The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0) → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0) → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0) → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0) → 0
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
mark(plus(X1, s(X280120_4))) →⁺ a__U41(a__and(a__and(a__isNat(mark(X280120_4)), isNatKind(mark(X280120_4))), and(isNat(mark(X1)), isNatKind(mark(X1)))), mark(X280120_4), mark(X1))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0,0].
The pumping substitution is [X280120_4 / plus(X1, s(X280120_4))].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
mark(plus(X1, s(X280120_4))) →⁺ a__U41(a__and(a__and(a__isNat(mark(X280120_4)), isNatKind(mark(X280120_4))), and(isNat(mark(X1)), isNatKind(mark(X1)))), mark(X280120_4), mark(X1))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,1,0].
The pumping substitution is [X280120_4 / plus(X1, s(X280120_4))].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11, a__U12, a__isNat, a__U21, a__U31, mark, a__U41, a__plus, a__and, a__isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U12, a__U11, a__isNat, a__U21, a__U31, mark, a__U41, a__plus, a__and, a__isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U12.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNat, a__U11, a__U21, a__U31, mark, a__U41, a__plus, a__and, a__isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNat.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, a__U21, a__U31, mark, a__U41, a__plus, a__and, a__isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__and, a__U21, a__U31, mark, a__U41, a__plus, a__isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__and.

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U21, a__U31, a__U41, a__plus, a__isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)

Induction Base:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0)) →_R^Ω(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(n1842524_0, 1))) →_R^Ω(1)
s(mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0))) →_IH
s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(c1842525_0))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(18) Complex Obligation (BEST)

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U21, a__U11, a__U12, a__isNat, a__U31, a__U41, a__plus, a__and, a__isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U21.

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U31, a__U11, a__U12, a__isNat, a__U41, a__plus, a__and, a__isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U31.

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U41, a__U11, a__U12, a__isNat, a__plus, a__and, a__isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U41.

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus, a__U11, a__U12, a__isNat, a__and, a__isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__plus.

(27) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNatKind, a__U11, a__U12, a__isNat, a__and

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(28) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190168_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2190168₀)

Induction Base:
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, 0)))

Induction Step:
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, +(n2190168_0, 1)))) →_R^Ω(1)
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190168_0))) →_IH
*3_0

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(29) Complex Obligation (BEST)

(30) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190168_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2190168₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U12, a__U11, a__isNat, a__U21, a__U31, mark, a__U41, a__plus, a__and

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(31) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U12.

(32) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190168_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2190168₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNat, a__U11, a__U21, a__U31, mark, a__U41, a__plus, a__and

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(33) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNat.

(34) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190168_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2190168₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, a__U21, a__U31, mark, a__U41, a__plus, a__and

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(35) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.

(36) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190168_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2190168₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__and, a__U21, a__U31, mark, a__U41, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(37) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__and.

(38) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190168_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2190168₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U21, a__U31, a__U41, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(39) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0), rt ∈ Ω(1 + n2194526₀)

Induction Base:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0)) →_R^Ω(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(n2194526_0, 1))) →_R^Ω(1)
s(mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0))) →_IH
s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(c2194527_0))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(40) Complex Obligation (BEST)

(41) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0), rt ∈ Ω(1 + n2194526₀)
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190168_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2190168₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U21, a__U31, a__U41, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(42) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U21.

(43) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0), rt ∈ Ω(1 + n2194526₀)
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190168_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2190168₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U31, a__U41, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(44) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U31.

(45) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0), rt ∈ Ω(1 + n2194526₀)
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190168_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2190168₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U41, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(46) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U41.

(47) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0), rt ∈ Ω(1 + n2194526₀)
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190168_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2190168₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = mark
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = mark
a__U12 = a__U41
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = mark
a__isNat = a__U41
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = mark
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = mark
a__U31 = a__U41
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
mark = a__U41
mark = a__plus
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind

(48) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__plus.

(49) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0), rt ∈ Ω(1 + n2194526₀)
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190168_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2190168₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(50) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0), rt ∈ Ω(1 + n2194526₀)

(51) BOUNDS(n^1, INF)

(52) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0), rt ∈ Ω(1 + n2194526₀)
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190168_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2190168₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(53) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n2194526_0), rt ∈ Ω(1 + n2194526₀)

(54) BOUNDS(n^1, INF)

(55) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)
a__isNatKind(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(1, n2190168_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2190168₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(56) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)

(57) BOUNDS(n^1, INF)

(58) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, N) → mark(N)
a__U41(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__plus(N, 0') → a__U31(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41 → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U411_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U41

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(59) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNatKind:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U412_0(n1842524_0), rt ∈ Ω(1 + n1842524₀)

(60) BOUNDS(n^1, INF)