0)), gen_0':s4_0(0), add(0', gen_nil:add5_0(n2141_0))) →_L^Ω(1)
if_high(true, gen_0':s4_0(0), add(0', gen_nil:add5_0(n2141_0))) →_R^Ω(1)
high(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n2141_0)) →_IH
gen_nil:add5_0(0)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(17) Complex Obligation (BEST)

(18) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
low(n, nil) → nil
low(n, add(m, x)) → if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) → add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) → low(n, x)
high(n, nil) → nil
high(n, add(m, x)) → if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) → high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) → add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) → n
tail(add(n, x)) → x
isempty(nil) → true
isempty(add(n, x)) → false
quicksort(x) → if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) → nil
if_qs(false, x, n, y) → app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s → nil:add → nil:add
low :: 0':s → nil:add → nil:add
if_low :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
high :: 0':s → nil:add → nil:add
if_high :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
head :: nil:add → 0':s
tail :: nil:add → nil:add
isempty :: nil:add → true:false
quicksort :: nil:add → nil:add
if_qs :: true:false → nil:add → 0':s → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)
app(gen_nil:add5_0(n348_0), gen_nil:add5_0(b)) → gen_nil:add5_0(+(n348_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n348₀)
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1413_0)) → gen_nil:add5_0(n1413_0), rt ∈ Ω(1 + n1413₀)
high(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n2141_0)) → gen_nil:add5_0(0), rt ∈ Ω(1 + n2141₀)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) ⇔ add(0', gen_nil:add5_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
quicksort

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
quicksort(gen_nil:add5_0(n2865_0)) → gen_nil:add5_0(n2865_0), rt ∈ Ω(1 + n2865₀ + n2865₀²)

Induction Base:
quicksort(gen_nil:add5_0(0)) →_R^Ω(1)
if_qs(isempty(gen_nil:add5_0(0)), low(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0))), head(gen_nil:add5_0(0)), high(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0)))) →_R^Ω(1)
if_qs(true, low(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0))), head(gen_nil:add5_0(0)), high(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0)))) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
quicksort(gen_nil:add5_0(+(n2865_0, 1))) →_R^Ω(1)
if_qs(isempty(gen_nil:add5_0(+(n2865_0, 1))), low(head(gen_nil:add5_0(+(n2865_0, 1))), tail(gen_nil:add5_0(+(n2865_0, 1)))), head(gen_nil:add5_0(+(n2865_0, 1))), high(head(gen_nil:add5_0(+(n2865_0, 1))), tail(gen_nil:add5_0(+(n2865_0, 1))))) →_R^Ω(1)
if_qs(false, low(head(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))), tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0)))), head(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))), high(head(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))), tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))))) →_R^Ω(1)
if_qs(false, low(0', tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0)))), head(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))), high(head(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))), tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))))) →_R^Ω(1)
if_qs(false, low(0', gen_nil:add5_0(n2865_0)), head(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))), high(head(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))), tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))))) →_L^{Ω(1 + n2865₀)}
if_qs(false, gen_nil:add5_0(n2865_0), head(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))), high(head(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))), tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))))) →_R^Ω(1)
if_qs(false, gen_nil:add5_0(n2865_0), 0', high(head(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))), tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))))) →_R^Ω(1)
if_qs(false, gen_nil:add5_0(n2865_0), 0', high(0', tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2865_0))))) →_R^Ω(1)
if_qs(false, gen_nil:add5_0(n2865_0), 0', high(0', gen_nil:add5_0(n2865_0))) →_L^{Ω(1 + n2865₀)}
if_qs(false, gen_nil:add5_0(n2865_0), 0', gen_nil:add5_0(0)) →_R^Ω(1)
app(quicksort(gen_nil:add5_0(n2865_0)), add(0', quicksort(gen_nil:add5_0(0)))) →_IH
app(gen_nil:add5_0(c2866_0), add(0', quicksort(gen_nil:add5_0(0)))) →_R^Ω(1)
app(gen_nil:add5_0(n2865_0), add(0', if_qs(isempty(gen_nil:add5_0(0)), low(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0))), head(gen_nil:add5_0(0)), high(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0)))))) →_R^Ω(1)
app(gen_nil:add5_0(n2865_0), add(0', if_qs(true, low(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0))), head(gen_nil:add5_0(0)), high(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0)))))) →_R^Ω(1)
app(gen_nil:add5_0(n2865_0), add(0', nil)) →_L^{Ω(1 + n2865₀)}
gen_nil:add5_0(+(n2865_0, +(0, 1)))

