Runtime Complexity (full) proof of /tmp/tmpRa0x2J/PALINDROME_nokinds

The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

0 CpxTRS

↳1 DecreasingLoopProof (⇔, 690 ms)

↳2 BOUNDS(n^1, INF)

↳3 RenamingProof (⇔, 0 ms)

↳4 CpxRelTRS

    ↳5 TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms)

    ↳6 typed CpxTrs

    ↳7 OrderProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)

    ↳8 typed CpxTrs

    ↳9 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 1 ms)

    ↳10 typed CpxTrs

    ↳11 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 1106 ms)

    ↳12 BEST

        ↳13 typed CpxTrs

            ↳14 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 3226 ms)

            ↳15 BEST

                ↳16 typed CpxTrs

                    ↳17 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)

                    ↳18 typed CpxTrs

                    ↳19 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)

                    ↳20 typed CpxTrs

                    ↳21 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)

                    ↳22 typed CpxTrs

                    ↳23 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)

                    ↳24 typed CpxTrs

                    ↳25 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 484 ms)

                    ↳26 BEST

                        ↳27 typed CpxTrs

                            ↳28 LowerBoundsProof (⇔, 0 ms)

                            ↳29 BOUNDS(n^2, INF)

                        ↳30 typed CpxTrs

                            ↳31 LowerBoundsProof (⇔, 0 ms)

                            ↳32 BOUNDS(n^2, INF)

                ↳33 typed CpxTrs

                    ↳34 LowerBoundsProof (⇔, 0 ms)

                    ↳35 BOUNDS(n^2, INF)

        ↳36 typed CpxTrs

            ↳37 LowerBoundsProof (⇔, 0 ms)

            ↳38 BOUNDS(n^1, INF)

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
and(tt, X) → activate(X)
isList(V) → isNeList(activate(V))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → and(isList(activate(V1)), n__isList(activate(V2)))
isNeList(V) → isQid(activate(V))
isNeList(n____(V1, V2)) → and(isList(activate(V1)), n__isNeList(activate(V2)))
isNeList(n____(V1, V2)) → and(isNeList(activate(V1)), n__isList(activate(V2)))
isNePal(V) → isQid(activate(V))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → and(isQid(activate(I)), n__isPal(activate(P)))
isPal(V) → isNePal(activate(V))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
isList(X) → n__isList(X)
isNeList(X) → n__isNeList(X)
isPal(X) → n__isPal(X)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isList(X)) → isList(X)
activate(n__isNeList(X)) → isNeList(X)
activate(n__isPal(X)) → isPal(X)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
isList(n__isList(X3390_0)) →⁺ isNeList(isList(X3390_0))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [X3390_0 / n__isList(X3390_0)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
and(tt, X) → activate(X)
isList(V) → isNeList(activate(V))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → and(isList(activate(V1)), n__isList(activate(V2)))
isNeList(V) → isQid(activate(V))
isNeList(n____(V1, V2)) → and(isList(activate(V1)), n__isNeList(activate(V2)))
isNeList(n____(V1, V2)) → and(isNeList(activate(V1)), n__isList(activate(V2)))
isNePal(V) → isQid(activate(V))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → and(isQid(activate(I)), n__isPal(activate(P)))
isPal(V) → isNePal(activate(V))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
isList(X) → n__isList(X)
isNeList(X) → n__isNeList(X)
isPal(X) → n__isPal(X)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isList(X)) → isList(X)
activate(n__isNeList(X)) → isNeList(X)
activate(n__isPal(X)) → isPal(X)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
and(tt, X) → activate(X)
isList(V) → isNeList(activate(V))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → and(isList(activate(V1)), n__isList(activate(V2)))
isNeList(V) → isQid(activate(V))
isNeList(n____(V1, V2)) → and(isList(activate(V1)), n__isNeList(activate(V2)))
isNeList(n____(V1, V2)) → and(isNeList(activate(V1)), n__isList(activate(V2)))
isNePal(V) → isQid(activate(V))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → and(isQid(activate(I)), n__isPal(activate(P)))
isPal(V) → isNePal(activate(V))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
isList(X) → n__isList(X)
isNeList(X) → n__isNeList(X)
isPal(X) → n__isPal(X)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__isList(X)) → isList(X)
activate(n__isNeList(X)) → isNeList(X)
activate(n__isPal(X)) → isPal(X)
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
and :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
tt :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
activate :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isList :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isNeList :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__nil :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__isList :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__isNeList :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isNePal :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__isPal :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isPal :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__a :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0 :: Nat → tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
__, and, activate, isList, isNeList, isNePal, isPal

They will be analysed ascendingly in the following order:
__ < activate
and = activate
and = isList
and = isNeList
and = isNePal
and = isPal
activate = isList
activate = isNeList
activate = isNePal
activate = isPal
isList = isNeList
isList = isNePal
isList = isPal
isNeList = isNePal
isNeList = isPal
isNePal = isPal

(8) Obligation:

Generator Equations:
gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(x), n__nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
__, and, activate, isList, isNeList, isNePal, isPal

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol __.

