The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

0 CpxTRS
↳1 DecreasingLoopProof (⇔, 791 ms)
↳2 BOUNDS(2^n, INF)
↳3 RenamingProof (⇔, 2 ms)
↳4 CpxRelTRS
    ↳5 TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms)
    ↳6 typed CpxTrs
    ↳7 OrderProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
    ↳8 typed CpxTrs
    ↳9 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 746 ms)
    ↳10 BEST
        ↳11 typed CpxTrs
            ↳12 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
            ↳13 typed CpxTrs
            ↳14 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 47 ms)
            ↳15 typed CpxTrs
            ↳16 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
            ↳17 typed CpxTrs
            ↳18 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 147 ms)
            ↳19 BEST
                ↳20 typed CpxTrs
                    ↳21 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
                    ↳22 typed CpxTrs
                    ↳23 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
                    ↳24 typed CpxTrs
                    ↳25 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 19 ms)
                    ↳26 typed CpxTrs
                    ↳27 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 182 ms)
                    ↳28 BEST
                        ↳29 typed CpxTrs
                            ↳30 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
                            ↳31 typed CpxTrs
                            ↳32 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 5 ms)
                            ↳33 typed CpxTrs
                            ↳34 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)
                            ↳35 typed CpxTrs
                            ↳36 LowerBoundsProof (⇔, 0 ms)
                            ↳37 BOUNDS(n^1, INF)
                        ↳38 typed CpxTrs
                            ↳39 LowerBoundsProof (⇔, 0 ms)
                            ↳40 BOUNDS(n^1, INF)
                ↳41 typed CpxTrs
                    ↳42 LowerBoundsProof (⇔, 0 ms)
                    ↳43 BOUNDS(n^1, INF)
        ↳44 typed CpxTrs
            ↳45 LowerBoundsProof (⇔, 0 ms)
            ↳46 BOUNDS(n^1, INF)

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0) → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0) → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0) → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0) → 0
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2n):
The rewrite sequence
mark(plus(X1, s(X96734_4))) →+ a__U21(a__and(a__isNat(mark(X96734_4)), isNat(mark(X1))), mark(X96734_4), mark(X1))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0].
The pumping substitution is [X96734_4 / plus(X1, s(X96734_4))].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
mark(plus(X1, s(X96734_4))) →+ a__U21(a__and(a__isNat(mark(X96734_4)), isNat(mark(X1))), mark(X96734_4), mark(X1))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [X96734_4 / plus(X1, s(X96734_4))].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11, mark, a__U21, a__plus, a__U41, a__x, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U11, a__U21, a__plus, a__U41, a__x, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Induction Base:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0)) →RΩ(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(n4_0, 1))) →RΩ(1)
s(mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0))) →IH
s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(c5_0))

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, a__U21, a__plus, a__U41, a__x, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat

(12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U21, a__plus, a__U41, a__x, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat

(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U21.

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus, a__U41, a__x, a__and, a__isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__plus.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNat, a__U41, a__x, a__and

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat

(18) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(1, n36404_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n364040)

Induction Base:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(1, +(n36404_0, 1)))) →RΩ(1)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(1, n36404_0))) →IH
*3_0

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

(19) Complex Obligation (BEST)

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(1, n36404_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n364040)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__and, a__U11, mark, a__U21, a__plus, a__U41, a__x

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat

(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__and.

(22) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(1, n36404_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n364040)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U41, a__U11, mark, a__U21, a__plus, a__x

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat

(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U41.

(24) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(1, n36404_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n364040)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__x, a__U11, mark, a__U21, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat

(25) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__x.

(26) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(1, n36404_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n364040)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U11, a__U21, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat

(27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0), rt ∈ Ω(1 + n446450)

Induction Base:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0)) →RΩ(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(n44645_0, 1))) →RΩ(1)
s(mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0))) →IH
s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(c44646_0))

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

(28) Complex Obligation (BEST)

(29) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0), rt ∈ Ω(1 + n446450)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(1, n36404_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n364040)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, a__U21, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat

(30) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.

(31) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0), rt ∈ Ω(1 + n446450)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(1, n36404_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n364040)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U21, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat

(32) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U21.

(33) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0), rt ∈ Ω(1 + n446450)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(1, n36404_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n364040)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U41
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNat
mark = a__U21
mark = a__plus
mark = a__U41
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNat
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U41
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNat
a__plus = a__U41
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNat
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNat
a__x = a__and
a__x = a__isNat
a__and = a__isNat

(34) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__plus.

(35) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0), rt ∈ Ω(1 + n446450)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(1, n36404_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n364040)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(36) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0), rt ∈ Ω(1 + n446450)

(37) BOUNDS(n^1, INF)

(38) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0), rt ∈ Ω(1 + n446450)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(1, n36404_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n364040)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(39) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n44645_0), rt ∈ Ω(1 + n446450)

(40) BOUNDS(n^1, INF)

(41) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(1, n36404_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n364040)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(42) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

(43) BOUNDS(n^1, INF)

(44) Obligation:

TRS:
Rules:
a__U11(tt, N) → mark(N)
a__U21(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U31(tt) → 0'
a__U41(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__isNat(s(V1)) → a__isNat(V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__and(a__isNat(V1), isNat(V2))
a__plus(N, 0') → a__U11(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U21(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
a__x(N, 0') → a__U31(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U41(a__and(a__isNat(M), isNat(N)), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U21(X1, X2, X3)) → a__U21(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U31(X)) → a__U31(mark(X))
mark(U41(X1, X2, X3)) → a__U41(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U21(X1, X2, X3) → U21(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U31(X) → U31(X)
a__U41(X1, X2, X3) → U41(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
tt :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
mark :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
s :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
0' :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
plus :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
isNat :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
x :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U11 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U21 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U31 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
U41 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
and :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
hole_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and1_0 :: tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and

Lemmas:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(45) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0)) → gen_tt:s:0':plus:isNat:x:U11:U21:U31:U41:and2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n40)

(46) BOUNDS(n^1, INF)