We have rt ∈ Ω(n²) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n²).

(20) Complex Obligation (BEST)

(21) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
low(n, nil) → nil
low(n, add(m, x)) → if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) → add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) → low(n, x)
high(n, nil) → nil
high(n, add(m, x)) → if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) → high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) → add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) → n
tail(add(n, x)) → x
isempty(nil) → true
isempty(add(n, x)) → false
quicksort(x) → if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) → nil
if_qs(false, x, n, y) → app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s → nil:add → nil:add
low :: 0':s → nil:add → nil:add
if_low :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
high :: 0':s → nil:add → nil:add
if_high :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
head :: nil:add → 0':s
tail :: nil:add → nil:add
isempty :: nil:add → true:false
quicksort :: nil:add → nil:add
if_qs :: true:false → nil:add → 0':s → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)
app(gen_nil:add5_0(n348_0), gen_nil:add5_0(b)) → gen_nil:add5_0(+(n348_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n348₀)
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1413_0)) → gen_nil:add5_0(n1413_0), rt ∈ Ω(1 + n1413₀)
high(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n2141_0)) → gen_nil:add5_0(0), rt ∈ Ω(1 + n2141₀)
quicksort(gen_nil:add5_0(n2865_0)) → gen_nil:add5_0(n2865_0), rt ∈ Ω(1 + n2865₀ + n2865₀²)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) ⇔ add(0', gen_nil:add5_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(22) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
quicksort(gen_nil:add5_0(n2865_0)) → gen_nil:add5_0(n2865_0), rt ∈ Ω(1 + n2865₀ + n2865₀²)

(23) BOUNDS(n^2, INF)

(24) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
low(n, nil) → nil
low(n, add(m, x)) → if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) → add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) → low(n, x)
high(n, nil) → nil
high(n, add(m, x)) → if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) → high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) → add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) → n
tail(add(n, x)) → x
isempty(nil) → true
isempty(add(n, x)) → false
quicksort(x) → if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) → nil
if_qs(false, x, n, y) → app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s → nil:add → nil:add
low :: 0':s → nil:add → nil:add
if_low :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
high :: 0':s → nil:add → nil:add
if_high :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
head :: nil:add → 0':s
tail :: nil:add → nil:add
isempty :: nil:add → true:false
quicksort :: nil:add → nil:add
if_qs :: true:false → nil:add → 0':s → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)
app(gen_nil:add5_0(n348_0), gen_nil:add5_0(b)) → gen_nil:add5_0(+(n348_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n348₀)
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1413_0)) → gen_nil:add5_0(n1413_0), rt ∈ Ω(1 + n1413₀)
high(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n2141_0)) → gen_nil:add5_0(0), rt ∈ Ω(1 + n2141₀)
quicksort(gen_nil:add5_0(n2865_0)) → gen_nil:add5_0(n2865_0), rt ∈ Ω(1 + n2865₀ + n2865₀²)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) ⇔ add(0', gen_nil:add5_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(25) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
quicksort(gen_nil:add5_0(n2865_0)) → gen_nil:add5_0(n2865_0), rt ∈ Ω(1 + n2865₀ + n2865₀²)

(26) BOUNDS(n^2, INF)

