*** 1 Progress [(?,O(n^10))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
f_0(x) -> a()
f_1(x) -> g_1(x,x)
f_10(x) -> g_10(x,x)
f_2(x) -> g_2(x,x)
f_3(x) -> g_3(x,x)
f_4(x) -> g_4(x,x)
f_5(x) -> g_5(x,x)
f_6(x) -> g_6(x,x)
f_7(x) -> g_7(x,x)
f_8(x) -> g_8(x,x)
f_9(x) -> g_9(x,x)
g_1(s(x),y) -> b(f_0(y),g_1(x,y))
g_10(s(x),y) -> b(f_9(y),g_10(x,y))
g_2(s(x),y) -> b(f_1(y),g_2(x,y))
g_3(s(x),y) -> b(f_2(y),g_3(x,y))
g_4(s(x),y) -> b(f_3(y),g_4(x,y))
g_5(s(x),y) -> b(f_4(y),g_5(x,y))
g_6(s(x),y) -> b(f_5(y),g_6(x,y))
g_7(s(x),y) -> b(f_6(y),g_7(x,y))
g_8(s(x),y) -> b(f_7(y),g_8(x,y))
g_9(s(x),y) -> b(f_8(y),g_9(x,y))
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2} / {a/0,b/2,s/1}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0,f_1,f_10,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,f_7,f_8,f_9,g_1,g_10,g_2,g_3,g_4,g_5,g_6,g_7,g_8,g_9}/{a,b,s}
Applied Processor:
DependencyPairs {dpKind_ = WIDP}
Proof:
We add the following weak dependency pairs:
Strict DPs
f_0#(x) -> c_1()
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Weak DPs
and mark the set of starting terms.
*** 1.1 Progress [(?,O(n^10))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_0#(x) -> c_1()
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Strict TRS Rules:
f_0(x) -> a()
f_1(x) -> g_1(x,x)
f_10(x) -> g_10(x,x)
f_2(x) -> g_2(x,x)
f_3(x) -> g_3(x,x)
f_4(x) -> g_4(x,x)
f_5(x) -> g_5(x,x)
f_6(x) -> g_6(x,x)
f_7(x) -> g_7(x,x)
f_8(x) -> g_8(x,x)
f_9(x) -> g_9(x,x)
g_1(s(x),y) -> b(f_0(y),g_1(x,y))
g_10(s(x),y) -> b(f_9(y),g_10(x,y))
g_2(s(x),y) -> b(f_1(y),g_2(x,y))
g_3(s(x),y) -> b(f_2(y),g_3(x,y))
g_4(s(x),y) -> b(f_3(y),g_4(x,y))
g_5(s(x),y) -> b(f_4(y),g_5(x,y))
g_6(s(x),y) -> b(f_5(y),g_6(x,y))
g_7(s(x),y) -> b(f_6(y),g_7(x,y))
g_8(s(x),y) -> b(f_7(y),g_8(x,y))
g_9(s(x),y) -> b(f_8(y),g_9(x,y))
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/2,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
UsableRules
Proof:
We replace rewrite rules by usable rules:
f_0#(x) -> c_1()
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
*** 1.1.1 Progress [(?,O(n^10))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_0#(x) -> c_1()
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/2,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Succeeding
Proof:
()
*** 1.1.1.1 Progress [(?,O(n^10))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_0#(x) -> c_1()
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/2,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector}
Proof:
We estimate the number of application of
{1}
by application of
Pre({1}) = {12}.
Here rules are labelled as follows:
1: f_0#(x) -> c_1()
2: f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
3: f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
4: f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
5: f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
6: f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
7: f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
8: f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
9: f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
10: f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
11: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
12: g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y)
,g_1#(x,y))
13: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y)
,g_10#(x,y))
14: g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y)
,g_2#(x,y))
15: g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y)
,g_3#(x,y))
16: g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y)
,g_4#(x,y))
17: g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y)
,g_5#(x,y))
18: g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y)
,g_6#(x,y))
19: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y)
,g_7#(x,y))
20: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y)
,g_8#(x,y))
21: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y)
,g_9#(x,y))
*** 1.1.1.1.1 Progress [(?,O(n^10))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_0#(x) -> c_1()
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/2,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
-->_1 g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y)):11
2:S:f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
-->_1 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):12
3:S:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
4:S:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):14
5:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):15
6:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):16
7:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):17
8:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):18
9:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):19
10:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):20
11:S:g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
-->_1 f_0#(x) -> c_1():21
-->_2 g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y)):11
12:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):12
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):10
13:S:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
-->_1 f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x)):1
14:S:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):14
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):3
15:S:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):15
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):4
16:S:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):16
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):5
17:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):17
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):6
18:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):18
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):7
19:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):19
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):8
20:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):20
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):9
21:W:f_0#(x) -> c_1()
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
21: f_0#(x) -> c_1()
*** 1.1.1.1.1.1 Progress [(?,O(n^10))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/2,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
SimplifyRHS
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
-->_1 g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y)):11
2:S:f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
-->_1 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):12
3:S:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
4:S:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):14
5:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):15
6:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):16
7:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):17
8:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):18
9:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):19
10:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):20
11:S:g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y))
-->_2 g_1#(s(x),y) -> c_12(f_0#(y),g_1#(x,y)):11
12:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):12
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):10
13:S:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
-->_1 f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x)):1
14:S:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):14
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):3
15:S:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):15
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):4
16:S:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):16
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):5
17:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):17
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):6
18:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):18
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):7
19:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):19
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):8
20:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):20
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):9
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
*** 1.1.1.1.1.1.1 Progress [(?,O(n^10))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveHeads
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
-->_1 g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y)):11
2:S:f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x))
-->_1 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):12
3:S:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
4:S:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):14
5:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):15
6:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):16
7:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):17
8:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):18
9:S:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):19
10:S:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):20
11:S:g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
-->_1 g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y)):11
12:S:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):12
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):10
13:S:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):13
-->_1 f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x)):1
14:S:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):14
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):3
15:S:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):15
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):4
16:S:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):16
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):5
17:S:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):17
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):6
18:S:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):18
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):7
19:S:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):19
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):8
20:S:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):20
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):9
Following roots of the dependency graph are removed, as the considered set of starting terms is closed under reduction with respect to these rules (modulo compound contexts).
