### (0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0) → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0) → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0) → 0
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Rewrite Strategy: FULL

### (1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2n):
The rewrite sequence
mark(U11(plus(X173362_4, s(X73646_4)), X2)) →+ a__U11(a__U21(a__and(a__isNat(mark(X73646_4)), isNat(mark(X173362_4))), mark(X73646_4), mark(X173362_4)), X2)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0,0].
The pumping substitution is [X73646_4 / U11(plus(X173362_4, s(X73646_4)), X2)].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
mark(U11(plus(X173362_4, s(X73646_4)), X2)) →+ a__U11(a__U21(a__and(a__isNat(mark(X73646_4)), isNat(mark(X173362_4))), mark(X73646_4), mark(X173362_4)), X2)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,1].
The pumping substitution is [X73646_4 / U11(plus(X173362_4, s(X73646_4)), X2)].
The result substitution is [ ].

### (3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

### (4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

Infered types.

### (6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

### (7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11, mark, a__U21, a__plus, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

### (8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U11, a__U21, a__plus, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

### (9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Induction Base:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0)) →RΩ(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(n4_0, 1))) →RΩ(1)
s(mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0))) →IH
s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(c5_0))

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (11) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, a__U21, a__plus, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

### (12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.

### (13) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U21, a__plus, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

### (14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U21.

### (15) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

### (16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__plus.

### (17) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNat, a__and

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

### (18) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(1, n4611_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n46110)

Induction Base:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(1, +(n4611_0, 1)))) →RΩ(1)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(1, n4611_0))) →IH
*3_0

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (20) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(1, n4611_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n46110)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__and, a__U11, mark, a__U21, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

### (21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__and.

### (22) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(1, n4611_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n46110)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U11, a__U21, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

### (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0), rt ∈ Ω(1 + n57340)

Induction Base:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0)) →RΩ(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(n5734_0, 1))) →RΩ(1)
s(mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0))) →IH
s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(c5735_0))

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (25) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0), rt ∈ Ω(1 + n57340)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(1, n4611_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n46110)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, a__U21, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

### (26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.

### (27) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0), rt ∈ Ω(1 + n57340)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(1, n4611_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n46110)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U21, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

### (28) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U21.

### (29) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0), rt ∈ Ω(1 + n57340)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(1, n4611_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n46110)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__and = a__isNat

### (30) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__plus.

### (31) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0), rt ∈ Ω(1 + n57340)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(1, n4611_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n46110)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (32) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0), rt ∈ Ω(1 + n57340)

### (34) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0), rt ∈ Ω(1 + n57340)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(1, n4611_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n46110)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (35) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n5734_0), rt ∈ Ω(1 + n57340)

### (37) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(1, n4611_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n46110)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (38) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

### (40) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (41) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:U11:U21:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)