The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

fst(0, Z) → nil
fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, fst(X, Z))
from(X) → cons(X, from(s(X)))
add(0, X) → X
add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
len(nil) → 0
len(cons(X, Z)) → s(len(Z))

Rewrite Strategy: FULL

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, fst(X, Z))
from(X) → cons(X, from(s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
len(nil) → 0'
len(cons(X, Z)) → s(len(Z))

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(4) Obligation:

TRS:
Rules:
fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, fst(X, Z))
from(X) → cons(X, from(s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
len(nil) → 0'
len(cons(X, Z)) → s(len(Z))

Types:
fst :: 0':s → nil:cons → nil:cons
0' :: 0':s
nil :: nil:cons
s :: 0':s → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons → nil:cons
from :: 0':s → nil:cons
add :: 0':s → 0':s → 0':s
len :: nil:cons → 0':s
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
fst, from, add, len

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, fst(X, Z))
from(X) → cons(X, from(s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
len(nil) → 0'
len(cons(X, Z)) → s(len(Z))

Types:
fst :: 0':s → nil:cons → nil:cons
0' :: 0':s
nil :: nil:cons
s :: 0':s → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons → nil:cons
from :: 0':s → nil:cons
add :: 0':s → 0':s → 0':s
len :: nil:cons → 0':s
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
fst, from, add, len

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
fst(gen_0':s4_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(n6_0)) → gen_nil:cons3_0(n6_0), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

Induction Base:
fst(gen_0':s4_0(0), gen_nil:cons3_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
fst(gen_0':s4_0(+(n6_0, 1)), gen_nil:cons3_0(+(n6_0, 1))) →_R^Ω(1)
cons(0', fst(gen_0':s4_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(n6_0))) →_IH
cons(0', gen_nil:cons3_0(c7_0))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(8) Complex Obligation (BEST)

(9) Obligation:

TRS:
Rules:
fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, fst(X, Z))
from(X) → cons(X, from(s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
len(nil) → 0'
len(cons(X, Z)) → s(len(Z))

Types:
fst :: 0':s → nil:cons → nil:cons
0' :: 0':s
nil :: nil:cons
s :: 0':s → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons → nil:cons
from :: 0':s → nil:cons
add :: 0':s → 0':s → 0':s
len :: nil:cons → 0':s
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Lemmas:
fst(gen_0':s4_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(n6_0)) → gen_nil:cons3_0(n6_0), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
from, add, len

(10) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol from.

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, fst(X, Z))
from(X) → cons(X, from(s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
len(nil) → 0'
len(cons(X, Z)) → s(len(Z))

Types:
fst :: 0':s → nil:cons → nil:cons
0' :: 0':s
nil :: nil:cons
s :: 0':s → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons → nil:cons
from :: 0':s → nil:cons
add :: 0':s → 0':s → 0':s
len :: nil:cons → 0':s
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Lemmas:
fst(gen_0':s4_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(n6_0)) → gen_nil:cons3_0(n6_0), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
add, len

(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
add(gen_0':s4_0(n335_0), gen_0':s4_0(b)) → gen_0':s4_0(+(n335_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n335₀)

Induction Base:
add(gen_0':s4_0(0), gen_0':s4_0(b)) →_R^Ω(1)
gen_0':s4_0(b)

Induction Step:
add(gen_0':s4_0(+(n335_0, 1)), gen_0':s4_0(b)) →_R^Ω(1)
s(add(gen_0':s4_0(n335_0), gen_0':s4_0(b))) →_IH
s(gen_0':s4_0(+(b, c336_0)))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(13) Complex Obligation (BEST)

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, fst(X, Z))
from(X) → cons(X, from(s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
len(nil) → 0'
len(cons(X, Z)) → s(len(Z))

Types:
fst :: 0':s → nil:cons → nil:cons
0' :: 0':s
nil :: nil:cons
s :: 0':s → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons → nil:cons
from :: 0':s → nil:cons
add :: 0':s → 0':s → 0':s
len :: nil:cons → 0':s
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Lemmas:
fst(gen_0':s4_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(n6_0)) → gen_nil:cons3_0(n6_0), rt ∈ Ω(1 + n6₀)
add(gen_0':s4_0(n335_0), gen_0':s4_0(b)) → gen_0':s4_0(+(n335_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n335₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
len