[(2,f_10#(x) -> c_3(g_10#(x,x)))]
*** 1.1.1.1.1.1.1.1 Progress [(?,O(n^10))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
Proof:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y)
,g_10#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_13) = {2}
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [0]
p(f_0) = [1] x1 + [1]
p(f_1) = [1] x1 + [0]
p(f_10) = [1] x1 + [0]
p(f_2) = [1] x1 + [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [4] x1 + [1]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [2] x1 + [2]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [1] x2 + [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [1]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [0]
p(f_9#) = [0]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [1] x1 + [0]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [0]
p(g_8#) = [0]
p(g_9#) = [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [2]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [1] x1 + [2]
p(c_7) = [4] x1 + [0]
p(c_8) = [1]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [4]
p(c_11) = [1] x1 + [1]
p(c_12) = [1] x1 + [8]
p(c_13) = [1] x2 + [0]
p(c_14) = [1]
p(c_15) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_16) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_17) = [2] x2 + [1]
p(c_18) = [1] x1 + [1]
p(c_19) = [1] x1 + [2] x2 + [0]
p(c_20) = [2] x1 + [0]
p(c_21) = [8] x1 + [1]
Following rules are strictly oriented:
g_10#(s(x),y) = [1] x + [1]
> [1] x + [0]
= c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.1.2 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:W:g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y))
-->_2 g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y),g_10#(x,y)):1
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
1: g_10#(s(x),y) -> c_13(f_9#(y)
,g_10#(x,y))
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
EmptyProcessor
Proof:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2 Progress [(?,O(n^9))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
Proof:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
1: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
2: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y)
,g_9#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_11) = {1},
uargs(c_21) = {2}
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [2] x1 + [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [1]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [0]
p(f_8#) = [1] x1 + [0]
p(f_9#) = [8] x1 + [5]
p(g_1#) = [8] x1 + [2] x2 + [0]
p(g_10#) = [12] x2 + [6]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [1] x1 + [0]
p(g_5#) = [1] x1 + [4] x2 + [1]
p(g_6#) = [1] x1 + [0]
p(g_7#) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_8#) = [1] x1 + [1] x2 + [4]
p(g_9#) = [8] x1 + [2]
p(c_1) = [1]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [1]
p(c_4) = [1] x1 + [0]
p(c_5) = [2]
p(c_6) = [1] x1 + [1]
p(c_7) = [4] x1 + [1]
p(c_8) = [1] x1 + [1]
p(c_9) = [4] x1 + [1]
p(c_10) = [1] x1 + [1]
p(c_11) = [1] x1 + [0]
p(c_12) = [4] x1 + [0]
p(c_13) = [8] x1 + [2] x2 + [0]
p(c_14) = [1] x2 + [0]
p(c_15) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_16) = [1] x1 + [1]
p(c_17) = [1] x2 + [1]
p(c_18) = [2] x1 + [2]
p(c_19) = [2] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_20) = [1] x2 + [1]
p(c_21) = [1] x2 + [5]
Following rules are strictly oriented:
f_9#(x) = [8] x + [5]
> [8] x + [2]
= c_11(g_9#(x,x))
g_9#(s(x),y) = [8] x + [10]
> [8] x + [7]
= c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
g_10#(s(x),y) = [12] y + [6]
>= [8] y + [5]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [12] y + [6]
>= [12] y + [6]
= g_10#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:W:f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
-->_1 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
2:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x)):1
3:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):3
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):2
4:W:g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y))
-->_2 g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y),g_9#(x,y)):4
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
3: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
2: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
1: f_9#(x) -> c_11(g_9#(x,x))
4: g_9#(s(x),y) -> c_21(f_8#(y)
,g_9#(x,y))
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
EmptyProcessor
Proof:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2 Progress [(?,O(n^8))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
Proof:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
1: f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
2: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y)
,g_8#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_10) = {1},
uargs(c_20) = {2}
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [4]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [8] x1 + [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [2] x1 + [1]
p(f_3#) = [1]
p(f_4#) = [1] x1 + [1]
p(f_5#) = [1] x1 + [2]
p(f_6#) = [1] x1 + [8]
p(f_7#) = [2] x1 + [4]
p(f_8#) = [8] x1 + [8]
p(f_9#) = [10] x1 + [15]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [4] x1 + [11] x2 + [8]
p(g_2#) = [1] x2 + [1]
p(g_3#) = [1] x1 + [1] x2 + [4]
p(g_4#) = [1] x2 + [2]
p(g_5#) = [1] x2 + [0]
p(g_6#) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
p(g_7#) = [1]
p(g_8#) = [4] x1 + [0]
p(g_9#) = [1] x1 + [9] x2 + [13]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [2]
p(c_4) = [1] x1 + [1]
p(c_5) = [1] x1 + [1]
p(c_6) = [1] x1 + [1]
p(c_7) = [4] x1 + [0]
p(c_8) = [4] x1 + [2]
p(c_9) = [1] x1 + [1]
p(c_10) = [2] x1 + [0]
p(c_11) = [1]
p(c_12) = [2] x1 + [0]
p(c_13) = [2] x1 + [8] x2 + [1]
p(c_14) = [1] x2 + [2]
p(c_15) = [1] x1 + [2] x2 + [0]
p(c_16) = [2] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_17) = [2] x1 + [2] x2 + [1]
p(c_18) = [2] x1 + [1]
p(c_19) = [1] x2 + [2]
p(c_20) = [1] x2 + [9]
p(c_21) = [2] x2 + [1]
Following rules are strictly oriented:
f_8#(x) = [8] x + [8]
> [8] x + [0]
= c_10(g_8#(x,x))
g_8#(s(x),y) = [4] x + [16]
> [4] x + [9]
= c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_9#(x) = [10] x + [15]
>= [10] x + [13]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [4] x + [11] y + [24]
>= [10] y + [15]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [4] x + [11] y + [24]
>= [4] x + [11] y + [8]
= g_10#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [1] x + [9] y + [17]
>= [8] y + [8]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [1] x + [9] y + [17]
>= [1] x + [9] y + [13]
= g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:W:f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
-->_1 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):5
2:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):7
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):6
3:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):2
4:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):4
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):3
5:W:g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y))
-->_2 g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y),g_8#(x,y)):5
6:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x)):1
7:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):7
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):6
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
4: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
3: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
2: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
7: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
6: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
1: f_8#(x) -> c_10(g_8#(x,x))
5: g_8#(s(x),y) -> c_20(f_7#(y)
,g_8#(x,y))
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.1 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
EmptyProcessor
Proof:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2 Progress [(?,O(n^7))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
Proof:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
2: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y)
,g_7#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_9) = {1},
uargs(c_19) = {2}
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [1] x2 + [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [3]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [4]
p(f_7#) = [2] x1 + [0]
p(f_8#) = [2] x1 + [0]
p(f_9#) = [2] x1 + [0]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [2] x2 + [0]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [8] x2 + [0]
p(g_7#) = [2] x1 + [0]
p(g_8#) = [2] x2 + [0]
p(g_9#) = [2] x2 + [0]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [1] x1 + [0]
p(c_9) = [1] x1 + [0]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [8] x1 + [1]
p(c_13) = [2] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [8] x1 + [0]
p(c_16) = [1] x2 + [0]
p(c_17) = [0]
p(c_18) = [1] x1 + [4] x2 + [1]
p(c_19) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [1] x1 + [8]
Following rules are strictly oriented:
g_7#(s(x),y) = [2] x + [6]
> [2] x + [4]
= c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_7#(x) = [2] x + [0]
>= [2] x + [0]
= c_9(g_7#(x,x))
f_8#(x) = [2] x + [0]
>= [2] x + [0]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [2] x + [0]
>= [2] x + [0]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [2] y + [0]
>= [2] y + [0]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [2] y + [0]
>= [2] y + [0]
= g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [2] y + [0]
>= [2] y + [0]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [2] y + [0]
>= [2] y + [0]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [2] y + [0]
>= [2] y + [0]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [2] y + [0]
>= [2] y + [0]
= g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
-->_1 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):6
2:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):8
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):7
3:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):10
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):9
4:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):3
5:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):5
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):4
6:W:g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y))
-->_2 g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y),g_7#(x,y)):6
7:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):1
8:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):8
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):7
9:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):2
10:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):10
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):9
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
6: g_7#(s(x),y) -> c_19(f_6#(y)
,g_7#(x,y))
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
SimplifyRHS
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x))
2:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):8
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):7
3:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):10
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):9
4:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):3
5:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):5
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):4
7:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> c_9(g_7#(x,x)):1
8:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):8
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):7
9:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):2
10:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):10
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):9
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
f_7#(x) -> c_9()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_7#(x) -> c_9()
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 0, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 0, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
1: f_7#(x) -> c_9()
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_7#(x) -> c_9()
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 0, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation (containing no more than 0 non-zero interpretation-entries in the diagonal of the component-wise maxima):
The following argument positions are considered usable:
none
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [0]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [0]
p(f_7#) = [1]
p(f_8#) = [1]
p(f_9#) = [1]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [1]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [0]
p(g_8#) = [1]
p(g_9#) = [1]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [0]
p(c_18) = [0]
p(c_19) = [0]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
f_7#(x) = [1]
> [0]
= c_9()
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_8#(x) = [1]
>= [1]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [1]
>= [1]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [1]
>= [1]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [1]
>= [1]
= g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [1]
>= [1]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [1]
>= [1]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [1]
>= [1]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [1]
>= [1]
= g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_7#(x) -> c_9()
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.1.2 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_7#(x) -> c_9()
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:W:f_7#(x) -> c_9()
2:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):7
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):6
3:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):9
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):8
4:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):3
5:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):5
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):4
6:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> c_9():1
7:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):7
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):6
8:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):2
9:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):9
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):8
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
5: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
4: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
3: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
9: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
8: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
2: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
7: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
6: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
1: f_7#(x) -> c_9()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.1.2.1 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
EmptyProcessor
Proof:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2 Progress [(?,O(n^6))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
Proof:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
2: g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y)
,g_6#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_8) = {1},
uargs(c_18) = {2}
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [2] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_7) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
p(g_8) = [1] x2 + [0]
p(g_9) = [2] x1 + [1]
p(s) = [1] x1 + [8]
p(f_0#) = [1] x1 + [1]
p(f_1#) = [1] x1 + [1]
p(f_10#) = [1] x1 + [0]
p(f_2#) = [2] x1 + [1]
p(f_3#) = [1]
p(f_4#) = [1] x1 + [0]
p(f_5#) = [1]
p(f_6#) = [4] x1 + [0]
p(f_7#) = [8] x1 + [4]
p(f_8#) = [8] x1 + [8]
p(f_9#) = [11] x1 + [2]
p(g_1#) = [1] x2 + [1]
p(g_10#) = [3] x1 + [12] x2 + [1]
p(g_2#) = [1] x1 + [2] x2 + [4]
p(g_3#) = [2] x1 + [4] x2 + [1]
p(g_4#) = [1] x1 + [1] x2 + [2]
p(g_5#) = [1] x1 + [1] x2 + [8]
p(g_6#) = [2] x1 + [0]
p(g_7#) = [3] x1 + [4] x2 + [0]
p(g_8#) = [8] x2 + [4]
