The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

le(0, y) → true
le(s(x), 0) → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0, 0) → true
eq(0, s(y)) → false
eq(s(x), 0) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Rewrite Strategy: FULL

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(4) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
le, eq, minsort, min, del

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < min
eq < del
min < minsort
del < minsort

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
le, eq, minsort, min, del

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < min
eq < del
min < minsort
del < minsort

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n5₀)

Induction Base:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(0), gen_0':s:nil:cons3_0(0)) →_R^Ω(1)
true

Induction Step:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(+(n5_0, 1)), gen_0':s:nil:cons3_0(+(n5_0, 1))) →_R^Ω(1)
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) →_IH
true

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(8) Complex Obligation (BEST)

(9) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Lemmas:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n5₀)

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
eq, minsort, min, del

They will be analysed ascendingly in the following order:
eq < del
min < minsort
del < minsort

(10) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n306₀)

Induction Base:
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(0), gen_0':s:nil:cons3_0(0)) →_R^Ω(1)
true

Induction Step:
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(+(n306_0, 1)), gen_0':s:nil:cons3_0(+(n306_0, 1))) →_R^Ω(1)
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0)) →_IH
true

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(11) Complex Obligation (BEST)

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Lemmas:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n5₀)
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n306₀)

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
min, minsort, del

They will be analysed ascendingly in the following order:
min < minsort
del < minsort

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol min.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Lemmas:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n5₀)
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n306₀)

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
del, minsort

They will be analysed ascendingly in the following order:
del < minsort

(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol del.

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Lemmas:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n5₀)
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n306₀)

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
minsort

(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol minsort.

(18) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Lemmas:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n5₀)
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n306₀)

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(19) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n5₀)

(20) BOUNDS(n^1, INF)

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Lemmas:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n5₀)
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n306₀)

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(22) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n5₀)

(23) BOUNDS(n^1, INF)

(24) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Lemmas:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n5₀)

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(25) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n5₀)

(26) BOUNDS(n^1, INF)