### (0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0) → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0) → 0
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0) → 0
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

Rewrite Strategy: FULL

### (1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2n):
The rewrite sequence
mark(and(x(X110212_3, s(X10414_3)), X2)) →+ a__and(a__plus(a__x(mark(mark(X110212_3)), mark(mark(X10414_3))), mark(mark(X110212_3))), X2)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0,0].
The pumping substitution is [X110212_3 / and(x(X110212_3, s(X10414_3)), X2)].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
mark(and(x(X110212_3, s(X10414_3)), X2)) →+ a__and(a__plus(a__x(mark(mark(X110212_3)), mark(mark(X10414_3))), mark(mark(X110212_3))), X2)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,1,0].
The pumping substitution is [X110212_3 / and(x(X110212_3, s(X10414_3)), X2)].
The result substitution is [ ].

### (3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

### (4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

Infered types.

### (6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x

### (7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
mark, a__plus, a__x

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

### (8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x

Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus, mark, a__x

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

### (9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__plus.

### (10) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x

Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__x

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

### (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0), rt ∈ Ω(1 + n114470)

Induction Base:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0)) →RΩ(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(n11447_0, 1))) →RΩ(1)
s(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0))) →IH
s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(c11448_0))

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (13) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0), rt ∈ Ω(1 + n114470)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__x, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

### (14) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12552_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n125520 + n125520 + n1255202)

Induction Base:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, +(n12552_0, 1)))) →RΩ(1)
a__plus(a__x(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a)), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12552_0)))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) →LΩ(1 + a)
a__plus(a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12552_0)))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) →LΩ(2 + n125520)
a__plus(a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12552_0))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) →IH
a__plus(*3_0, mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) →LΩ(1 + a)
a__plus(*3_0, gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))

We have rt ∈ Ω(n2) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n2).

### (16) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0), rt ∈ Ω(1 + n114470)
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12552_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n125520 + n125520 + n1255202)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

### (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n15954_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n159540 + n159540 + n1595402)

Induction Base:
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, +(n15954_0, 1)))) →RΩ(1)
s(a__plus(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a)), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n15954_0))))) →LΩ(1 + a)
s(a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n15954_0))))) →LΩ(2 + n159540)
s(a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n15954_0)))) →IH
s(*3_0)

We have rt ∈ Ω(n2) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n2).

### (19) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0), rt ∈ Ω(1 + n114470)
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12552_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n125520 + n125520 + n1255202)
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n15954_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n159540 + n159540 + n1595402)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__x

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

### (20) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n17693_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n17693_0), rt ∈ Ω(1 + n176930)

Induction Base:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0)) →RΩ(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(n17693_0, 1))) →RΩ(1)
s(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n17693_0))) →IH
s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(c17694_0))

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (22) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n17693_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n17693_0), rt ∈ Ω(1 + n176930)
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12552_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n125520 + n125520 + n1255202)
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n15954_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n159540 + n159540 + n1595402)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__x

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

### (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n19004_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n190040 + n190040 + n1900402)

Induction Base:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, +(n19004_0, 1)))) →RΩ(1)
a__plus(a__x(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a)), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n19004_0)))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) →LΩ(1 + a)
a__plus(a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n19004_0)))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) →LΩ(2 + n190040)
a__plus(a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n19004_0))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) →IH
a__plus(*3_0, mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) →LΩ(1 + a)
a__plus(*3_0, gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))

We have rt ∈ Ω(n2) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n2).

### (25) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n17693_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n17693_0), rt ∈ Ω(1 + n176930)
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n19004_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n190040 + n190040 + n1900402)
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n15954_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n159540 + n159540 + n1595402)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (26) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n2) was proven with the following lemma:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n19004_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n190040 + n190040 + n1900402)

### (28) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n17693_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n17693_0), rt ∈ Ω(1 + n176930)
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n19004_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n190040 + n190040 + n1900402)
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n15954_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n159540 + n159540 + n1595402)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (29) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n2) was proven with the following lemma:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n19004_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n190040 + n190040 + n1900402)

### (31) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n17693_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n17693_0), rt ∈ Ω(1 + n176930)
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12552_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n125520 + n125520 + n1255202)
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n15954_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n159540 + n159540 + n1595402)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (32) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n2) was proven with the following lemma:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12552_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n125520 + n125520 + n1255202)

### (34) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0), rt ∈ Ω(1 + n114470)
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12552_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n125520 + n125520 + n1255202)
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n15954_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n159540 + n159540 + n1595402)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (35) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n2) was proven with the following lemma:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12552_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n125520 + n125520 + n1255202)

### (37) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0), rt ∈ Ω(1 + n114470)
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12552_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n125520 + n125520 + n1255202)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (38) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n2) was proven with the following lemma:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12552_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(a·n125520 + n125520 + n1255202)

### (40) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, X) → mark(X)
a__plus(N, 0') → mark(N)
a__plus(N, s(M)) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') → 0'
a__x(N, s(M)) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x → tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat → tt:0':s:and:plus:x

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0), rt ∈ Ω(1 + n114470)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (41) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0)) → gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0), rt ∈ Ω(1 + n114470)