p(g_9#) = [2] x1 + [8] x2 + [2]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [1] x1 + [1]
p(c_3) = [2]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [2]
p(c_7) = [2] x1 + [0]
p(c_8) = [2] x1 + [0]
p(c_9) = [2]
p(c_10) = [1]
p(c_11) = [1] x1 + [0]
p(c_12) = [1] x1 + [1]
p(c_13) = [1] x1 + [2] x2 + [2]
p(c_14) = [2] x2 + [0]
p(c_15) = [1] x1 + [2]
p(c_16) = [2]
p(c_17) = [2] x1 + [1]
p(c_18) = [4] x1 + [1] x2 + [8]
p(c_19) = [2] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_20) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_21) = [2] x2 + [0]
Following rules are strictly oriented:
g_6#(s(x),y) = [2] x + [16]
> [2] x + [12]
= c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_6#(x) = [4] x + [0]
>= [4] x + [0]
= c_8(g_6#(x,x))
f_7#(x) = [8] x + [4]
>= [7] x + [0]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [8] x + [8]
>= [8] x + [4]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [11] x + [2]
>= [10] x + [2]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [3] x + [12] y + [25]
>= [11] y + [2]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [3] x + [12] y + [25]
>= [3] x + [12] y + [1]
= g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [3] x + [4] y + [24]
>= [4] y + [0]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [3] x + [4] y + [24]
>= [3] x + [4] y + [0]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [8] y + [4]
>= [8] y + [4]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [8] y + [4]
>= [8] y + [4]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [2] x + [8] y + [18]
>= [8] y + [8]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [2] x + [8] y + [18]
>= [2] x + [8] y + [2]
= g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
-->_1 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):7
2:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):9
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):8
3:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):11
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):10
4:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):13
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):12
5:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):4
6:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):6
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):5
7:W:g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y))
-->_2 g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y),g_6#(x,y)):7
8:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):1
9:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):9
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):8
10:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):2
11:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):11
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):10
12:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):3
13:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):13
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):12
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
7: g_6#(s(x),y) -> c_18(f_5#(y)
,g_6#(x,y))
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
SimplifyRHS
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x))
2:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):9
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):8
3:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):11
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):10
4:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):13
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):12
5:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):4
6:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):6
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):5
8:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> c_8(g_6#(x,x)):1
9:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):9
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):8
10:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):2
11:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):11
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):10
12:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):3
13:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):13
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):12
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
f_6#(x) -> c_8()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_6#(x) -> c_8()
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/0,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 0, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 0, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
1: f_6#(x) -> c_8()
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_6#(x) -> c_8()
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/0,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 0, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation (containing no more than 0 non-zero interpretation-entries in the diagonal of the component-wise maxima):
The following argument positions are considered usable:
none
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [1] x1 + [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [8] x2 + [0]
p(g_5) = [1]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [0]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [0]
p(f_6#) = [2]
p(f_7#) = [2]
p(f_8#) = [2]
p(f_9#) = [2]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [2]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [0]
p(g_7#) = [2]
p(g_8#) = [2]
p(g_9#) = [2]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [1] x1 + [0]
p(c_4) = [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [2] x1 + [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [0]
p(c_18) = [0]
p(c_19) = [0]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
f_6#(x) = [2]
> [0]
= c_8()
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_7#(x) = [2]
>= [2]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [2]
>= [2]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [2]
>= [2]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.1.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_6#(x) -> c_8()
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/0,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.1.1.2 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_6#(x) -> c_8()
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/0,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:W:f_6#(x) -> c_8()
2:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):8
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):7
3:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):10
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):9
4:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):12
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):11
5:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):4
6:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):6
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):5
7:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> c_8():1
8:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):8
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):7
9:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):2
10:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):10
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):9
11:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):3
12:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):12
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):11
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
6: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
5: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
4: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
12: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
11: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
3: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
10: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
9: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
2: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
8: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
7: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
1: f_6#(x) -> c_8()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.1.1.2.1 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/0,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
EmptyProcessor
Proof:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2 Progress [(?,O(n^5))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
Proof:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
2: g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y)
,g_5#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_7) = {1},
uargs(c_17) = {2}
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [8]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [8] x1 + [0]
p(f_3#) = [1] x1 + [1]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [4] x1 + [0]
p(f_6#) = [6] x1 + [0]
p(f_7#) = [9] x1 + [0]
p(f_8#) = [9] x1 + [2]
p(f_9#) = [10] x1 + [4]
p(g_1#) = [1] x2 + [0]
p(g_10#) = [1] x1 + [12] x2 + [8]
p(g_2#) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_3#) = [2] x1 + [1] x2 + [2]
p(g_4#) = [2] x1 + [2] x2 + [1]
p(g_5#) = [2] x1 + [0]
p(g_6#) = [2] x1 + [4] x2 + [0]
p(g_7#) = [3] x1 + [6] x2 + [0]
p(g_8#) = [9] x2 + [0]
p(g_9#) = [10] x2 + [4]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [1]
p(c_3) = [1] x1 + [1]
p(c_4) = [2] x1 + [0]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [1] x1 + [1]
p(c_7) = [2] x1 + [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [1]
p(c_10) = [1] x1 + [4]
p(c_11) = [1] x1 + [1]
p(c_12) = [1]
p(c_13) = [2] x1 + [8] x2 + [0]
p(c_14) = [1] x2 + [1]
p(c_15) = [2] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_16) = [1] x2 + [2]
p(c_17) = [8] x1 + [1] x2 + [12]
p(c_18) = [1]
p(c_19) = [1] x1 + [1]
p(c_20) = [2] x1 + [0]
p(c_21) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
Following rules are strictly oriented:
g_5#(s(x),y) = [2] x + [16]
> [2] x + [12]
= c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_5#(x) = [4] x + [0]
>= [4] x + [0]
= c_7(g_5#(x,x))
f_6#(x) = [6] x + [0]
>= [6] x + [0]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [9] x + [0]
>= [9] x + [0]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [9] x + [2]
>= [9] x + [0]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [10] x + [4]
>= [10] x + [4]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [12] y + [16]
>= [10] y + [4]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [12] y + [16]
>= [1] x + [12] y + [8]
= g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [2] x + [4] y + [16]
>= [4] y + [0]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [2] x + [4] y + [16]
>= [2] x + [4] y + [0]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [3] x + [6] y + [24]
>= [6] y + [0]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [3] x + [6] y + [24]
>= [3] x + [6] y + [0]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [9] y + [0]
>= [9] y + [0]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [9] y + [0]
>= [9] y + [0]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [10] y + [4]
>= [9] y + [2]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [10] y + [4]
>= [10] y + [4]
= g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
-->_1 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):8
2:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):10
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):9
3:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):12
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):11
4:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):14
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):13
5:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):16
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):15
6:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):5
7:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):7
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):6
8:W:g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y))
-->_2 g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y),g_5#(x,y)):8
9:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):1
10:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):10
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):9
11:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):2
12:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):12
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):11
13:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):3
14:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):14
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):13
15:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):4
16:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):16
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):15
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
8: g_5#(s(x),y) -> c_17(f_4#(y)
,g_5#(x,y))
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
SimplifyRHS
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x))
2:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):10
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):9
3:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):12
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):11
4:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):14
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):13
5:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):16
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):15
6:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):5
7:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):7
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):6
9:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> c_7(g_5#(x,x)):1
10:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):10
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):9
11:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):2
12:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):12
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):11
13:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):3
14:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):14
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):13
15:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):4
16:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):16
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):15
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
f_5#(x) -> c_7()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_5#(x) -> c_7()
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/0,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 0, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 0, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
1: f_5#(x) -> c_7()
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_5#(x) -> c_7()
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/0,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 0, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation (containing no more than 0 non-zero interpretation-entries in the diagonal of the component-wise maxima):
The following argument positions are considered usable:
none
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [1] x1 + [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [2] x1 + [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [0]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [0]
p(f_5#) = [2]
p(f_6#) = [2]
p(f_7#) = [2]
p(f_8#) = [2]
p(f_9#) = [3]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [3]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [0]
p(g_6#) = [2]
p(g_7#) = [2]
p(g_8#) = [2]
p(g_9#) = [2]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [1]
p(c_5) = [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [0]
p(c_18) = [0]
p(c_19) = [0]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
f_5#(x) = [2]
> [0]
= c_7()
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_6#(x) = [2]
>= [2]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [2]
>= [2]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [2]
>= [2]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [3]
>= [2]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [3]
>= [3]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [3]
