(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

U101(tt, V1, V2) → U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isLNat(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U111(tt, V2) → U112(isLNatKind(activate(V2)))
U112(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U121(tt, V2) → U122(isLNatKind(activate(V2)))
U122(tt) → tt
U13(tt, N, XS) → U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U131(tt) → tt
U14(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U141(tt) → tt
U151(tt) → tt
U161(tt) → tt
U171(tt, V2) → U172(isLNatKind(activate(V2)))
U172(tt) → tt
U181(tt, V1) → U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U182(tt, V1) → U183(isLNat(activate(V1)))
U183(tt) → tt
U191(tt, V1) → U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U192(tt, V1) → U193(isNatural(activate(V1)))
U193(tt) → tt
U201(tt, V1, V2) → U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U202(tt, V1, V2) → U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U203(tt, V1, V2) → U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U204(tt, V1, V2) → U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U205(tt, V2) → U206(isLNat(activate(V2)))
U206(tt) → tt
U21(tt, X, Y) → U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
U211(tt) → tt
U22(tt, X, Y) → U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
U221(tt) → tt
U23(tt, X, Y) → U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
U231(tt, V2) → U232(isLNatKind(activate(V2)))
U232(tt) → tt
U24(tt, X) → activate(X)
U241(tt, V1, V2) → U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U242(tt, V1, V2) → U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U243(tt, V1, V2) → U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U244(tt, V1, V2) → U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U245(tt, V2) → U246(isLNat(activate(V2)))
U246(tt) → tt
U251(tt, V1, V2) → U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U252(tt, V1, V2) → U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U253(tt, V1, V2) → U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U254(tt, V1, V2) → U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U255(tt, V2) → U256(isLNat(activate(V2)))
U256(tt) → tt
U261(tt, V2) → U262(isLNatKind(activate(V2)))
U262(tt) → tt
U271(tt, V2) → U272(isLNatKind(activate(V2)))
U272(tt) → tt
U281(tt, N) → U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
U282(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U291(tt, N, XS) → U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U292(tt, N, XS) → U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U293(tt, N, XS) → U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U294(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U301(tt, X, Y) → U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
U302(tt, Y) → U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U303(tt, Y) → U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
U304(tt, Y) → activate(Y)
U31(tt, N, XS) → U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U311(tt, XS) → U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U312(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U32(tt, N, XS) → U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U321(tt, N, X, XS) → U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U322(tt, N, X, XS) → U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U323(tt, N, X, XS) → U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U324(tt, N, X, XS) → U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U325(tt, N, X, XS) → U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U326(tt, N, X, XS) → U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U327(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U33(tt, N, XS) → U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
U331(tt, N, XS) → U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
U332(tt, XS) → U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U333(tt, XS) → U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U334(tt, XS) → activate(XS)
U34(tt, N) → activate(N)
U341(tt, N, XS) → U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U342(tt, N, XS) → U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U343(tt, N, XS) → U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U344(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U41(tt, V1, V2) → U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isLNat(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U52(tt, V1, V2) → U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U53(tt, V1, V2) → U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U54(tt, V1, V2) → U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U55(tt, V2) → U56(isLNat(activate(V2)))
U56(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U62(tt, V1) → U63(isPLNat(activate(V1)))
U63(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U72(tt, V1) → U73(isNatural(activate(V1)))
U73(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U82(tt, V1) → U83(isPLNat(activate(V1)))
U83(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U92(tt, V1) → U93(isLNat(activate(V1)))
U93(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__fst(V1)) → U131(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → U141(isNaturalKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__snd(V1)) → U151(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__tail(V1)) → U161(isLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → U211(isLNatKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__s(V1)) → U221(isNaturalKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U281(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U291(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U301(isLNat(X), X, Y)
splitAt(0, XS) → U311(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U331(isNatural(N), N, activate(XS))
take(N, XS) → U341(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
niln__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2n):
The rewrite sequence
activate(n__natsFrom(n__head(V15482930_8))) →+ U281(U181(isLNatKind(activate(V15482930_8)), activate(V15482930_8)), n__head(V15482930_8))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0].
The pumping substitution is [V15482930_8 / n__natsFrom(n__head(V15482930_8))].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
activate(n__natsFrom(n__head(V15482930_8))) →+ U281(U181(isLNatKind(activate(V15482930_8)), activate(V15482930_8)), n__head(V15482930_8))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,1].
The pumping substitution is [V15482930_8 / n__natsFrom(n__head(V15482930_8))].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

U101(tt, V1, V2) → U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isLNat(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U111(tt, V2) → U112(isLNatKind(activate(V2)))
U112(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U121(tt, V2) → U122(isLNatKind(activate(V2)))
U122(tt) → tt
U13(tt, N, XS) → U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U131(tt) → tt
U14(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U141(tt) → tt
U151(tt) → tt
U161(tt) → tt
U171(tt, V2) → U172(isLNatKind(activate(V2)))
U172(tt) → tt
U181(tt, V1) → U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U182(tt, V1) → U183(isLNat(activate(V1)))
U183(tt) → tt
U191(tt, V1) → U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U192(tt, V1) → U193(isNatural(activate(V1)))
U193(tt) → tt
U201(tt, V1, V2) → U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U202(tt, V1, V2) → U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U203(tt, V1, V2) → U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U204(tt, V1, V2) → U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U205(tt, V2) → U206(isLNat(activate(V2)))
U206(tt) → tt
U21(tt, X, Y) → U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
U211(tt) → tt
U22(tt, X, Y) → U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
U221(tt) → tt
U23(tt, X, Y) → U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
U231(tt, V2) → U232(isLNatKind(activate(V2)))
U232(tt) → tt
U24(tt, X) → activate(X)
U241(tt, V1, V2) → U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U242(tt, V1, V2) → U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U243(tt, V1, V2) → U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U244(tt, V1, V2) → U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U245(tt, V2) → U246(isLNat(activate(V2)))
U246(tt) → tt
U251(tt, V1, V2) → U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U252(tt, V1, V2) → U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U253(tt, V1, V2) → U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U254(tt, V1, V2) → U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U255(tt, V2) → U256(isLNat(activate(V2)))
U256(tt) → tt
U261(tt, V2) → U262(isLNatKind(activate(V2)))
U262(tt) → tt
U271(tt, V2) → U272(isLNatKind(activate(V2)))
U272(tt) → tt
U281(tt, N) → U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
U282(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U291(tt, N, XS) → U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U292(tt, N, XS) → U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U293(tt, N, XS) → U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U294(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U301(tt, X, Y) → U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
U302(tt, Y) → U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U303(tt, Y) → U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
U304(tt, Y) → activate(Y)
U31(tt, N, XS) → U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U311(tt, XS) → U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U312(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U32(tt, N, XS) → U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U321(tt, N, X, XS) → U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U322(tt, N, X, XS) → U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U323(tt, N, X, XS) → U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U324(tt, N, X, XS) → U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U325(tt, N, X, XS) → U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U326(tt, N, X, XS) → U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U327(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U33(tt, N, XS) → U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
U331(tt, N, XS) → U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