(10) Obligation:

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, and, isList, isNeList, isNePal, isPal

They will be analysed ascendingly in the following order:
and = activate
and = isList
and = isNeList
and = isNePal
and = isPal
activate = isList
activate = isNeList
activate = isNePal
activate = isPal
isList = isNeList
isList = isNePal
isList = isPal
isNeList = isNePal
isNeList = isPal
isNePal = isPal

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n27_0)) → gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n27_0), rt ∈ Ω(1 + n27₀)

Induction Base:
activate(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(0)) →_R^Ω(1)
gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(0)

Induction Step:
activate(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(+(n27_0, 1))) →_R^Ω(1)
__(activate(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n27_0)), activate(n__nil)) →_IH
__(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(c28_0), activate(n__nil)) →_R^Ω(1)
__(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n27_0), n__nil) →_R^Ω(1)
n____(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n27_0), n__nil)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(12) Complex Obligation (BEST)

(13) Obligation:

The following defined symbols remain to be analysed:
isList, and, isNeList, isNePal, isPal

(14) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
isList(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n65578_0)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n65578₀ + n65578₀²)

Induction Base:
isList(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(0)) →_R^Ω(1)
tt

Induction Step:
isList(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(+(n65578_0, 1))) →_R^Ω(1)
and(isList(activate(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n65578_0))), n__isList(activate(n__nil))) →_L^{Ω(1 + n65578₀)}
and(isList(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n65578_0)), n__isList(activate(n__nil))) →_IH
and(tt, n__isList(activate(n__nil))) →_L^Ω(1)
and(tt, n__isList(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(0))) →_R^Ω(1)
activate(n__isList(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(0))) →_R^Ω(1)
isList(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(0)) →_R^Ω(1)
tt

We have rt ∈ Ω(n²) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n²).

(15) Complex Obligation (BEST)

(16) Obligation:

Lemmas:
activate(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n27_0)) → gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n27_0), rt ∈ Ω(1 + n27₀)
isList(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n65578_0)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n65578₀ + n65578₀²)

The following defined symbols remain to be analysed:
isNeList, and, activate, isNePal, isPal

(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNeList.

(18) Obligation:

The following defined symbols remain to be analysed:
and, activate, isNePal, isPal

(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.

(20) Obligation:

The following defined symbols remain to be analysed:
isPal, activate, isNePal

(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isPal.

(22) Obligation:

The following defined symbols remain to be analysed:
isNePal, activate

(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNePal.

(24) Obligation:

The following defined symbols remain to be analysed:
activate

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n153552_0)) → gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n153552_0), rt ∈ Ω(1 + n153552₀)

Induction Step:
activate(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(+(n153552_0, 1))) →_R^Ω(1)
__(activate(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n153552_0)), activate(n__nil)) →_IH
__(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(c153553_0), activate(n__nil)) →_R^Ω(1)
__(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n153552_0), n__nil) →_R^Ω(1)
n____(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n153552_0), n__nil)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(26) Complex Obligation (BEST)

(27) Obligation:

Lemmas:
activate(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n153552_0)) → gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n153552_0), rt ∈ Ω(1 + n153552₀)
isList(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n65578_0)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n65578₀ + n65578₀²)

No more defined symbols left to analyse.

(28) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
isList(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n65578_0)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n65578₀ + n65578₀²)

(29) BOUNDS(n^2, INF)

(30) Obligation:

No more defined symbols left to analyse.

(31) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

(32) BOUNDS(n^2, INF)

(33) Obligation:

No more defined symbols left to analyse.

(34) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

(35) BOUNDS(n^2, INF)

(36) Obligation:

No more defined symbols left to analyse.

(37) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n27_0)) → gen_tt:n__nil:n____:n__isList:n__isNeList:n__isPal:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u2_0(n27_0), rt ∈ Ω(1 + n27₀)

(0) Obligation:

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

(4) Obligation:

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

(6) Obligation:

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

(8) Obligation:

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

(10) Obligation:

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

(12) Complex Obligation (BEST)

(13) Obligation:

(14) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

(15) Complex Obligation (BEST)

(16) Obligation:

(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

(18) Obligation:

(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

(20) Obligation:

(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

(22) Obligation:

(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

(24) Obligation:

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

(26) Complex Obligation (BEST)

(27) Obligation:

(28) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

(29) BOUNDS(n^2, INF)

(30) Obligation:

(31) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

(32) BOUNDS(n^2, INF)

(33) Obligation:

(34) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

(35) BOUNDS(n^2, INF)

(36) Obligation:

(37) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

(38) BOUNDS(n^1, INF)