>= [3]
= g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.1.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_5#(x) -> c_7()
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/0,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.1.1.2 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_5#(x) -> c_7()
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/0,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:W:f_5#(x) -> c_7()
2:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):9
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):8
3:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):11
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):10
4:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):13
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):12
5:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):15
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):14
6:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):5
7:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):7
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):6
8:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> c_7():1
9:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):9
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):8
10:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):2
11:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):11
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):10
12:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):3
13:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):13
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):12
14:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):4
15:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):15
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):14
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
7: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
6: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
5: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
15: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
14: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
4: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
13: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
12: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
3: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
11: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
10: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
2: f_6#(x) -> g_6#(x,x)
9: g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
8: g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
1: f_5#(x) -> c_7()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.1.1.2.1 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/0,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
EmptyProcessor
Proof:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2 Progress [(?,O(n^4))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
Proof:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
2: g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y)
,g_4#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_6) = {1},
uargs(c_16) = {2}
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [1]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [2]
p(f_0) = [1] x1 + [0]
p(f_1) = [4] x1 + [1]
p(f_10) = [1] x1 + [0]
p(f_2) = [1] x1 + [1]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [2]
p(f_5) = [2] x1 + [1]
p(f_6) = [2]
p(f_7) = [2] x1 + [1]
p(f_8) = [1] x1 + [2]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [1]
p(g_10) = [8] x2 + [1]
p(g_2) = [8] x1 + [4]
p(g_3) = [1] x1 + [1] x2 + [4]
p(g_4) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(g_5) = [8] x1 + [4] x2 + [1]
p(g_6) = [1] x1 + [1]
p(g_7) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_8) = [2] x1 + [1] x2 + [4]
p(g_9) = [8] x1 + [2] x2 + [2]
p(s) = [1] x1 + [4]
p(f_0#) = [1] x1 + [8]
p(f_1#) = [1] x1 + [1]
p(f_10#) = [4] x1 + [0]
p(f_2#) = [2] x1 + [0]
p(f_3#) = [1]
p(f_4#) = [2] x1 + [1]
p(f_5#) = [2] x1 + [1]
p(f_6#) = [2] x1 + [1]
p(f_7#) = [8] x1 + [4]
p(f_8#) = [9] x1 + [6]
p(f_9#) = [9] x1 + [8]
p(g_1#) = [1]
p(g_10#) = [1] x1 + [10] x2 + [5]
p(g_2#) = [2] x1 + [8]
p(g_3#) = [2] x1 + [0]
p(g_4#) = [1] x1 + [0]
p(g_5#) = [2] x2 + [1]
p(g_6#) = [2] x2 + [1]
p(g_7#) = [8] x2 + [1]
p(g_8#) = [9] x2 + [5]
p(g_9#) = [9] x2 + [8]
p(c_1) = [1]
p(c_2) = [2] x1 + [0]
p(c_3) = [2] x1 + [1]
p(c_4) = [1]
p(c_5) = [1]
p(c_6) = [2] x1 + [1]
p(c_7) = [1] x1 + [8]
p(c_8) = [2] x1 + [0]
p(c_9) = [4] x1 + [1]
p(c_10) = [1]
p(c_11) = [1] x1 + [1]
p(c_12) = [2] x1 + [2]
p(c_13) = [2] x2 + [1]
p(c_14) = [1] x1 + [4]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_17) = [0]
p(c_18) = [1] x1 + [4] x2 + [2]
p(c_19) = [4] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_20) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_21) = [1] x1 + [2] x2 + [0]
Following rules are strictly oriented:
g_4#(s(x),y) = [1] x + [4]
> [1] x + [1]
= c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_4#(x) = [2] x + [1]
>= [2] x + [1]
= c_6(g_4#(x,x))
f_5#(x) = [2] x + [1]
>= [2] x + [1]
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = [2] x + [1]
>= [2] x + [1]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [8] x + [4]
>= [8] x + [1]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [9] x + [6]
>= [9] x + [5]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [9] x + [8]
>= [9] x + [8]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [10] y + [9]
>= [9] y + [8]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [1] x + [10] y + [9]
>= [1] x + [10] y + [5]
= g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) = [2] y + [1]
>= [2] y + [1]
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = [2] y + [1]
>= [2] y + [1]
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [2] y + [1]
>= [2] y + [1]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [2] y + [1]
>= [2] y + [1]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [8] y + [1]
>= [2] y + [1]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [8] y + [1]
>= [8] y + [1]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [9] y + [5]
>= [8] y + [4]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [9] y + [5]
>= [9] y + [5]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [9] y + [8]
>= [9] y + [6]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [9] y + [8]
>= [9] y + [8]
= g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
-->_1 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):9
2:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):11
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):10
3:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):13
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):12
4:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):15
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):14
5:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):17
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):16
6:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):19
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):18
7:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):6
8:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):8
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):7
9:W:g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y))
-->_2 g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y),g_4#(x,y)):9
10:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):1
11:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):11
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):10
12:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):2
13:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):13
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):12
14:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):3
15:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):15
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):14
16:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):4
17:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):17
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):16
18:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):5
19:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):19
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):18
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
9: g_4#(s(x),y) -> c_16(f_3#(y)
,g_4#(x,y))
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
SimplifyRHS
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x))
2:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):11
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):10
3:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):13
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):12
4:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):15
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):14
5:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):17
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):16
6:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):19
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):18
7:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):6
8:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):8
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):7
10:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> c_6(g_4#(x,x)):1
11:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):11
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):10
12:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):2
13:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):13
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):12
14:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):3
15:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):15
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):14
16:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):4
17:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):17
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):16
18:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):5
19:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):19
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):18
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
f_4#(x) -> c_6()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_4#(x) -> c_6()
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
1: f_4#(x) -> c_6()
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_4#(x) -> c_6()
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
none
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [0]
p(f_0) = [2] x1 + [4]
p(f_1) = [1] x1 + [0]
p(f_10) = [1] x1 + [1]
p(f_2) = [2]
p(f_3) = [1]
p(f_4) = [1] x1 + [2]
p(f_5) = [1] x1 + [1]
p(f_6) = [1] x1 + [2]
p(f_7) = [1] x1 + [2]
p(f_8) = [2] x1 + [1]
p(f_9) = [1]
p(g_1) = [1]
p(g_10) = [1] x1 + [2] x2 + [0]
p(g_2) = [1] x1 + [8] x2 + [1]
p(g_3) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [4]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [0]
p(f_4#) = [2]
p(f_5#) = [2]
p(f_6#) = [11]
p(f_7#) = [8] x1 + [11]
p(f_8#) = [11] x1 + [8]
p(f_9#) = [15] x1 + [10]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [15] x2 + [10]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [0]
p(g_5#) = [2]
p(g_6#) = [2]
p(g_7#) = [1] x2 + [11]
p(g_8#) = [3] x1 + [8] x2 + [8]
p(g_9#) = [2] x1 + [12] x2 + [10]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [2]
p(c_5) = [2] x1 + [0]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [0]
p(c_13) = [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [0]
p(c_18) = [0]
p(c_19) = [0]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
f_4#(x) = [2]
> [0]
= c_6()
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_5#(x) = [2]
>= [2]
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = [11]
>= [2]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [8] x + [11]
>= [1] x + [11]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [11] x + [8]
>= [11] x + [8]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [15] x + [10]
>= [14] x + [10]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [15] y + [10]
>= [15] y + [10]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [15] y + [10]
>= [15] y + [10]
= g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [1] y + [11]
>= [11]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [1] y + [11]
>= [1] y + [11]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [3] x + [8] y + [20]
>= [8] y + [11]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [3] x + [8] y + [20]
>= [3] x + [8] y + [8]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [2] x + [12] y + [18]
>= [11] y + [8]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [2] x + [12] y + [18]
>= [2] x + [12] y + [10]
= g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_4#(x) -> c_6()
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.1.2 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_4#(x) -> c_6()
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:W:f_4#(x) -> c_6()
2:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):10
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):9
3:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):12
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):11
4:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):14
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):13
5:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):16
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):15
6:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):18
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):17
7:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):6
8:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):8
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):7
9:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> c_6():1
10:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):10
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):9
11:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):2
12:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):12
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):11
13:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):3
14:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):14
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):13
15:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):4
16:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):16
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):15
17:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):5
18:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):18
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):17
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
8: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
7: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
6: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
18: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
17: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
5: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
16: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
15: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
4: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
14: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
13: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
3: f_6#(x) -> g_6#(x,x)
12: g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
11: g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
2: f_5#(x) -> g_5#(x,x)
10: g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
9: g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
1: f_4#(x) -> c_6()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.1.2.1 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
EmptyProcessor
Proof:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2 Progress [(?,O(n^3))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
DecomposeDG {onSelection = all below first cut in WDG, onUpper = Just someStrategy, onLower = Nothing}
Proof:
We decompose the input problem according to the dependency graph into the upper component
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
and a lower component
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
Further, following extension rules are added to the lower component.
