Termination w.r.t. Q of the given QTRS could be proven:

0 QTRS
↳1 DependencyPairsProof (⇔)
↳2 QDP
↳3 ForwardInstantiation (⇔)
↳4 QDP
↳5 ForwardInstantiation (⇔)
↳6 QDP
↳7 SemLabProof (⇐)
↳8 QDP
↳9 DependencyGraphProof (⇔)
↳10 QDP
↳11 QDPOrderProof (⇔)
↳12 QDP
↳13 DependencyGraphProof (⇔)
↳14 AND
  ↳15 QDP
    ↳16 UsableRulesReductionPairsProof (⇔)
    ↳17 QDP
    ↳18 MRRProof (⇔)
    ↳19 QDP
    ↳20 PisEmptyProof (⇔)
    ↳21 TRUE
  ↳22 QDP
    ↳23 QDPOrderProof (⇔)
    ↳24 QDP
    ↳25 PisEmptyProof (⇔)
    ↳26 TRUE

(0) Obligation:

Q restricted rewrite system:
The TRS R consists of the following rules:

f(f(x, y, a), z, w) → f(z, w, f(y, x, z))

Q is empty.

(1) DependencyPairsProof (EQUIVALENT transformation)

Using Dependency Pairs [AG00,LPAR04] we result in the following initial DP problem.

(2) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F(f(x, y, a), z, w) → F(z, w, f(y, x, z))
F(f(x, y, a), z, w) → F(y, x, z)

The TRS R consists of the following rules:

f(f(x, y, a), z, w) → f(z, w, f(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(3) ForwardInstantiation (EQUIVALENT transformation)

By forward instantiating [JAR06] the rule F(f(x, y, a), z, w) → F(z, w, f(y, x, z)) we obtained the following new rules [LPAR04]:

F(f(x0, x1, a), f(y_0, y_1, a), x3) → F(f(y_0, y_1, a), x3, f(x1, x0, f(y_0, y_1, a)))

(4) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F(f(x, y, a), z, w) → F(y, x, z)
F(f(x0, x1, a), f(y_0, y_1, a), x3) → F(f(y_0, y_1, a), x3, f(x1, x0, f(y_0, y_1, a)))

The TRS R consists of the following rules:

f(f(x, y, a), z, w) → f(z, w, f(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(5) ForwardInstantiation (EQUIVALENT transformation)

By forward instantiating [JAR06] the rule F(f(x, y, a), z, w) → F(y, x, z) we obtained the following new rules [LPAR04]:

F(f(x0, f(y_0, y_1, a), a), x2, x3) → F(f(y_0, y_1, a), x0, x2)
F(f(f(y_2, y_3, a), f(y_0, y_1, a), a), x2, x3) → F(f(y_0, y_1, a), f(y_2, y_3, a), x2)

(6) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F(f(x0, x1, a), f(y_0, y_1, a), x3) → F(f(y_0, y_1, a), x3, f(x1, x0, f(y_0, y_1, a)))
F(f(x0, f(y_0, y_1, a), a), x2, x3) → F(f(y_0, y_1, a), x0, x2)
F(f(f(y_2, y_3, a), f(y_0, y_1, a), a), x2, x3) → F(f(y_0, y_1, a), f(y_2, y_3, a), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f(f(x, y, a), z, w) → f(z, w, f(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(7) SemLabProof (SOUND transformation)

We found the following model for the rules of the TRS R. Interpretation over the domain with elements from 0 to 1.a: 1
f: 0
F: 0
By semantic labelling [SEMLAB] we obtain the following labelled TRS.

(8) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(9) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

The approximation of the Dependency Graph [LPAR04,FROCOS05,EDGSTAR] contains 1 SCC with 24 less nodes.

(10) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(11) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

We use the reduction pair processor [LPAR04].


The following pairs can be oriented strictly and are deleted.


F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.0-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-0-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-1(f.1-1-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.1-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
The remaining pairs can at least be oriented weakly.
Used ordering: Polynomial interpretation [POLO]:

POL(F.0-0-0(x1, x2, x3)) = x1 + x2 + x3   
POL(F.0-0-1(x1, x2, x3)) = 1 + x1 + x2   
POL(F.0-1-0(x1, x2, x3)) = x1   
POL(F.0-1-1(x1, x2, x3)) = x1   
POL(a.) = 0   
POL(f.0-0-0(x1, x2, x3)) = 0   
POL(f.0-0-1(x1, x2, x3)) = 1 + x1 + x2   
POL(f.0-1-0(x1, x2, x3)) = x1   
POL(f.0-1-1(x1, x2, x3)) = 1 + x1 + x2   
POL(f.1-0-0(x1, x2, x3)) = 0   
POL(f.1-0-1(x1, x2, x3)) = x2   
POL(f.1-1-0(x1, x2, x3)) = x1   
POL(f.1-1-1(x1, x2, x3)) = 1 + x2   