U332(tt, XS) → U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U333(tt, XS) → U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U334(tt, XS) → activate(XS)
U34(tt, N) → activate(N)
U341(tt, N, XS) → U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U342(tt, N, XS) → U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U343(tt, N, XS) → U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U344(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U41(tt, V1, V2) → U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isLNat(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U52(tt, V1, V2) → U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U53(tt, V1, V2) → U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U54(tt, V1, V2) → U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U55(tt, V2) → U56(isLNat(activate(V2)))
U56(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U62(tt, V1) → U63(isPLNat(activate(V1)))
U63(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U72(tt, V1) → U73(isNatural(activate(V1)))
U73(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U82(tt, V1) → U83(isPLNat(activate(V1)))
U83(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U92(tt, V1) → U93(isLNat(activate(V1)))
U93(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__fst(V1)) → U131(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → U141(isNaturalKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__snd(V1)) → U151(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__tail(V1)) → U161(isLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → U211(isLNatKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__s(V1)) → U221(isNaturalKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U281(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U291(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U301(isLNat(X), X, Y)
splitAt(0', XS) → U311(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U331(isNatural(N), N, activate(XS))
take(N, XS) → U341(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
niln__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0'n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isLNat(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U111(tt, V2) → U112(isLNatKind(activate(V2)))
U112(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U121(tt, V2) → U122(isLNatKind(activate(V2)))
U122(tt) → tt
U13(tt, N, XS) → U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U131(tt) → tt
U14(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U141(tt) → tt
U151(tt) → tt
U161(tt) → tt
U171(tt, V2) → U172(isLNatKind(activate(V2)))
U172(tt) → tt
U181(tt, V1) → U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U182(tt, V1) → U183(isLNat(activate(V1)))
U183(tt) → tt
U191(tt, V1) → U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U192(tt, V1) → U193(isNatural(activate(V1)))
U193(tt) → tt
U201(tt, V1, V2) → U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U202(tt, V1, V2) → U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U203(tt, V1, V2) → U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U204(tt, V1, V2) → U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U205(tt, V2) → U206(isLNat(activate(V2)))
U206(tt) → tt
U21(tt, X, Y) → U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
U211(tt) → tt
U22(tt, X, Y) → U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
U221(tt) → tt
U23(tt, X, Y) → U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
U231(tt, V2) → U232(isLNatKind(activate(V2)))
U232(tt) → tt
U24(tt, X) → activate(X)
U241(tt, V1, V2) → U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U242(tt, V1, V2) → U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U243(tt, V1, V2) → U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U244(tt, V1, V2) → U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U245(tt, V2) → U246(isLNat(activate(V2)))
U246(tt) → tt
U251(tt, V1, V2) → U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U252(tt, V1, V2) → U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U253(tt, V1, V2) → U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U254(tt, V1, V2) → U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U255(tt, V2) → U256(isLNat(activate(V2)))
U256(tt) → tt
U261(tt, V2) → U262(isLNatKind(activate(V2)))
U262(tt) → tt
U271(tt, V2) → U272(isLNatKind(activate(V2)))
U272(tt) → tt
U281(tt, N) → U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
U282(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U291(tt, N, XS) → U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U292(tt, N, XS) → U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U293(tt, N, XS) → U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U294(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U301(tt, X, Y) → U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
U302(tt, Y) → U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U303(tt, Y) → U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
U304(tt, Y) → activate(Y)
U31(tt, N, XS) → U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U311(tt, XS) → U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U312(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U32(tt, N, XS) → U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U321(tt, N, X, XS) → U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U322(tt, N, X, XS) → U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U323(tt, N, X, XS) → U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U324(tt, N, X, XS) → U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U325(tt, N, X, XS) → U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U326(tt, N, X, XS) → U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U327(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U33(tt, N, XS) → U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
U331(tt, N, XS) → U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
U332(tt, XS) → U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U333(tt, XS) → U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U334(tt, XS) → activate(XS)
U34(tt, N) → activate(N)
U341(tt, N, XS) → U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U342(tt, N, XS) → U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U343(tt, N, XS) → U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U344(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U41(tt, V1, V2) → U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isLNat(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U52(tt, V1, V2) → U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U53(tt, V1, V2) → U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U54(tt, V1, V2) → U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U55(tt, V2) → U56(isLNat(activate(V2)))
U56(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U62(tt, V1) → U63(isPLNat(activate(V1)))
U63(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U72(tt, V1) → U73(isNatural(activate(V1)))
U73(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U82(tt, V1) → U83(isPLNat(activate(V1)))
U83(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U92(tt, V1) → U93(isLNat(activate(V1)))
U93(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__fst(V1)) → U131(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → U141(isNaturalKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__snd(V1)) → U151(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__tail(V1)) → U161(isLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → U211(isLNatKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__s(V1)) → U221(isNaturalKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U281(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U291(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U301(isLNat(X), X, Y)
splitAt(0', XS) → U311(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U331(isNatural(N), N, activate(XS))
take(N, XS) → U341(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
niln__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0'n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isNaturalKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isLNatKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U104 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U105 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U106 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U112 :: tt → tt
U13 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U122 :: tt → tt
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U325 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U326 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U327 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U34 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U331 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U332 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U333 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U334 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U341 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U342 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U343 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U344 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U41 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U42 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U43 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U44 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U45 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U52 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U53 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U54 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U55 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U56 :: tt → tt
U61 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U62 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isPLNatKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U63 :: tt → tt
isPLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U71 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U72 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U73 :: tt → tt
U81 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U82 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U83 :: tt → tt