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
2: g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y)
,g_3#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_5) = {1},
uargs(c_15) = {2}
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [1]
p(b) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [1]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [1]
p(f_10#) = [1] x1 + [2]
p(f_2#) = [1] x1 + [4]
p(f_3#) = [8] x1 + [0]
p(f_4#) = [9] x1 + [8]
p(f_5#) = [9] x1 + [8]
p(f_6#) = [10] x1 + [12]
p(f_7#) = [15] x1 + [7]
p(f_8#) = [15] x1 + [8]
p(f_9#) = [15] x1 + [13]
p(g_1#) = [1] x1 + [1]
p(g_10#) = [13] x1 + [15] x2 + [3]
p(g_2#) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_3#) = [1] x1 + [0]
p(g_4#) = [8] x2 + [8]
p(g_5#) = [9] x2 + [8]
p(g_6#) = [9] x2 + [12]
p(g_7#) = [5] x1 + [10] x2 + [7]
p(g_8#) = [15] x2 + [7]
p(g_9#) = [15] x2 + [10]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [2] x1 + [4]
p(c_3) = [1] x1 + [1]
p(c_4) = [2] x1 + [2]
p(c_5) = [8] x1 + [0]
p(c_6) = [1] x1 + [0]
p(c_7) = [4] x1 + [2]
p(c_8) = [8] x1 + [1]
p(c_9) = [4]
p(c_10) = [1] x1 + [1]
p(c_11) = [1] x1 + [8]
p(c_12) = [2] x1 + [1]
p(c_13) = [1] x2 + [0]
p(c_14) = [1] x1 + [1]
p(c_15) = [1] x2 + [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [1] x2 + [2]
p(c_18) = [4] x1 + [0]
p(c_19) = [4] x1 + [4] x2 + [8]
p(c_20) = [2] x2 + [2]
p(c_21) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
Following rules are strictly oriented:
g_3#(s(x),y) = [1] x + [1]
> [1] x + [0]
= c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_3#(x) = [8] x + [0]
>= [8] x + [0]
= c_5(g_3#(x,x))
f_4#(x) = [9] x + [8]
>= [8] x + [8]
= g_4#(x,x)
f_5#(x) = [9] x + [8]
>= [9] x + [8]
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = [10] x + [12]
>= [9] x + [12]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [15] x + [7]
>= [15] x + [7]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [15] x + [8]
>= [15] x + [7]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [15] x + [13]
>= [15] x + [10]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [13] x + [15] y + [16]
>= [15] y + [13]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [13] x + [15] y + [16]
>= [13] x + [15] y + [3]
= g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) = [8] y + [8]
>= [8] y + [0]
= f_3#(y)
g_4#(s(x),y) = [8] y + [8]
>= [8] y + [8]
= g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) = [9] y + [8]
>= [9] y + [8]
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = [9] y + [8]
>= [9] y + [8]
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [9] y + [12]
>= [9] y + [8]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [9] y + [12]
>= [9] y + [12]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [5] x + [10] y + [12]
>= [10] y + [12]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [5] x + [10] y + [12]
>= [5] x + [10] y + [7]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [15] y + [7]
>= [15] y + [7]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [15] y + [7]
>= [15] y + [7]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [15] y + [10]
>= [15] y + [8]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [15] y + [10]
>= [15] y + [10]
= g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.2 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
-->_1 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):10
2:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):12
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):11
3:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):14
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):13
4:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):16
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):15
5:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):18
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):17
6:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):20
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):19
7:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):22
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):21
8:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):7
9:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):9
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):8
10:W:g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y))
-->_2 g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y),g_3#(x,y)):10
11:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):1
12:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):12
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):11
13:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):2
14:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):14
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):13
15:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):3
16:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):16
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):15
17:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):4
18:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):18
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):17
19:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):5
20:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):20
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):19
21:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):6
22:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):22
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):21
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
10: g_3#(s(x),y) -> c_15(f_2#(y)
,g_3#(x,y))
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.2.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
SimplifyRHS
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x))
2:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):12
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):11
3:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):14
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):13
4:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):16
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):15
5:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):18
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):17
6:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):20
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):19
7:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):22
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):21
8:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):7
9:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):9
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):8
11:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> c_5(g_3#(x,x)):1
12:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):12
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):11
13:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):2
14:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):14
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):13
15:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):3
16:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):16
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):15
17:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):4
18:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):18
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):17
19:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):5
20:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):20
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):19
21:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):6
22:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):22
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):21
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
f_3#(x) -> c_5()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.2.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_3#(x) -> c_5()
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/0,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 0, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 0, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
1: f_3#(x) -> c_5()
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.2.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_3#(x) -> c_5()
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/0,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 0, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation (containing no more than 0 non-zero interpretation-entries in the diagonal of the component-wise maxima):
The following argument positions are considered usable:
none
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [0]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [0]
p(f_10) = [0]
p(f_2) = [0]
p(f_3) = [0]
p(f_4) = [0]
p(f_5) = [0]
p(f_6) = [0]
p(f_7) = [0]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [0]
p(g_10) = [0]
p(g_2) = [0]
p(g_3) = [0]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [1] x1 + [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [0]
p(f_0#) = [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [0]
p(f_3#) = [2]
p(f_4#) = [2]
p(f_5#) = [2]
p(f_6#) = [2]
p(f_7#) = [2]
p(f_8#) = [2]
p(f_9#) = [2]
p(g_1#) = [0]
p(g_10#) = [2]
p(g_2#) = [0]
p(g_3#) = [0]
p(g_4#) = [2]
p(g_5#) = [2]
p(g_6#) = [2]
p(g_7#) = [2]
p(g_8#) = [2]
p(g_9#) = [2]
p(c_1) = [0]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [0]
p(c_4) = [1] x1 + [1]
p(c_5) = [1]
p(c_6) = [0]
p(c_7) = [0]
p(c_8) = [0]
p(c_9) = [0]
p(c_10) = [0]
p(c_11) = [0]
p(c_12) = [1]
p(c_13) = [0]
p(c_14) = [0]
p(c_15) = [0]
p(c_16) = [0]
p(c_17) = [0]
p(c_18) = [0]
p(c_19) = [0]
p(c_20) = [0]
p(c_21) = [0]
Following rules are strictly oriented:
f_3#(x) = [2]
> [1]
= c_5()
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_4#(x) = [2]
>= [2]
= g_4#(x,x)
f_5#(x) = [2]
>= [2]
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = [2]
>= [2]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [2]
>= [2]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [2]
>= [2]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [2]
>= [2]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_3#(y)
g_4#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [2]
>= [2]
= g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.2.1.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_3#(x) -> c_5()
