Termination Proof using AProVE

Term Rewriting System R:
[x, y, h, i, u, v]
eq(0, 0) -> true
eq(0, s(x)) -> false
eq(s(x), 0) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
or(true, y) -> true
or(false, y) -> y
union(empty, h) -> h
union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h))
reach(x, y, empty, h) -> false
reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₁(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₂(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h))
if_reach₂(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true
if_reach₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty))

Termination of R to be shown.

     ↳Dependency Pair Analysis

R contains the following Dependency Pairs:

EQ(s(x), s(y)) -> EQ(x, y)
UNION(edge(x, y, i), h) -> UNION(i, h)
REACH(x, y, edge(u, v, i), h) -> IF_REACH₁(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h)
REACH(x, y, edge(u, v, i), h) -> EQ(x, u)
IF_REACH₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> IF_REACH₂(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h)
IF_REACH₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> EQ(y, v)
IF_REACH₁(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> REACH(x, y, i, edge(u, v, h))
IF_REACH₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> OR(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty))
IF_REACH₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> REACH(x, y, i, h)
IF_REACH₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> REACH(v, y, union(i, h), empty)
IF_REACH₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> UNION(i, h)

Furthermore, R contains three SCCs.

     ↳DPs

       →DP Problem 1

         ↳Remaining Obligation(s)

       →DP Problem 2

         ↳Remaining Obligation(s)

       →DP Problem 3

         ↳Remaining Obligation(s)

The following remains to be proven:

Dependency Pair:
EQ(s(x), s(y)) -> EQ(x, y)

Rules:

eq(0, 0) -> true
eq(0, s(x)) -> false
eq(s(x), 0) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
or(true, y) -> true
or(false, y) -> y
union(empty, h) -> h
union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h))
reach(x, y, empty, h) -> false
reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₁(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₂(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h))
if_reach₂(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true
if_reach₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty))
Dependency Pair:
UNION(edge(x, y, i), h) -> UNION(i, h)

Rules:

eq(0, 0) -> true
eq(0, s(x)) -> false
eq(s(x), 0) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
or(true, y) -> true
or(false, y) -> y
union(empty, h) -> h
union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h))
reach(x, y, empty, h) -> false
reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₁(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₂(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h))
if_reach₂(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true
if_reach₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty))
Dependency Pairs:
IF_REACH₁(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> REACH(x, y, i, edge(u, v, h))
IF_REACH₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> REACH(v, y, union(i, h), empty)
IF_REACH₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> REACH(x, y, i, h)
IF_REACH₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> IF_REACH₂(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h)
REACH(x, y, edge(u, v, i), h) -> IF_REACH₁(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h)

Rules:

eq(0, 0) -> true
eq(0, s(x)) -> false
eq(s(x), 0) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
or(true, y) -> true
or(false, y) -> y
union(empty, h) -> h
union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h))
reach(x, y, empty, h) -> false
reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₁(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₂(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h))
if_reach₂(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true
if_reach₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty))

     ↳DPs

       →DP Problem 1

         ↳Remaining Obligation(s)

       →DP Problem 2

         ↳Remaining Obligation(s)

       →DP Problem 3

         ↳Remaining Obligation(s)

The following remains to be proven:

Dependency Pair:
EQ(s(x), s(y)) -> EQ(x, y)

Rules:

eq(0, 0) -> true
eq(0, s(x)) -> false
eq(s(x), 0) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
or(true, y) -> true
or(false, y) -> y
union(empty, h) -> h
union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h))
reach(x, y, empty, h) -> false
reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₁(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₂(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h))
if_reach₂(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true
if_reach₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty))
Dependency Pair:
UNION(edge(x, y, i), h) -> UNION(i, h)

Rules:

eq(0, 0) -> true
eq(0, s(x)) -> false
eq(s(x), 0) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
or(true, y) -> true
or(false, y) -> y
union(empty, h) -> h
union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h))
reach(x, y, empty, h) -> false
reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₁(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₂(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h))
if_reach₂(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true
if_reach₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty))
Dependency Pairs:
IF_REACH₁(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> REACH(x, y, i, edge(u, v, h))
IF_REACH₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> REACH(v, y, union(i, h), empty)
IF_REACH₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> REACH(x, y, i, h)
IF_REACH₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> IF_REACH₂(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h)
REACH(x, y, edge(u, v, i), h) -> IF_REACH₁(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h)

Rules:

eq(0, 0) -> true
eq(0, s(x)) -> false
eq(s(x), 0) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
or(true, y) -> true
or(false, y) -> y
union(empty, h) -> h
union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h))
reach(x, y, empty, h) -> false
reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₁(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₂(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h))
if_reach₂(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true
if_reach₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty))

     ↳DPs

       →DP Problem 1

         ↳Remaining Obligation(s)

       →DP Problem 2

         ↳Remaining Obligation(s)

       →DP Problem 3

         ↳Remaining Obligation(s)

The following remains to be proven:

Dependency Pair:
EQ(s(x), s(y)) -> EQ(x, y)

Rules:

eq(0, 0) -> true
eq(0, s(x)) -> false
eq(s(x), 0) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
or(true, y) -> true
or(false, y) -> y
union(empty, h) -> h
union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h))
reach(x, y, empty, h) -> false
reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₁(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₂(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h))
if_reach₂(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true
if_reach₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty))
Dependency Pair:
UNION(edge(x, y, i), h) -> UNION(i, h)

Rules:

eq(0, 0) -> true
eq(0, s(x)) -> false
eq(s(x), 0) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
or(true, y) -> true
or(false, y) -> y
union(empty, h) -> h
union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h))
reach(x, y, empty, h) -> false
reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₁(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₂(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h))
if_reach₂(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true
if_reach₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty))
Dependency Pairs:
IF_REACH₁(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> REACH(x, y, i, edge(u, v, h))
IF_REACH₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> REACH(v, y, union(i, h), empty)
IF_REACH₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> REACH(x, y, i, h)
IF_REACH₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> IF_REACH₂(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h)
REACH(x, y, edge(u, v, i), h) -> IF_REACH₁(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h)

Rules:

eq(0, 0) -> true
eq(0, s(x)) -> false
eq(s(x), 0) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
or(true, y) -> true
or(false, y) -> y
union(empty, h) -> h
union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h))
reach(x, y, empty, h) -> false
reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₁(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach₂(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h)
if_reach₁(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h))
if_reach₂(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true
if_reach₂(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty))

Termination of R could not be shown.
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