U91 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U92 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U93 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_8 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_8 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNaturalKind, activate, isLNatKind, isNatural, isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U311, U312, U327, fst, isPLNatKind, isPLNat, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNaturalKind = activate
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = isNatural
isNaturalKind = isLNat
isNaturalKind = snd
isNaturalKind = splitAt
isNaturalKind = head
isNaturalKind = afterNth
isNaturalKind = U311
isNaturalKind = U312
isNaturalKind = U327
isNaturalKind = fst
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isPLNat
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
activate = isLNatKind
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U311
activate = U312
activate = U327
activate = fst
activate = isPLNatKind
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
isLNatKind = isNatural
isLNatKind = isLNat
isLNatKind = snd
isLNatKind = splitAt
isLNatKind = head
isLNatKind = afterNth
isLNatKind = U311
isLNatKind = U312
isLNatKind = U327
isLNatKind = fst
isLNatKind = isPLNatKind
isLNatKind = isPLNat
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U311
isNatural = U312
isNatural = U327
isNatural = fst
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U311
isLNat = U312
isLNat = U327
isLNat = fst
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U311
snd = U312
snd = U327
snd = fst
snd = isPLNatKind
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U311
splitAt = U312
splitAt = U327
splitAt = fst
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U311
head = U312
head = U327
head = fst
head = isPLNatKind
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U311
afterNth = U312
afterNth = U327
afterNth = fst
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U311 = U312
U311 = U327
U311 = fst
U311 = isPLNatKind
U311 = isPLNat
U311 = natsFrom
U311 = tail
U312 = U327
U312 = fst
U312 = isPLNatKind
U312 = isPLNat
U312 = natsFrom
U312 = tail
U327 = fst
U327 = isPLNatKind
U327 = isPLNat
U327 = natsFrom
U327 = tail
fst = isPLNatKind
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNatKind = isPLNat
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isLNat(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U111(tt, V2) → U112(isLNatKind(activate(V2)))
U112(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U121(tt, V2) → U122(isLNatKind(activate(V2)))
U122(tt) → tt
U13(tt, N, XS) → U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U131(tt) → tt
U14(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U141(tt) → tt
U151(tt) → tt
U161(tt) → tt
U171(tt, V2) → U172(isLNatKind(activate(V2)))
U172(tt) → tt
U181(tt, V1) → U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U182(tt, V1) → U183(isLNat(activate(V1)))
U183(tt) → tt
U191(tt, V1) → U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U192(tt, V1) → U193(isNatural(activate(V1)))
U193(tt) → tt
U201(tt, V1, V2) → U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U202(tt, V1, V2) → U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U203(tt, V1, V2) → U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U204(tt, V1, V2) → U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U205(tt, V2) → U206(isLNat(activate(V2)))
U206(tt) → tt
U21(tt, X, Y) → U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
U211(tt) → tt
U22(tt, X, Y) → U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
U221(tt) → tt
U23(tt, X, Y) → U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
U231(tt, V2) → U232(isLNatKind(activate(V2)))
U232(tt) → tt
U24(tt, X) → activate(X)
U241(tt, V1, V2) → U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U242(tt, V1, V2) → U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U243(tt, V1, V2) → U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U244(tt, V1, V2) → U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U245(tt, V2) → U246(isLNat(activate(V2)))
U246(tt) → tt
U251(tt, V1, V2) → U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U252(tt, V1, V2) → U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U253(tt, V1, V2) → U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U254(tt, V1, V2) → U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U255(tt, V2) → U256(isLNat(activate(V2)))
U256(tt) → tt
U261(tt, V2) → U262(isLNatKind(activate(V2)))
U262(tt) → tt
U271(tt, V2) → U272(isLNatKind(activate(V2)))
U272(tt) → tt
U281(tt, N) → U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
U282(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U291(tt, N, XS) → U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U292(tt, N, XS) → U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U293(tt, N, XS) → U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U294(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U301(tt, X, Y) → U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
U302(tt, Y) → U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U303(tt, Y) → U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
U304(tt, Y) → activate(Y)
U31(tt, N, XS) → U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U311(tt, XS) → U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U312(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U32(tt, N, XS) → U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U321(tt, N, X, XS) → U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U322(tt, N, X, XS) → U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U323(tt, N, X, XS) → U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U324(tt, N, X, XS) → U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U325(tt, N, X, XS) → U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U326(tt, N, X, XS) → U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U327(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U33(tt, N, XS) → U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
U331(tt, N, XS) → U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
U332(tt, XS) → U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U333(tt, XS) → U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U334(tt, XS) → activate(XS)
U34(tt, N) → activate(N)
U341(tt, N, XS) → U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U342(tt, N, XS) → U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U343(tt, N, XS) → U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U344(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U41(tt, V1, V2) → U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isLNat(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U52(tt, V1, V2) → U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U53(tt, V1, V2) → U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U54(tt, V1, V2) → U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U55(tt, V2) → U56(isLNat(activate(V2)))
U56(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U62(tt, V1) → U63(isPLNat(activate(V1)))
U63(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U72(tt, V1) → U73(isNatural(activate(V1)))
U73(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U82(tt, V1) → U83(isPLNat(activate(V1)))
U83(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U92(tt, V1) → U93(isLNat(activate(V1)))
U93(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__fst(V1)) → U131(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → U141(isNaturalKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__snd(V1)) → U151(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__tail(V1)) → U161(isLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → U211(isLNatKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__s(V1)) → U221(isNaturalKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U281(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U291(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U301(isLNat(X), X, Y)
splitAt(0', XS) → U311(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U331(isNatural(N), N, activate(XS))
take(N, XS) → U341(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
niln__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0'n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isNaturalKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isLNatKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U104 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U105 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U106 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U112 :: tt → tt
U13 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U122 :: tt → tt
U14 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U131 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U141 :: tt → tt
U151 :: tt → tt
U161 :: tt → tt
U171 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U172 :: tt → tt
U181 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U182 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U183 :: tt → tt
U191 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U192 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
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U333 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U334 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U341 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U342 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U343 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U344 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U41 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U42 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U43 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U44 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U45 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U52 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U53 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U54 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U55 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U56 :: tt → tt
U61 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U62 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isPLNatKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U63 :: tt → tt
isPLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U71 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U72 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U73 :: tt → tt
U81 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U82 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U83 :: tt → tt