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/0,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.2.1.1.2 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_3#(x) -> c_5()
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/0,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:W:f_3#(x) -> c_5()
2:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):11
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):10
3:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):13
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):12
4:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):15
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):14
5:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):17
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):16
6:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):19
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):18
7:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):21
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):20
8:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):7
9:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):9
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):8
10:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> c_5():1
11:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):11
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):10
12:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):2
13:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):13
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):12
14:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):3
15:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):15
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):14
16:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):4
17:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):17
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):16
18:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):5
19:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):19
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):18
20:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):6
21:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):21
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):20
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
9: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
8: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
7: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
21: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
20: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
6: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
19: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
18: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
5: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
17: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
16: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
4: f_6#(x) -> g_6#(x,x)
15: g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
14: g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
3: f_5#(x) -> g_5#(x,x)
13: g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
12: g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
2: f_4#(x) -> g_4#(x,x)
11: g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
10: g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
1: f_3#(x) -> c_5()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.2.1.1.2.1 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/0,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
EmptyProcessor
Proof:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2 Progress [(?,O(n^2))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
3: g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1 Progress [(?,O(n^2))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a polynomial interpretation of kind constructor-based(mixed(2)):
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_2) = {1},
uargs(c_4) = {1},
uargs(c_12) = {1},
uargs(c_14) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = 1
p(b) = 1 + x2
p(f_0) = 0
p(f_1) = 1
p(f_10) = 2 + x1^2
p(f_2) = 4 + 4*x1 + x1^2
p(f_3) = 4 + x1 + x1^2
p(f_4) = 1
p(f_5) = 0
p(f_6) = 0
p(f_7) = 1 + 4*x1 + x1^2
p(f_8) = 0
p(f_9) = 2*x1
p(g_1) = x1 + 4*x2 + 4*x2^2
p(g_10) = 2 + 2*x1 + x1*x2 + x1^2 + x2
p(g_2) = 1 + x2
p(g_3) = 1 + x1 + x1^2 + x2 + x2^2
p(g_4) = 4*x1 + x1*x2 + x2 + x2^2
p(g_5) = 1 + 4*x1^2 + x2^2
p(g_6) = 2*x1 + x1*x2 + 2*x2
p(g_7) = 2*x1 + x2 + 4*x2^2
p(g_8) = 4 + x1 + 2*x2^2
p(g_9) = 4 + x2
p(s) = 1 + x1
p(f_0#) = 1 + x1^2
p(f_1#) = 2*x1
p(f_10#) = 2 + x1 + x1^2
p(f_2#) = 3 + 2*x1 + 2*x1^2
p(f_3#) = 4 + 4*x1 + 2*x1^2
p(f_4#) = 7*x1 + 3*x1^2
p(f_5#) = 6*x1 + 5*x1^2
p(f_6#) = 6*x1 + 7*x1^2
p(f_7#) = 6*x1 + 7*x1^2
p(f_8#) = 6*x1 + 7*x1^2
p(f_9#) = 1 + 7*x1 + 7*x1^2
p(g_1#) = 2*x1
p(g_10#) = 2 + 2*x1^2 + 7*x2 + 7*x2^2
p(g_2#) = 3 + x1 + 2*x1*x2 + x2
p(g_3#) = 1 + 2*x1 + 2*x2 + 2*x2^2
p(g_4#) = 4*x1 + x1*x2 + 3*x2 + 2*x2^2
p(g_5#) = 2*x1*x2 + 6*x2 + 3*x2^2
p(g_6#) = x1^2 + 6*x2 + 5*x2^2
p(g_7#) = 6*x2 + 7*x2^2
p(g_8#) = 6*x2 + 7*x2^2
p(g_9#) = 6*x2 + 7*x2^2
p(c_1) = 0
p(c_2) = x1
p(c_3) = 0
p(c_4) = x1
p(c_5) = x1
p(c_6) = 0
p(c_7) = x1
p(c_8) = 0
p(c_9) = 0
p(c_10) = x1
p(c_11) = 1 + x1
p(c_12) = 1 + x1
p(c_13) = x1
p(c_14) = 1 + x1 + x2
p(c_15) = x1
p(c_16) = 1
p(c_17) = x1 + x2
p(c_18) = x1
p(c_19) = x1 + x2
p(c_20) = 0
p(c_21) = x2
Following rules are strictly oriented:
g_1#(s(x),y) = 2 + 2*x
> 1 + 2*x
= c_12(g_1#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_1#(x) = 2*x
>= 2*x
= c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) = 3 + 2*x + 2*x^2
>= 3 + 2*x + 2*x^2
= c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) = 4 + 4*x + 2*x^2
>= 1 + 4*x + 2*x^2
= g_3#(x,x)
f_4#(x) = 7*x + 3*x^2
>= 7*x + 3*x^2
= g_4#(x,x)
f_5#(x) = 6*x + 5*x^2
>= 6*x + 5*x^2
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = 6*x + 7*x^2
>= 6*x + 6*x^2
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = 6*x + 7*x^2
>= 6*x + 7*x^2
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = 6*x + 7*x^2
>= 6*x + 7*x^2
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = 1 + 7*x + 7*x^2
>= 6*x + 7*x^2
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = 4 + 4*x + 2*x^2 + 7*y + 7*y^2
>= 1 + 7*y + 7*y^2
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = 4 + 4*x + 2*x^2 + 7*y + 7*y^2
>= 2 + 2*x^2 + 7*y + 7*y^2
= g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) = 4 + x + 2*x*y + 3*y
>= 4 + x + 2*x*y + 3*y
= c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) = 3 + 2*x + 2*y + 2*y^2
>= 3 + 2*y + 2*y^2
= f_2#(y)
g_3#(s(x),y) = 3 + 2*x + 2*y + 2*y^2
>= 1 + 2*x + 2*y + 2*y^2
= g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) = 4 + 4*x + x*y + 4*y + 2*y^2
>= 4 + 4*y + 2*y^2
= f_3#(y)
g_4#(s(x),y) = 4 + 4*x + x*y + 4*y + 2*y^2
>= 4*x + x*y + 3*y + 2*y^2
= g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) = 2*x*y + 8*y + 3*y^2
>= 7*y + 3*y^2
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = 2*x*y + 8*y + 3*y^2
>= 2*x*y + 6*y + 3*y^2
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = 1 + 2*x + x^2 + 6*y + 5*y^2
>= 6*y + 5*y^2
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = 1 + 2*x + x^2 + 6*y + 5*y^2
>= x^2 + 6*y + 5*y^2
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = 6*y + 7*y^2
>= 6*y + 7*y^2
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = 6*y + 7*y^2
>= 6*y + 7*y^2
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = 6*y + 7*y^2
>= 6*y + 7*y^2
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = 6*y + 7*y^2
>= 6*y + 7*y^2
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = 6*y + 7*y^2
>= 6*y + 7*y^2
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = 6*y + 7*y^2
>= 6*y + 7*y^2
= g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
-->_1 g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y)):11
2:S:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):3
3:S:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):3
-->_1 f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x)):1
4:W:f_3#(x) -> g_3#(x,x)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):15
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):14
5:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):17
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):16
6:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):19
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):18
7:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):21
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):20
8:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):23
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):22
9:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):25
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):24
10:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):27
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):26
11:W:g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
-->_1 g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y)):11
12:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):10
13:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):13
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):12
14:W:g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):2
15:W:g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):15
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):14
16:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> g_3#(x,x):4
17:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):17
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):16
18:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):5
19:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):19
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):18
20:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):6
21:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):21
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):20
22:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):7
23:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):23
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):22
24:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):8
25:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):25
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):24
26:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):9
27:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):27
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):26
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
