### (0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeroscons(0, n__zeros)
U11(tt, L) → U12(tt, activate(L))
U12(tt, L) → s(length(activate(L)))
U21(tt, IL, M, N) → U22(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U22(tt, IL, M, N) → U23(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U23(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(nil) → 0
length(cons(N, L)) → U11(tt, activate(L))
take(0, IL) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → U21(tt, activate(IL), M, N)
zerosn__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

### (1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
U11(tt, cons(N2498_4, L2499_4)) →+ s(U11(tt, L2499_4))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [L2499_4 / cons(N2498_4, L2499_4)].
The result substitution is [ ].

### (3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

### (4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeroscons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → U12(tt, activate(L))
U12(tt, L) → s(length(activate(L)))
U21(tt, IL, M, N) → U22(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U22(tt, IL, M, N) → U23(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U23(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(tt, activate(L))
take(0', IL) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → U21(tt, activate(IL), M, N)
zerosn__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

Infered types.

### (6) Obligation:

TRS:
Rules:
zeroscons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → U12(tt, activate(L))
U12(tt, L) → s(length(activate(L)))
U21(tt, IL, M, N) → U22(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U22(tt, IL, M, N) → U23(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U23(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(tt, activate(L))
take(0', IL) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → U21(tt, activate(IL), M, N)
zerosn__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
cons :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
0' :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U11 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
tt :: tt
U12 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
activate :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
s :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
length :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U21 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U22 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U23 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
nil :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil1_0 :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_tt2_0 :: tt
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0 :: Nat → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil

### (7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
activate, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate < length

### (8) Obligation:

TRS:
Rules:
zeroscons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → U12(tt, activate(L))
U12(tt, L) → s(length(activate(L)))
U21(tt, IL, M, N) → U22(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U22(tt, IL, M, N) → U23(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U23(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(tt, activate(L))
take(0', IL) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → U21(tt, activate(IL), M, N)
zerosn__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
cons :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
0' :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U11 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
tt :: tt
U12 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
activate :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
s :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
length :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U21 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U22 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U23 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
nil :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil1_0 :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_tt2_0 :: tt
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0 :: Nat → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil

Generator Equations:
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate < length

### (9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.

### (10) Obligation:

TRS:
Rules:
zeroscons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → U12(tt, activate(L))
U12(tt, L) → s(length(activate(L)))
U21(tt, IL, M, N) → U22(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U22(tt, IL, M, N) → U23(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U23(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(tt, activate(L))
take(0', IL) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → U21(tt, activate(IL), M, N)
zerosn__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
cons :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
0' :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U11 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
tt :: tt
U12 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
activate :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
s :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
length :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U21 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U22 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U23 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
nil :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil1_0 :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_tt2_0 :: tt
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0 :: Nat → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil

Generator Equations:
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
length

### (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n170)

Induction Base:
length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, 0)))

Induction Step:
length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, +(n17_0, 1)))) →RΩ(1)
U11(tt, activate(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0)))) →RΩ(1)
U11(tt, gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))) →RΩ(1)
U12(tt, activate(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0)))) →RΩ(1)
U12(tt, gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))) →RΩ(1)
s(length(activate(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))))) →RΩ(1)
s(length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0)))) →IH
s(*4_0)

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (13) Obligation:

TRS:
Rules:
zeroscons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → U12(tt, activate(L))
U12(tt, L) → s(length(activate(L)))
U21(tt, IL, M, N) → U22(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U22(tt, IL, M, N) → U23(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U23(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(tt, activate(L))
take(0', IL) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → U21(tt, activate(IL), M, N)
zerosn__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
cons :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
0' :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U11 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
tt :: tt
U12 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
activate :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
s :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
length :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U21 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U22 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U23 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
nil :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil1_0 :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_tt2_0 :: tt
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0 :: Nat → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil

Lemmas:
length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n170)

Generator Equations:
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (14) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n170)

### (16) Obligation:

TRS:
Rules:
zeroscons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → U12(tt, activate(L))
U12(tt, L) → s(length(activate(L)))
U21(tt, IL, M, N) → U22(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U22(tt, IL, M, N) → U23(tt, activate(IL), activate(M), activate(N))
U23(tt, IL, M, N) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(tt, activate(L))
take(0', IL) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → U21(tt, activate(IL), M, N)
zerosn__zeros
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
cons :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
0' :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__zeros :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U11 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
tt :: tt
U12 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
activate :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
s :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
length :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U21 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U22 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
U23 :: tt → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
n__take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
nil :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
take :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil1_0 :: 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil
hole_tt2_0 :: tt
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0 :: Nat → 0':n__zeros:cons:s:n__take:nil

Lemmas:
length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n170)

Generator Equations:
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (17) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
length(gen_0':n__zeros:cons:s:n__take:nil3_0(+(1, n17_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n170)