U91 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U92 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U93 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_8 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_8 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isLNatKind, isNaturalKind, activate, isNatural, isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U311, U312, U327, fst, isPLNatKind, isPLNat, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNaturalKind = activate
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = isNatural
isNaturalKind = isLNat
isNaturalKind = snd
isNaturalKind = splitAt
isNaturalKind = head
isNaturalKind = afterNth
isNaturalKind = U311
isNaturalKind = U312
isNaturalKind = U327
isNaturalKind = fst
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isPLNat
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
activate = isLNatKind
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U311
activate = U312
activate = U327
activate = fst
activate = isPLNatKind
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
isLNatKind = isNatural
isLNatKind = isLNat
isLNatKind = snd
isLNatKind = splitAt
isLNatKind = head
isLNatKind = afterNth
isLNatKind = U311
isLNatKind = U312
isLNatKind = U327
isLNatKind = fst
isLNatKind = isPLNatKind
isLNatKind = isPLNat
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U311
isNatural = U312
isNatural = U327
isNatural = fst
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U311
isLNat = U312
isLNat = U327
isLNat = fst
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U311
snd = U312
snd = U327
snd = fst
snd = isPLNatKind
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U311
splitAt = U312
splitAt = U327
splitAt = fst
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U311
head = U312
head = U327
head = fst
head = isPLNatKind
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U311
afterNth = U312
afterNth = U327
afterNth = fst
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U311 = U312
U311 = U327
U311 = fst
U311 = isPLNatKind
U311 = isPLNat
U311 = natsFrom
U311 = tail
U312 = U327
U312 = fst
U312 = isPLNatKind
U312 = isPLNat
U312 = natsFrom
U312 = tail
U327 = fst
U327 = isPLNatKind
U327 = isPLNat
U327 = natsFrom
U327 = tail
fst = isPLNatKind
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNatKind = isPLNat
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isLNatKind.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isLNat(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U111(tt, V2) → U112(isLNatKind(activate(V2)))
U112(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U121(tt, V2) → U122(isLNatKind(activate(V2)))
U122(tt) → tt
U13(tt, N, XS) → U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U131(tt) → tt
U14(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U141(tt) → tt
U151(tt) → tt
U161(tt) → tt
U171(tt, V2) → U172(isLNatKind(activate(V2)))
U172(tt) → tt
U181(tt, V1) → U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U182(tt, V1) → U183(isLNat(activate(V1)))
U183(tt) → tt
U191(tt, V1) → U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U192(tt, V1) → U193(isNatural(activate(V1)))
U193(tt) → tt
U201(tt, V1, V2) → U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U202(tt, V1, V2) → U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U203(tt, V1, V2) → U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U204(tt, V1, V2) → U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U205(tt, V2) → U206(isLNat(activate(V2)))
U206(tt) → tt
U21(tt, X, Y) → U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
U211(tt) → tt
U22(tt, X, Y) → U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
U221(tt) → tt
U23(tt, X, Y) → U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
U231(tt, V2) → U232(isLNatKind(activate(V2)))
U232(tt) → tt
U24(tt, X) → activate(X)
U241(tt, V1, V2) → U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U242(tt, V1, V2) → U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U243(tt, V1, V2) → U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U244(tt, V1, V2) → U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U245(tt, V2) → U246(isLNat(activate(V2)))
U246(tt) → tt
U251(tt, V1, V2) → U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U252(tt, V1, V2) → U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U253(tt, V1, V2) → U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U254(tt, V1, V2) → U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U255(tt, V2) → U256(isLNat(activate(V2)))
U256(tt) → tt
U261(tt, V2) → U262(isLNatKind(activate(V2)))
U262(tt) → tt
U271(tt, V2) → U272(isLNatKind(activate(V2)))
U272(tt) → tt
U281(tt, N) → U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
U282(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U291(tt, N, XS) → U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U292(tt, N, XS) → U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U293(tt, N, XS) → U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U294(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U301(tt, X, Y) → U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
U302(tt, Y) → U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U303(tt, Y) → U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
U304(tt, Y) → activate(Y)
U31(tt, N, XS) → U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U311(tt, XS) → U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U312(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U32(tt, N, XS) → U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U321(tt, N, X, XS) → U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U322(tt, N, X, XS) → U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U323(tt, N, X, XS) → U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U324(tt, N, X, XS) → U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U325(tt, N, X, XS) → U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U326(tt, N, X, XS) → U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U327(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U33(tt, N, XS) → U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
U331(tt, N, XS) → U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
U332(tt, XS) → U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U333(tt, XS) → U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U334(tt, XS) → activate(XS)
U34(tt, N) → activate(N)
U341(tt, N, XS) → U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U342(tt, N, XS) → U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U343(tt, N, XS) → U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U344(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U41(tt, V1, V2) → U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isLNat(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U52(tt, V1, V2) → U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U53(tt, V1, V2) → U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U54(tt, V1, V2) → U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U55(tt, V2) → U56(isLNat(activate(V2)))
U56(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U62(tt, V1) → U63(isPLNat(activate(V1)))
U63(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U72(tt, V1) → U73(isNatural(activate(V1)))
U73(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U82(tt, V1) → U83(isPLNat(activate(V1)))
U83(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U92(tt, V1) → U93(isLNat(activate(V1)))
U93(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__fst(V1)) → U131(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → U141(isNaturalKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__snd(V1)) → U151(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__tail(V1)) → U161(isLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → U211(isLNatKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__s(V1)) → U221(isNaturalKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U281(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U291(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U301(isLNat(X), X, Y)
splitAt(0', XS) → U311(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U331(isNatural(N), N, activate(XS))
take(N, XS) → U341(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
niln__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0'n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isNaturalKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isLNatKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U104 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U105 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U106 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U112 :: tt → tt
U13 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U121 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U122 :: tt → tt
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U131 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U41 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U42 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U43 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U44 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U45 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U52 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U53 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U54 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U55 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U56 :: tt → tt
U61 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U62 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isPLNatKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U63 :: tt → tt
isPLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U71 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U72 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U73 :: tt → tt
U81 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U82 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U83 :: tt → tt
U91 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U92 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U93 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_8 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_8 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNaturalKind, activate, isNatural, isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U311, U312, U327, fst, isPLNatKind, isPLNat, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNaturalKind = activate
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = isNatural