11: g_1#(s(x),y) -> c_12(g_1#(x,y))
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
SimplifyRHS
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x))
2:S:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):3
3:S:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):3
-->_1 f_1#(x) -> c_2(g_1#(x,x)):1
4:W:f_3#(x) -> g_3#(x,x)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):15
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):14
5:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):17
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):16
6:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):19
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):18
7:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):21
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):20
8:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):23
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):22
9:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):25
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):24
10:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):27
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):26
12:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):10
13:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):13
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):12
14:W:g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):2
15:W:g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):15
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):14
16:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> g_3#(x,x):4
17:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):17
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):16
18:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):5
19:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):19
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):18
20:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):6
21:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):21
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):20
22:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):7
23:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):23
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):22
24:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):8
25:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):25
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):24
26:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):9
27:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):27
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):26
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
f_1#(x) -> c_2()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2()
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
1: f_1#(x) -> c_2()
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_1#(x) -> c_2()
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_4) = {1},
uargs(c_14) = {1,2}
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [0]
p(b) = [1] x1 + [4]
p(f_0) = [0]
p(f_1) = [1] x1 + [4]
p(f_10) = [1] x1 + [2]
p(f_2) = [8] x1 + [4]
p(f_3) = [1] x1 + [1]
p(f_4) = [1] x1 + [0]
p(f_5) = [1] x1 + [2]
p(f_6) = [1] x1 + [4]
p(f_7) = [1] x1 + [4]
p(f_8) = [0]
p(f_9) = [0]
p(g_1) = [4] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_10) = [1] x2 + [0]
p(g_2) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_3) = [2] x1 + [2]
p(g_4) = [0]
p(g_5) = [0]
p(g_6) = [0]
p(g_7) = [0]
p(g_8) = [0]
p(g_9) = [0]
p(s) = [1] x1 + [8]
p(f_0#) = [4] x1 + [0]
p(f_1#) = [2]
p(f_10#) = [0]
p(f_2#) = [8] x1 + [0]
p(f_3#) = [8] x1 + [0]
p(f_4#) = [8] x1 + [0]
p(f_5#) = [8] x1 + [0]
p(f_6#) = [8] x1 + [0]
p(f_7#) = [8] x1 + [0]
p(f_8#) = [12] x1 + [0]
p(f_9#) = [12] x1 + [0]
p(g_1#) = [1] x2 + [1]
p(g_10#) = [12] x2 + [0]
p(g_2#) = [2] x1 + [0]
p(g_3#) = [8] x2 + [0]
p(g_4#) = [8] x2 + [0]
p(g_5#) = [8] x2 + [0]
p(g_6#) = [8] x2 + [0]
p(g_7#) = [8] x2 + [0]
p(g_8#) = [1] x1 + [11] x2 + [0]
p(g_9#) = [12] x2 + [0]
p(c_1) = [1]
p(c_2) = [0]
p(c_3) = [2]
p(c_4) = [4] x1 + [0]
p(c_5) = [2] x1 + [8]
p(c_6) = [1] x1 + [4]
p(c_7) = [1] x1 + [0]
p(c_8) = [1] x1 + [0]
p(c_9) = [4] x1 + [2]
p(c_10) = [1] x1 + [1]
p(c_11) = [4] x1 + [1]
p(c_12) = [1] x1 + [0]
p(c_13) = [1] x2 + [2]
p(c_14) = [8] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_15) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_16) = [1] x1 + [0]
p(c_17) = [2] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_18) = [4] x1 + [0]
p(c_19) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_20) = [1] x1 + [2]
p(c_21) = [1] x1 + [2] x2 + [4]
Following rules are strictly oriented:
f_1#(x) = [2]
> [0]
= c_2()
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_2#(x) = [8] x + [0]
>= [8] x + [0]
= c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) = [8] x + [0]
>= [8] x + [0]
= g_3#(x,x)
f_4#(x) = [8] x + [0]
>= [8] x + [0]
= g_4#(x,x)
f_5#(x) = [8] x + [0]
>= [8] x + [0]
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = [8] x + [0]
>= [8] x + [0]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [8] x + [0]
>= [8] x + [0]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [12] x + [0]
>= [12] x + [0]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [12] x + [0]
>= [12] x + [0]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [12] y + [0]
>= [12] y + [0]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [12] y + [0]
>= [12] y + [0]
= g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) = [2] x + [16]
>= [2] x + [16]
= c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= f_2#(y)
g_3#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= f_3#(y)
g_4#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [8] y + [0]
>= [8] y + [0]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [1] x + [11] y + [8]
>= [8] y + [0]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [1] x + [11] y + [8]
>= [1] x + [11] y + [0]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [12] y + [0]
>= [12] y + [0]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [12] y + [0]
>= [12] y + [0]
= g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_1#(x) -> c_2()
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_1#(x) -> c_2()
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):2
2:S:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_1 f_1#(x) -> c_2():3
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):2
3:W:f_1#(x) -> c_2()
4:W:f_3#(x) -> g_3#(x,x)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):14
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):13
5:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):16
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):15
6:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):18
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):17
7:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):20
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):19
8:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):22
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):21
9:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):24
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):23
10:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):26
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):25
11:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):10
12:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):12
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):11
13:W:g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):1
14:W:g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):14
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):13
15:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> g_3#(x,x):4
16:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):16
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):15
17:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):5
18:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):18
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):17
19:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):6
20:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):20
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):19
21:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):7
22:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):22
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):21
23:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):8
24:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):24
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):23
25:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):9
26:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):26
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):25
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
3: f_1#(x) -> c_2()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/2,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
SimplifyRHS
Proof:
Consider the dependency graph
1:S:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):2
2:S:g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y))
-->_2 g_2#(s(x),y) -> c_14(f_1#(y),g_2#(x,y)):2
4:W:f_3#(x) -> g_3#(x,x)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):14
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):13
5:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):16
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):15
6:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):18
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):17
7:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):20
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):19
8:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):22
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):21
9:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):24
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):23
10:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):26
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):25
11:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):10
12:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):12
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):11
13:W:g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):1
14:W:g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):14
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):13
15:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> g_3#(x,x):4
16:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):16