The following usable rules [FROCOS05] were oriented:

f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

(12) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.)))
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-0-0(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-0(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(x0, f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.0-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.0-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.0-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.0-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-0-1(y_2, y_3, a.), f.1-1-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-1-1(y_0, y_1, a.), f.1-0-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.0-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.0-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.0-0-1(f.1-1-1(y_2, y_3, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-0-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), f.1-1-1(y_2, y_3, a.), x2)
F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(13) DependencyGraphProof (EQUIVALENT transformation)

The approximation of the Dependency Graph [LPAR04,FROCOS05,EDGSTAR] contains 2 SCCs with 40 less nodes.

(14) Complex Obligation (AND)

(15) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)

The TRS R consists of the following rules:

f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(16) UsableRulesReductionPairsProof (EQUIVALENT transformation)

By using the usable rules with reduction pair processor [LPAR04] with a polynomial ordering [POLO], all dependency pairs and the corresponding usable rules [FROCOS05] can be oriented non-strictly. All non-usable rules are removed, and those dependency pairs and usable rules that have been oriented strictly or contain non-usable symbols in their left-hand side are removed as well.

No dependency pairs are removed.

No rules are removed from R.

Used ordering: POLO with Polynomial interpretation [POLO]:

POL(F.0-1-1(x1, x2, x3)) = x1 + x2 + x3   
POL(a.) = 0   
POL(f.1-0-1(x1, x2, x3)) = x1 + x2 + x3   

(17) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)

R is empty.
Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(18) MRRProof (EQUIVALENT transformation)

By using the rule removal processor [LPAR04] with the following ordering, at least one Dependency Pair or term rewrite system rule of this QDP problem can be strictly oriented.
Strictly oriented dependency pairs:

F.0-1-1(f.1-0-1(x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.), a.), x2, x3) → F.0-1-1(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x0, x2)


Used ordering: Polynomial interpretation [POLO]:

POL(F.0-1-1(x1, x2, x3)) = x1 + x2 + x3   
POL(a.) = 1   
POL(f.1-0-1(x1, x2, x3)) = x1 + x2 + x3   

(19) Obligation:

Q DP problem:
P is empty.
R is empty.
Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(20) PisEmptyProof (EQUIVALENT transformation)

The TRS P is empty. Hence, there is no (P,Q,R) chain.

(21) TRUE

(22) Obligation:

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))

The TRS R consists of the following rules:

f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(23) QDPOrderProof (EQUIVALENT transformation)

We use the reduction pair processor [LPAR04].


The following pairs can be oriented strictly and are deleted.


F.0-0-0(f.1-0-1(x0, x1, a.), f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3) → F.0-0-0(f.1-0-1(y_0, y_1, a.), x3, f.0-1-0(x1, x0, f.1-0-1(y_0, y_1, a.)))
The remaining pairs can at least be oriented weakly.
Used ordering: Polynomial interpretation [POLO]:

POL(F.0-0-0(x1, x2, x3)) = x2 + x3   
POL(a.) = 1   
POL(f.0-0-0(x1, x2, x3)) = 0   
POL(f.0-0-1(x1, x2, x3)) = x1 + x2 + x3   
POL(f.0-1-0(x1, x2, x3)) = 1   
POL(f.0-1-1(x1, x2, x3)) = 1 + x1 + x2 + x3   
POL(f.1-0-0(x1, x2, x3)) = 1   
POL(f.1-0-1(x1, x2, x3)) = 1 + x1 + x3   
POL(f.1-1-0(x1, x2, x3)) = 1 + x2   
POL(f.1-1-1(x1, x2, x3)) = 1 + x1 + x2   

The following usable rules [FROCOS05] were oriented:

f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))

(24) Obligation:

Q DP problem:
P is empty.
The TRS R consists of the following rules:

f.0-1-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-1-1(y, x, z))
f.0-1-0(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-1-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-1-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-0-0(y, x, z))
f.0-1-0(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-0-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-0-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.0-1-0(y, x, z))
f.0-0-1(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-1-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.1-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.1-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-1-0(y, x, z))
f.0-1-1(f.0-0-1(x, y, a.), z, w) → f.1-1-0(z, w, f.0-0-1(y, x, z))
f.0-0-0(f.0-1-1(x, y, a.), z, w) → f.0-0-0(z, w, f.1-0-0(y, x, z))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

(25) PisEmptyProof (EQUIVALENT transformation)

The TRS P is empty. Hence, there is no (P,Q,R) chain.

(26) TRUE