isNaturalKind = isLNat
isNaturalKind = snd
isNaturalKind = splitAt
isNaturalKind = head
isNaturalKind = afterNth
isNaturalKind = U311
isNaturalKind = U312
isNaturalKind = U327
isNaturalKind = fst
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isPLNat
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
activate = isLNatKind
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U311
activate = U312
activate = U327
activate = fst
activate = isPLNatKind
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
isLNatKind = isNatural
isLNatKind = isLNat
isLNatKind = snd
isLNatKind = splitAt
isLNatKind = head
isLNatKind = afterNth
isLNatKind = U311
isLNatKind = U312
isLNatKind = U327
isLNatKind = fst
isLNatKind = isPLNatKind
isLNatKind = isPLNat
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U311
isNatural = U312
isNatural = U327
isNatural = fst
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U311
isLNat = U312
isLNat = U327
isLNat = fst
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U311
snd = U312
snd = U327
snd = fst
snd = isPLNatKind
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U311
splitAt = U312
splitAt = U327
splitAt = fst
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U311
head = U312
head = U327
head = fst
head = isPLNatKind
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U311
afterNth = U312
afterNth = U327
afterNth = fst
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U311 = U312
U311 = U327
U311 = fst
U311 = isPLNatKind
U311 = isPLNat
U311 = natsFrom
U311 = tail
U312 = U327
U312 = fst
U312 = isPLNatKind
U312 = isPLNat
U312 = natsFrom
U312 = tail
U327 = fst
U327 = isPLNatKind
U327 = isPLNat
U327 = natsFrom
U327 = tail
fst = isPLNatKind
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNatKind = isPLNat
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNaturalKind.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isLNat(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U111(tt, V2) → U112(isLNatKind(activate(V2)))
U112(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U121(tt, V2) → U122(isLNatKind(activate(V2)))
U122(tt) → tt
U13(tt, N, XS) → U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U131(tt) → tt
U14(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U141(tt) → tt
U151(tt) → tt
U161(tt) → tt
U171(tt, V2) → U172(isLNatKind(activate(V2)))
U172(tt) → tt
U181(tt, V1) → U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U182(tt, V1) → U183(isLNat(activate(V1)))
U183(tt) → tt
U191(tt, V1) → U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U192(tt, V1) → U193(isNatural(activate(V1)))
U193(tt) → tt
U201(tt, V1, V2) → U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U202(tt, V1, V2) → U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U203(tt, V1, V2) → U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U204(tt, V1, V2) → U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U205(tt, V2) → U206(isLNat(activate(V2)))
U206(tt) → tt
U21(tt, X, Y) → U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
U211(tt) → tt
U22(tt, X, Y) → U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
U221(tt) → tt
U23(tt, X, Y) → U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
U231(tt, V2) → U232(isLNatKind(activate(V2)))
U232(tt) → tt
U24(tt, X) → activate(X)
U241(tt, V1, V2) → U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U242(tt, V1, V2) → U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U243(tt, V1, V2) → U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U244(tt, V1, V2) → U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U245(tt, V2) → U246(isLNat(activate(V2)))
U246(tt) → tt
U251(tt, V1, V2) → U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U252(tt, V1, V2) → U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U253(tt, V1, V2) → U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U254(tt, V1, V2) → U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U255(tt, V2) → U256(isLNat(activate(V2)))
U256(tt) → tt
U261(tt, V2) → U262(isLNatKind(activate(V2)))
U262(tt) → tt
U271(tt, V2) → U272(isLNatKind(activate(V2)))
U272(tt) → tt
U281(tt, N) → U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
U282(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U291(tt, N, XS) → U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U292(tt, N, XS) → U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U293(tt, N, XS) → U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U294(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U301(tt, X, Y) → U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
U302(tt, Y) → U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U303(tt, Y) → U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
U304(tt, Y) → activate(Y)
U31(tt, N, XS) → U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U311(tt, XS) → U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U312(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U32(tt, N, XS) → U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U321(tt, N, X, XS) → U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U322(tt, N, X, XS) → U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U323(tt, N, X, XS) → U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U324(tt, N, X, XS) → U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U325(tt, N, X, XS) → U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U326(tt, N, X, XS) → U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U327(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U33(tt, N, XS) → U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
U331(tt, N, XS) → U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
U332(tt, XS) → U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U333(tt, XS) → U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U334(tt, XS) → activate(XS)
U34(tt, N) → activate(N)
U341(tt, N, XS) → U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U342(tt, N, XS) → U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U343(tt, N, XS) → U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U344(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U41(tt, V1, V2) → U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isLNat(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U52(tt, V1, V2) → U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U53(tt, V1, V2) → U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U54(tt, V1, V2) → U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U55(tt, V2) → U56(isLNat(activate(V2)))
U56(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U62(tt, V1) → U63(isPLNat(activate(V1)))
U63(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U72(tt, V1) → U73(isNatural(activate(V1)))
U73(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U82(tt, V1) → U83(isPLNat(activate(V1)))
U83(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U92(tt, V1) → U93(isLNat(activate(V1)))
U93(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__fst(V1)) → U131(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → U141(isNaturalKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__snd(V1)) → U151(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__tail(V1)) → U161(isLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → U211(isLNatKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__s(V1)) → U221(isNaturalKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U281(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U291(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U301(isLNat(X), X, Y)
splitAt(0', XS) → U311(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U331(isNatural(N), N, activate(XS))
take(N, XS) → U341(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
niln__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0'n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isNaturalKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isLNatKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U104 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U105 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U106 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
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U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U112 :: tt → tt
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U121 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U122 :: tt → tt
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U131 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U141 :: tt → tt
U151 :: tt → tt
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U171 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U172 :: tt → tt
U181 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U182 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U183 :: tt → tt
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U53 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U54 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U55 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U56 :: tt → tt
U61 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U62 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isPLNatKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U63 :: tt → tt
isPLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U71 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U72 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U73 :: tt → tt
U81 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U82 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U83 :: tt → tt
U91 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U92 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U93 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_8 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_8 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNatural, isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U311, U312, U327, fst, isPLNatKind, isPLNat, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNaturalKind = activate
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = isNatural
isNaturalKind = isLNat
isNaturalKind = snd
isNaturalKind = splitAt
isNaturalKind = head
isNaturalKind = afterNth
isNaturalKind = U311
isNaturalKind = U312
isNaturalKind = U327
isNaturalKind = fst
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isPLNat
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
activate = isLNatKind
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U311
activate = U312