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):15
17:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):5
18:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):18
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):17
19:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):6
20:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):20
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):19
21:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):7
22:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):22
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):21
23:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):8
24:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):24
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):23
25:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):9
26:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):26
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):25
Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified:
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy}}
Proof:
We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing, greedy = NoGreedy} to orient following rules strictly:
1: f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
2: g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
The strictly oriented rules are moved into the weak component.
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1 Progress [(?,O(n^1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, greedy = NoGreedy}
Proof:
We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation:
The following argument positions are considered usable:
uargs(c_4) = {1},
uargs(c_14) = {1}
Following symbols are considered usable:
{}
TcT has computed the following interpretation:
p(a) = [2]
p(b) = [1] x2 + [0]
p(f_0) = [2]
p(f_1) = [8]
p(f_10) = [2] x1 + [0]
p(f_2) = [1] x1 + [0]
p(f_3) = [1] x1 + [0]
p(f_4) = [2] x1 + [0]
p(f_5) = [1] x1 + [1]
p(f_6) = [1] x1 + [2]
p(f_7) = [1] x1 + [2]
p(f_8) = [8] x1 + [1]
p(f_9) = [1] x1 + [1]
p(g_1) = [1] x1 + [8] x2 + [2]
p(g_10) = [8] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_2) = [2] x1 + [2]
p(g_3) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_4) = [1] x2 + [2]
p(g_5) = [1] x2 + [1]
p(g_6) = [2]
p(g_7) = [1]
p(g_8) = [1] x2 + [1]
p(g_9) = [1] x1 + [8]
p(s) = [1] x1 + [4]
p(f_0#) = [1] x1 + [0]
p(f_1#) = [0]
p(f_10#) = [1] x1 + [0]
p(f_2#) = [2] x1 + [1]
p(f_3#) = [2] x1 + [1]
p(f_4#) = [3] x1 + [1]
p(f_5#) = [3] x1 + [1]
p(f_6#) = [3] x1 + [4]
p(f_7#) = [4] x1 + [0]
p(f_8#) = [9] x1 + [3]
p(f_9#) = [10] x1 + [2]
p(g_1#) = [1] x1 + [1] x2 + [2]
p(g_10#) = [10] x2 + [2]
p(g_2#) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(g_3#) = [2] x2 + [1]
p(g_4#) = [2] x2 + [1]
p(g_5#) = [3] x2 + [1]
p(g_6#) = [3] x2 + [1]
p(g_7#) = [1] x1 + [3] x2 + [0]
p(g_8#) = [4] x2 + [3]
p(g_9#) = [1] x1 + [9] x2 + [2]
p(c_1) = [8]
p(c_2) = [1]
p(c_3) = [2] x1 + [1]
p(c_4) = [1] x1 + [0]
p(c_5) = [1]
p(c_6) = [2] x1 + [1]
p(c_7) = [1] x1 + [0]
p(c_8) = [1] x1 + [0]
p(c_9) = [1] x1 + [0]
p(c_10) = [2] x1 + [1]
p(c_11) = [1]
p(c_12) = [4]
p(c_13) = [2] x1 + [0]
p(c_14) = [1] x1 + [0]
p(c_15) = [4] x1 + [1] x2 + [1]
p(c_16) = [1] x2 + [1]
p(c_17) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
p(c_18) = [1] x1 + [2]
p(c_19) = [8] x2 + [1]
p(c_20) = [1] x1 + [2]
p(c_21) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
Following rules are strictly oriented:
f_2#(x) = [2] x + [1]
> [2] x + [0]
= c_4(g_2#(x,x))
g_2#(s(x),y) = [1] x + [1] y + [4]
> [1] x + [1] y + [0]
= c_14(g_2#(x,y))
Following rules are (at-least) weakly oriented:
f_3#(x) = [2] x + [1]
>= [2] x + [1]
= g_3#(x,x)
f_4#(x) = [3] x + [1]
>= [2] x + [1]
= g_4#(x,x)
f_5#(x) = [3] x + [1]
>= [3] x + [1]
= g_5#(x,x)
f_6#(x) = [3] x + [4]
>= [3] x + [1]
= g_6#(x,x)
f_7#(x) = [4] x + [0]
>= [4] x + [0]
= g_7#(x,x)
f_8#(x) = [9] x + [3]
>= [4] x + [3]
= g_8#(x,x)
f_9#(x) = [10] x + [2]
>= [10] x + [2]
= g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) = [10] y + [2]
>= [10] y + [2]
= f_9#(y)
g_10#(s(x),y) = [10] y + [2]
>= [10] y + [2]
= g_10#(x,y)
g_3#(s(x),y) = [2] y + [1]
>= [2] y + [1]
= f_2#(y)
g_3#(s(x),y) = [2] y + [1]
>= [2] y + [1]
= g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) = [2] y + [1]
>= [2] y + [1]
= f_3#(y)
g_4#(s(x),y) = [2] y + [1]
>= [2] y + [1]
= g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) = [3] y + [1]
>= [3] y + [1]
= f_4#(y)
g_5#(s(x),y) = [3] y + [1]
>= [3] y + [1]
= g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) = [3] y + [1]
>= [3] y + [1]
= f_5#(y)
g_6#(s(x),y) = [3] y + [1]
>= [3] y + [1]
= g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) = [1] x + [3] y + [4]
>= [3] y + [4]
= f_6#(y)
g_7#(s(x),y) = [1] x + [3] y + [4]
>= [1] x + [3] y + [0]
= g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) = [4] y + [3]
>= [4] y + [0]
= f_7#(y)
g_8#(s(x),y) = [4] y + [3]
>= [4] y + [3]
= g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) = [1] x + [9] y + [6]
>= [9] y + [3]
= f_8#(y)
g_9#(s(x),y) = [1] x + [9] y + [6]
>= [1] x + [9] y + [2]
= g_9#(x,y)
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1 Progress [(?,O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
Assumption
Proof:
()
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.1.2 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
f_3#(x) -> g_3#(x,x)
f_4#(x) -> g_4#(x,x)
f_5#(x) -> g_5#(x,x)
f_6#(x) -> g_6#(x,x)
f_7#(x) -> g_7#(x,x)
f_8#(x) -> g_8#(x,x)
f_9#(x) -> g_9#(x,x)
g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
RemoveWeakSuffixes
Proof:
Consider the dependency graph
1:W:f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y)):11
2:W:f_3#(x) -> g_3#(x,x)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):13
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):12
3:W:f_4#(x) -> g_4#(x,x)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):15
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):14
4:W:f_5#(x) -> g_5#(x,x)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):17
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):16
5:W:f_6#(x) -> g_6#(x,x)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):19
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):18
6:W:f_7#(x) -> g_7#(x,x)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):21
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):20
7:W:f_8#(x) -> g_8#(x,x)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):23
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):22
8:W:f_9#(x) -> g_9#(x,x)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):25
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):24
9:W:g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
-->_1 f_9#(x) -> g_9#(x,x):8
10:W:g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
-->_1 g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y):10
-->_1 g_10#(s(x),y) -> f_9#(y):9
11:W:g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
-->_1 g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y)):11
12:W:g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
-->_1 f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x)):1
13:W:g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
-->_1 g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y):13
-->_1 g_3#(s(x),y) -> f_2#(y):12
14:W:g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
-->_1 f_3#(x) -> g_3#(x,x):2
15:W:g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
-->_1 g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y):15
-->_1 g_4#(s(x),y) -> f_3#(y):14
16:W:g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
-->_1 f_4#(x) -> g_4#(x,x):3
17:W:g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
-->_1 g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y):17
-->_1 g_5#(s(x),y) -> f_4#(y):16
18:W:g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
-->_1 f_5#(x) -> g_5#(x,x):4
19:W:g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
-->_1 g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y):19
-->_1 g_6#(s(x),y) -> f_5#(y):18
20:W:g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
-->_1 f_6#(x) -> g_6#(x,x):5
21:W:g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
-->_1 g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y):21
-->_1 g_7#(s(x),y) -> f_6#(y):20
22:W:g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
-->_1 f_7#(x) -> g_7#(x,x):6
23:W:g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
-->_1 g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y):23
-->_1 g_8#(s(x),y) -> f_7#(y):22
24:W:g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
-->_1 f_8#(x) -> g_8#(x,x):7
25:W:g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
-->_1 g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y):25
-->_1 g_9#(s(x),y) -> f_8#(y):24
The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed.
10: g_10#(s(x),y) -> g_10#(x,y)
9: g_10#(s(x),y) -> f_9#(y)
8: f_9#(x) -> g_9#(x,x)
25: g_9#(s(x),y) -> g_9#(x,y)
24: g_9#(s(x),y) -> f_8#(y)
7: f_8#(x) -> g_8#(x,x)
23: g_8#(s(x),y) -> g_8#(x,y)
22: g_8#(s(x),y) -> f_7#(y)
6: f_7#(x) -> g_7#(x,x)
21: g_7#(s(x),y) -> g_7#(x,y)
20: g_7#(s(x),y) -> f_6#(y)
5: f_6#(x) -> g_6#(x,x)
19: g_6#(s(x),y) -> g_6#(x,y)
18: g_6#(s(x),y) -> f_5#(y)
4: f_5#(x) -> g_5#(x,x)
17: g_5#(s(x),y) -> g_5#(x,y)
16: g_5#(s(x),y) -> f_4#(y)
3: f_4#(x) -> g_4#(x,x)
15: g_4#(s(x),y) -> g_4#(x,y)
14: g_4#(s(x),y) -> f_3#(y)
2: f_3#(x) -> g_3#(x,x)
13: g_3#(s(x),y) -> g_3#(x,y)
12: g_3#(s(x),y) -> f_2#(y)
1: f_2#(x) -> c_4(g_2#(x,x))
11: g_2#(s(x),y) -> c_14(g_2#(x,y))
*** 1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.1.2.1 Progress [(O(1),O(1))] ***
Considered Problem:
Strict DP Rules:
Strict TRS Rules:
Weak DP Rules:
Weak TRS Rules:
Signature:
{f_0/1,f_1/1,f_10/1,f_2/1,f_3/1,f_4/1,f_5/1,f_6/1,f_7/1,f_8/1,f_9/1,g_1/2,g_10/2,g_2/2,g_3/2,g_4/2,g_5/2,g_6/2,g_7/2,g_8/2,g_9/2,f_0#/1,f_1#/1,f_10#/1,f_2#/1,f_3#/1,f_4#/1,f_5#/1,f_6#/1,f_7#/1,f_8#/1,f_9#/1,g_1#/2,g_10#/2,g_2#/2,g_3#/2,g_4#/2,g_5#/2,g_6#/2,g_7#/2,g_8#/2,g_9#/2} / {a/0,b/2,s/1,c_1/0,c_2/0,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/1,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/2,c_14/1,c_15/2,c_16/2,c_17/2,c_18/2,c_19/2,c_20/2,c_21/2}
Obligation:
Full
basic terms: {f_0#,f_1#,f_10#,f_2#,f_3#,f_4#,f_5#,f_6#,f_7#,f_8#,f_9#,g_1#,g_10#,g_2#,g_3#,g_4#,g_5#,g_6#,g_7#,g_8#,g_9#}/{a,b,s}
Applied Processor:
EmptyProcessor
Proof:
The problem is already closed. The intended complexity is O(1).