(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
len(gen_nil:cons3_0(n1008_0)) → gen_0':s4_0(n1008_0), rt ∈ Ω(1 + n1008₀)

Induction Base:
len(gen_nil:cons3_0(0)) →_R^Ω(1)
0'

Induction Step:
len(gen_nil:cons3_0(+(n1008_0, 1))) →_R^Ω(1)
s(len(gen_nil:cons3_0(n1008_0))) →_IH
s(gen_0':s4_0(c1009_0))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(16) Complex Obligation (BEST)

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, fst(X, Z))
from(X) → cons(X, from(s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
len(nil) → 0'
len(cons(X, Z)) → s(len(Z))

Types:
fst :: 0':s → nil:cons → nil:cons
0' :: 0':s
nil :: nil:cons
s :: 0':s → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons → nil:cons
from :: 0':s → nil:cons
add :: 0':s → 0':s → 0':s
len :: nil:cons → 0':s
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Lemmas:
fst(gen_0':s4_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(n6_0)) → gen_nil:cons3_0(n6_0), rt ∈ Ω(1 + n6₀)
add(gen_0':s4_0(n335_0), gen_0':s4_0(b)) → gen_0':s4_0(+(n335_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n335₀)
len(gen_nil:cons3_0(n1008_0)) → gen_0':s4_0(n1008_0), rt ∈ Ω(1 + n1008₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(18) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
fst(gen_0':s4_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(n6_0)) → gen_nil:cons3_0(n6_0), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

(19) BOUNDS(n^1, INF)

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, fst(X, Z))
from(X) → cons(X, from(s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
len(nil) → 0'
len(cons(X, Z)) → s(len(Z))

Types:
fst :: 0':s → nil:cons → nil:cons
0' :: 0':s
nil :: nil:cons
s :: 0':s → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons → nil:cons
from :: 0':s → nil:cons
add :: 0':s → 0':s → 0':s
len :: nil:cons → 0':s
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Lemmas:
fst(gen_0':s4_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(n6_0)) → gen_nil:cons3_0(n6_0), rt ∈ Ω(1 + n6₀)
add(gen_0':s4_0(n335_0), gen_0':s4_0(b)) → gen_0':s4_0(+(n335_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n335₀)
len(gen_nil:cons3_0(n1008_0)) → gen_0':s4_0(n1008_0), rt ∈ Ω(1 + n1008₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(21) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
fst(gen_0':s4_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(n6_0)) → gen_nil:cons3_0(n6_0), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

(22) BOUNDS(n^1, INF)

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, fst(X, Z))
from(X) → cons(X, from(s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
len(nil) → 0'
len(cons(X, Z)) → s(len(Z))

Types:
fst :: 0':s → nil:cons → nil:cons
0' :: 0':s
nil :: nil:cons
s :: 0':s → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons → nil:cons
from :: 0':s → nil:cons
add :: 0':s → 0':s → 0':s
len :: nil:cons → 0':s
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Lemmas:
fst(gen_0':s4_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(n6_0)) → gen_nil:cons3_0(n6_0), rt ∈ Ω(1 + n6₀)
add(gen_0':s4_0(n335_0), gen_0':s4_0(b)) → gen_0':s4_0(+(n335_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n335₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(24) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
fst(gen_0':s4_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(n6_0)) → gen_nil:cons3_0(n6_0), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

(25) BOUNDS(n^1, INF)

(26) Obligation:

TRS:
Rules:
fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, fst(X, Z))
from(X) → cons(X, from(s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
len(nil) → 0'
len(cons(X, Z)) → s(len(Z))

Types:
fst :: 0':s → nil:cons → nil:cons
0' :: 0':s
nil :: nil:cons
s :: 0':s → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons → nil:cons
from :: 0':s → nil:cons
add :: 0':s → 0':s → 0':s
len :: nil:cons → 0':s
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_0':s2_0 :: 0':s
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s

Lemmas:
fst(gen_0':s4_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(n6_0)) → gen_nil:cons3_0(n6_0), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons3_0(x))
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(27) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
fst(gen_0':s4_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(n6_0)) → gen_nil:cons3_0(n6_0), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

(28) BOUNDS(n^1, INF)