activate = U327
activate = fst
activate = isPLNatKind
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
isLNatKind = isNatural
isLNatKind = isLNat
isLNatKind = snd
isLNatKind = splitAt
isLNatKind = head
isLNatKind = afterNth
isLNatKind = U311
isLNatKind = U312
isLNatKind = U327
isLNatKind = fst
isLNatKind = isPLNatKind
isLNatKind = isPLNat
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U311
isNatural = U312
isNatural = U327
isNatural = fst
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U311
isLNat = U312
isLNat = U327
isLNat = fst
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U311
snd = U312
snd = U327
snd = fst
snd = isPLNatKind
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U311
splitAt = U312
splitAt = U327
splitAt = fst
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U311
head = U312
head = U327
head = fst
head = isPLNatKind
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U311
afterNth = U312
afterNth = U327
afterNth = fst
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U311 = U312
U311 = U327
U311 = fst
U311 = isPLNatKind
U311 = isPLNat
U311 = natsFrom
U311 = tail
U312 = U327
U312 = fst
U312 = isPLNatKind
U312 = isPLNat
U312 = natsFrom
U312 = tail
U327 = fst
U327 = isPLNatKind
U327 = isPLNat
U327 = natsFrom
U327 = tail
fst = isPLNatKind
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNatKind = isPLNat
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isLNat(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U111(tt, V2) → U112(isLNatKind(activate(V2)))
U112(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U121(tt, V2) → U122(isLNatKind(activate(V2)))
U122(tt) → tt
U13(tt, N, XS) → U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U131(tt) → tt
U14(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U141(tt) → tt
U151(tt) → tt
U161(tt) → tt
U171(tt, V2) → U172(isLNatKind(activate(V2)))
U172(tt) → tt
U181(tt, V1) → U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U182(tt, V1) → U183(isLNat(activate(V1)))
U183(tt) → tt
U191(tt, V1) → U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U192(tt, V1) → U193(isNatural(activate(V1)))
U193(tt) → tt
U201(tt, V1, V2) → U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U202(tt, V1, V2) → U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U203(tt, V1, V2) → U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U204(tt, V1, V2) → U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U205(tt, V2) → U206(isLNat(activate(V2)))
U206(tt) → tt
U21(tt, X, Y) → U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
U211(tt) → tt
U22(tt, X, Y) → U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
U221(tt) → tt
U23(tt, X, Y) → U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
U231(tt, V2) → U232(isLNatKind(activate(V2)))
U232(tt) → tt
U24(tt, X) → activate(X)
U241(tt, V1, V2) → U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U242(tt, V1, V2) → U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U243(tt, V1, V2) → U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U244(tt, V1, V2) → U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U245(tt, V2) → U246(isLNat(activate(V2)))
U246(tt) → tt
U251(tt, V1, V2) → U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U252(tt, V1, V2) → U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U253(tt, V1, V2) → U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U254(tt, V1, V2) → U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U255(tt, V2) → U256(isLNat(activate(V2)))
U256(tt) → tt
U261(tt, V2) → U262(isLNatKind(activate(V2)))
U262(tt) → tt
U271(tt, V2) → U272(isLNatKind(activate(V2)))
U272(tt) → tt
U281(tt, N) → U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
U282(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U291(tt, N, XS) → U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U292(tt, N, XS) → U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U293(tt, N, XS) → U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U294(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U301(tt, X, Y) → U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
U302(tt, Y) → U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U303(tt, Y) → U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
U304(tt, Y) → activate(Y)
U31(tt, N, XS) → U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U311(tt, XS) → U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U312(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U32(tt, N, XS) → U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U321(tt, N, X, XS) → U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U322(tt, N, X, XS) → U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U323(tt, N, X, XS) → U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U324(tt, N, X, XS) → U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U325(tt, N, X, XS) → U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U326(tt, N, X, XS) → U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U327(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U33(tt, N, XS) → U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
U331(tt, N, XS) → U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
U332(tt, XS) → U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U333(tt, XS) → U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U334(tt, XS) → activate(XS)
U34(tt, N) → activate(N)
U341(tt, N, XS) → U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U342(tt, N, XS) → U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U343(tt, N, XS) → U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U344(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U41(tt, V1, V2) → U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isLNat(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U52(tt, V1, V2) → U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U53(tt, V1, V2) → U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U54(tt, V1, V2) → U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U55(tt, V2) → U56(isLNat(activate(V2)))
U56(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U62(tt, V1) → U63(isPLNat(activate(V1)))
U63(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U72(tt, V1) → U73(isNatural(activate(V1)))
U73(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U82(tt, V1) → U83(isPLNat(activate(V1)))
U83(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U92(tt, V1) → U93(isLNat(activate(V1)))
U93(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__fst(V1)) → U131(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → U141(isNaturalKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__snd(V1)) → U151(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__tail(V1)) → U161(isLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → U211(isLNatKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__s(V1)) → U221(isNaturalKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U281(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U291(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U301(isLNat(X), X, Y)
splitAt(0', XS) → U311(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U331(isNatural(N), N, activate(XS))
take(N, XS) → U341(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
niln__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0'n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
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tt :: tt
U102 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
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activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
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U104 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U105 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U106 :: tt → tt
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U131 :: tt → tt
snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U151 :: tt → tt
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U182 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
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U193 :: tt → tt
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U92 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U93 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_8 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_8 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
natsFrom, isNatural, isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U311, U312, U327, fst, isPLNatKind, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNaturalKind = activate
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = isNatural
isNaturalKind = isLNat
isNaturalKind = snd
isNaturalKind = splitAt
isNaturalKind = head
isNaturalKind = afterNth
isNaturalKind = U311
isNaturalKind = U312
isNaturalKind = U327
isNaturalKind = fst
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isPLNat
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
activate = isLNatKind
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U311
activate = U312
activate = U327
activate = fst
activate = isPLNatKind
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
isLNatKind = isNatural
isLNatKind = isLNat
isLNatKind = snd
isLNatKind = splitAt
isLNatKind = head
isLNatKind = afterNth
isLNatKind = U311
isLNatKind = U312
isLNatKind = U327
isLNatKind = fst
isLNatKind = isPLNatKind
isLNatKind = isPLNat
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U311
isNatural = U312
isNatural = U327
isNatural = fst
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U311
isLNat = U312
isLNat = U327
isLNat = fst
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U311
snd = U312
snd = U327
snd = fst
snd = isPLNatKind
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U311
splitAt = U312
splitAt = U327
splitAt = fst
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U311
head = U312
head = U327
head = fst
head = isPLNatKind
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U311
afterNth = U312
afterNth = U327
afterNth = fst
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U311 = U312
U311 = U327
U311 = fst
U311 = isPLNatKind
U311 = isPLNat
U311 = natsFrom
U311 = tail
U312 = U327
U312 = fst
U312 = isPLNatKind
U312 = isPLNat
U312 = natsFrom
U312 = tail
U327 = fst
U327 = isPLNatKind
U327 = isPLNat
U327 = natsFrom
U327 = tail
fst = isPLNatKind
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNatKind = isPLNat
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol natsFrom.