(27) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
low(n, nil) → nil
low(n, add(m, x)) → if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) → add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) → low(n, x)
high(n, nil) → nil
high(n, add(m, x)) → if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) → high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) → add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) → n
tail(add(n, x)) → x
isempty(nil) → true
isempty(add(n, x)) → false
quicksort(x) → if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) → nil
if_qs(false, x, n, y) → app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s → nil:add → nil:add
low :: 0':s → nil:add → nil:add
if_low :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
high :: 0':s → nil:add → nil:add
if_high :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
head :: nil:add → 0':s
tail :: nil:add → nil:add
isempty :: nil:add → true:false
quicksort :: nil:add → nil:add
if_qs :: true:false → nil:add → 0':s → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)
app(gen_nil:add5_0(n348_0), gen_nil:add5_0(b)) → gen_nil:add5_0(+(n348_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n348₀)
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1413_0)) → gen_nil:add5_0(n1413_0), rt ∈ Ω(1 + n1413₀)
high(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n2141_0)) → gen_nil:add5_0(0), rt ∈ Ω(1 + n2141₀)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) ⇔ add(0', gen_nil:add5_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(28) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)

(29) BOUNDS(n^1, INF)

(30) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
low(n, nil) → nil
low(n, add(m, x)) → if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) → add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) → low(n, x)
high(n, nil) → nil
high(n, add(m, x)) → if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) → high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) → add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) → n
tail(add(n, x)) → x
isempty(nil) → true
isempty(add(n, x)) → false
quicksort(x) → if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) → nil
if_qs(false, x, n, y) → app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s → nil:add → nil:add
low :: 0':s → nil:add → nil:add
if_low :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
high :: 0':s → nil:add → nil:add
if_high :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
head :: nil:add → 0':s
tail :: nil:add → nil:add
isempty :: nil:add → true:false
quicksort :: nil:add → nil:add
if_qs :: true:false → nil:add → 0':s → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)
app(gen_nil:add5_0(n348_0), gen_nil:add5_0(b)) → gen_nil:add5_0(+(n348_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n348₀)
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1413_0)) → gen_nil:add5_0(n1413_0), rt ∈ Ω(1 + n1413₀)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) ⇔ add(0', gen_nil:add5_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(31) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)

(32) BOUNDS(n^1, INF)

(33) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
low(n, nil) → nil
low(n, add(m, x)) → if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) → add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) → low(n, x)
high(n, nil) → nil
high(n, add(m, x)) → if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) → high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) → add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) → n
tail(add(n, x)) → x
isempty(nil) → true
isempty(add(n, x)) → false
quicksort(x) → if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) → nil
if_qs(false, x, n, y) → app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s → nil:add → nil:add
low :: 0':s → nil:add → nil:add
if_low :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
high :: 0':s → nil:add → nil:add
if_high :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
head :: nil:add → 0':s
tail :: nil:add → nil:add
isempty :: nil:add → true:false
quicksort :: nil:add → nil:add
if_qs :: true:false → nil:add → 0':s → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)
app(gen_nil:add5_0(n348_0), gen_nil:add5_0(b)) → gen_nil:add5_0(+(n348_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n348₀)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) ⇔ add(0', gen_nil:add5_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(34) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)

(35) BOUNDS(n^1, INF)

(36) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
low(n, nil) → nil
low(n, add(m, x)) → if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) → add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) → low(n, x)
high(n, nil) → nil
high(n, add(m, x)) → if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) → high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) → add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) → n
tail(add(n, x)) → x
isempty(nil) → true
isempty(add(n, x)) → false
quicksort(x) → if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) → nil
if_qs(false, x, n, y) → app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
app :: nil:add → nil:add → nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s → nil:add → nil:add
low :: 0':s → nil:add → nil:add
if_low :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
high :: 0':s → nil:add → nil:add
if_high :: true:false → 0':s → nil:add → nil:add
head :: nil:add → 0':s
tail :: nil:add → nil:add
isempty :: nil:add → true:false
quicksort :: nil:add → nil:add
if_qs :: true:false → nil:add → 0':s → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) ⇔ add(0', gen_nil:add5_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(37) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n7₀)

(38) BOUNDS(n^1, INF)