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isLNat(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U111(tt, V2) → U112(isLNatKind(activate(V2)))
U112(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U121(tt, V2) → U122(isLNatKind(activate(V2)))
U122(tt) → tt
U13(tt, N, XS) → U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U131(tt) → tt
U14(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U141(tt) → tt
U151(tt) → tt
U161(tt) → tt
U171(tt, V2) → U172(isLNatKind(activate(V2)))
U172(tt) → tt
U181(tt, V1) → U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U182(tt, V1) → U183(isLNat(activate(V1)))
U183(tt) → tt
U191(tt, V1) → U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U192(tt, V1) → U193(isNatural(activate(V1)))
U193(tt) → tt
U201(tt, V1, V2) → U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U202(tt, V1, V2) → U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U203(tt, V1, V2) → U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U204(tt, V1, V2) → U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U205(tt, V2) → U206(isLNat(activate(V2)))
U206(tt) → tt
U21(tt, X, Y) → U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
U211(tt) → tt
U22(tt, X, Y) → U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
U221(tt) → tt
U23(tt, X, Y) → U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
U231(tt, V2) → U232(isLNatKind(activate(V2)))
U232(tt) → tt
U24(tt, X) → activate(X)
U241(tt, V1, V2) → U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U242(tt, V1, V2) → U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U243(tt, V1, V2) → U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U244(tt, V1, V2) → U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U245(tt, V2) → U246(isLNat(activate(V2)))
U246(tt) → tt
U251(tt, V1, V2) → U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U252(tt, V1, V2) → U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U253(tt, V1, V2) → U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U254(tt, V1, V2) → U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U255(tt, V2) → U256(isLNat(activate(V2)))
U256(tt) → tt
U261(tt, V2) → U262(isLNatKind(activate(V2)))
U262(tt) → tt
U271(tt, V2) → U272(isLNatKind(activate(V2)))
U272(tt) → tt
U281(tt, N) → U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
U282(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U291(tt, N, XS) → U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U292(tt, N, XS) → U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U293(tt, N, XS) → U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U294(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U301(tt, X, Y) → U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
U302(tt, Y) → U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U303(tt, Y) → U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
U304(tt, Y) → activate(Y)
U31(tt, N, XS) → U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U311(tt, XS) → U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U312(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U32(tt, N, XS) → U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U321(tt, N, X, XS) → U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U322(tt, N, X, XS) → U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U323(tt, N, X, XS) → U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U324(tt, N, X, XS) → U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U325(tt, N, X, XS) → U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U326(tt, N, X, XS) → U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U327(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U33(tt, N, XS) → U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
U331(tt, N, XS) → U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
U332(tt, XS) → U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U333(tt, XS) → U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U334(tt, XS) → activate(XS)
U34(tt, N) → activate(N)
U341(tt, N, XS) → U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U342(tt, N, XS) → U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U343(tt, N, XS) → U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U344(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U41(tt, V1, V2) → U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isLNat(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U52(tt, V1, V2) → U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U53(tt, V1, V2) → U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U54(tt, V1, V2) → U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U55(tt, V2) → U56(isLNat(activate(V2)))
U56(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U62(tt, V1) → U63(isPLNat(activate(V1)))
U63(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U72(tt, V1) → U73(isNatural(activate(V1)))
U73(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U82(tt, V1) → U83(isPLNat(activate(V1)))
U83(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U92(tt, V1) → U93(isLNat(activate(V1)))
U93(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__fst(V1)) → U131(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → U141(isNaturalKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__snd(V1)) → U151(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__tail(V1)) → U161(isLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
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isNaturalKind(n__head(V1)) → U211(isLNatKind(activate(V1)))
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isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
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isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
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sel(N, XS) → U291(isNatural(N), N, XS)
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niln__nil
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cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
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snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0'n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
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activate(X) → X

Types:
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n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_8 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_8 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatural, isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U311, U312, U327, fst, isPLNatKind, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNaturalKind = activate
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = isNatural
isNaturalKind = isLNat
isNaturalKind = snd
isNaturalKind = splitAt
isNaturalKind = head
isNaturalKind = afterNth
isNaturalKind = U311
isNaturalKind = U312
isNaturalKind = U327
isNaturalKind = fst
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isPLNat
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
activate = isLNatKind
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U311
activate = U312
activate = U327
activate = fst
activate = isPLNatKind
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
isLNatKind = isNatural
isLNatKind = isLNat
isLNatKind = snd
isLNatKind = splitAt
isLNatKind = head
isLNatKind = afterNth
isLNatKind = U311
isLNatKind = U312
isLNatKind = U327
isLNatKind = fst
isLNatKind = isPLNatKind
isLNatKind = isPLNat
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U311
isNatural = U312
isNatural = U327
isNatural = fst
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U311
isLNat = U312
isLNat = U327
isLNat = fst
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U311
snd = U312
snd = U327
snd = fst
snd = isPLNatKind
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U311
splitAt = U312
splitAt = U327
splitAt = fst
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U311
head = U312
head = U327
head = fst
head = isPLNatKind
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U311
afterNth = U312
afterNth = U327
afterNth = fst
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U311 = U312
U311 = U327
U311 = fst
U311 = isPLNatKind
U311 = isPLNat
U311 = natsFrom
U311 = tail
U312 = U327
U312 = fst
U312 = isPLNatKind
U312 = isPLNat
U312 = natsFrom
U312 = tail
U327 = fst
U327 = isPLNatKind
U327 = isPLNat
U327 = natsFrom
U327 = tail
fst = isPLNatKind
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNatKind = isPLNat
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatural.

(18) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isLNat(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U111(tt, V2) → U112(isLNatKind(activate(V2)))
U112(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U121(tt, V2) → U122(isLNatKind(activate(V2)))
U122(tt) → tt
U13(tt, N, XS) → U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U131(tt) → tt
U14(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U141(tt) → tt
U151(tt) → tt
U161(tt) → tt
U171(tt, V2) → U172(isLNatKind(activate(V2)))
U172(tt) → tt
U181(tt, V1) → U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U182(tt, V1) → U183(isLNat(activate(V1)))
U183(tt) → tt
U191(tt, V1) → U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U192(tt, V1) → U193(isNatural(activate(V1)))
U193(tt) → tt
U201(tt, V1, V2) → U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U202(tt, V1, V2) → U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U203(tt, V1, V2) → U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U204(tt, V1, V2) → U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U205(tt, V2) → U206(isLNat(activate(V2)))
U206(tt) → tt
U21(tt, X, Y) → U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
U211(tt) → tt
U22(tt, X, Y) → U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
U221(tt) → tt
U23(tt, X, Y) → U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
U231(tt, V2) → U232(isLNatKind(activate(V2)))
U232(tt) → tt
U24(tt, X) → activate(X)
U241(tt, V1, V2) → U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U242(tt, V1, V2) → U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U243(tt, V1, V2) → U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U244(tt, V1, V2) → U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U245(tt, V2) → U246(isLNat(activate(V2)))
U246(tt) → tt
U251(tt, V1, V2) → U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U252(tt, V1, V2) → U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U253(tt, V1, V2) → U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U254(tt, V1, V2) → U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U255(tt, V2) → U256(isLNat(activate(V2)))
U256(tt) → tt
U261(tt, V2) → U262(isLNatKind(activate(V2)))
U262(tt) → tt
U271(tt, V2) → U272(isLNatKind(activate(V2)))
U272(tt) → tt
U281(tt, N) → U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
U282(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U291(tt, N, XS) → U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U292(tt, N, XS) → U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U293(tt, N, XS) → U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U294(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U301(tt, X, Y) → U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
U302(tt, Y) → U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U303(tt, Y) → U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
U304(tt, Y) → activate(Y)
U31(tt, N, XS) → U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U311(tt, XS) → U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U312(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U32(tt, N, XS) → U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U321(tt, N, X, XS) → U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U322(tt, N, X, XS) → U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U323(tt, N, X, XS) → U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U324(tt, N, X, XS) → U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U325(tt, N, X, XS) → U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U326(tt, N, X, XS) → U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U327(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U33(tt, N, XS) → U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
U331(tt, N, XS) → U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
U332(tt, XS) → U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U333(tt, XS) → U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U334(tt, XS) → activate(XS)
U34(tt, N) → activate(N)
U341(tt, N, XS) → U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U342(tt, N, XS) → U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U343(tt, N, XS) → U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U344(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U41(tt, V1, V2) → U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isLNat(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U52(tt, V1, V2) → U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U53(tt, V1, V2) → U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U54(tt, V1, V2) → U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U55(tt, V2) → U56(isLNat(activate(V2)))
U56(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U62(tt, V1) → U63(isPLNat(activate(V1)))
U63(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U72(tt, V1) → U73(isNatural(activate(V1)))
U73(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U82(tt, V1) → U83(isPLNat(activate(V1)))
U83(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U92(tt, V1) → U93(isLNat(activate(V1)))
U93(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__fst(V1)) → U131(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → U141(isNaturalKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__snd(V1)) → U151(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__tail(V1)) → U161(isLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → U211(isLNatKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__s(V1)) → U221(isNaturalKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U281(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U291(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U301(isLNat(X), X, Y)
splitAt(0', XS) → U311(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U331(isNatural(N), N, activate(XS))
take(N, XS) → U341(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
niln__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0'n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
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sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_8 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_8 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U311, U312, U327, fst, isPLNatKind, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNaturalKind = activate
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = isNatural
isNaturalKind = isLNat
isNaturalKind = snd
isNaturalKind = splitAt
isNaturalKind = head
isNaturalKind = afterNth
isNaturalKind = U311
isNaturalKind = U312
isNaturalKind = U327
isNaturalKind = fst
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isPLNat
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
activate = isLNatKind
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U311
activate = U312
activate = U327
activate = fst
activate = isPLNatKind
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
isLNatKind = isNatural
isLNatKind = isLNat
isLNatKind = snd
isLNatKind = splitAt
isLNatKind = head
isLNatKind = afterNth
isLNatKind = U311
isLNatKind = U312
isLNatKind = U327
isLNatKind = fst
isLNatKind = isPLNatKind
isLNatKind = isPLNat
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U311
isNatural = U312
isNatural = U327
isNatural = fst
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U311
isLNat = U312
isLNat = U327
isLNat = fst
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U311
snd = U312
snd = U327
snd = fst
snd = isPLNatKind
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U311
splitAt = U312
splitAt = U327
splitAt = fst
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U311
head = U312
head = U327
head = fst
head = isPLNatKind
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U311
afterNth = U312
afterNth = U327
afterNth = fst
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U311 = U312
U311 = U327
U311 = fst
U311 = isPLNatKind
U311 = isPLNat
U311 = natsFrom
U311 = tail
U312 = U327
U312 = fst
U312 = isPLNatKind
U312 = isPLNat
U312 = natsFrom
U312 = tail
U327 = fst
U327 = isPLNatKind
U327 = isPLNat
U327 = natsFrom
U327 = tail
fst = isPLNatKind
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNatKind = isPLNat
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isLNat.

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isLNat(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U111(tt, V2) → U112(isLNatKind(activate(V2)))
U112(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U121(tt, V2) → U122(isLNatKind(activate(V2)))
U122(tt) → tt
U13(tt, N, XS) → U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U131(tt) → tt
U14(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U141(tt) → tt
U151(tt) → tt
U161(tt) → tt
U171(tt, V2) → U172(isLNatKind(activate(V2)))
U172(tt) → tt
U181(tt, V1) → U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U182(tt, V1) → U183(isLNat(activate(V1)))
U183(tt) → tt
U191(tt, V1) → U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U192(tt, V1) → U193(isNatural(activate(V1)))
U193(tt) → tt
U201(tt, V1, V2) → U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U202(tt, V1, V2) → U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U203(tt, V1, V2) → U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U204(tt, V1, V2) → U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U205(tt, V2) → U206(isLNat(activate(V2)))
U206(tt) → tt
U21(tt, X, Y) → U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
U211(tt) → tt
U22(tt, X, Y) → U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
U221(tt) → tt
U23(tt, X, Y) → U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
U231(tt, V2) → U232(isLNatKind(activate(V2)))
U232(tt) → tt
U24(tt, X) → activate(X)
U241(tt, V1, V2) → U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U242(tt, V1, V2) → U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U243(tt, V1, V2) → U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U244(tt, V1, V2) → U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U245(tt, V2) → U246(isLNat(activate(V2)))
U246(tt) → tt
U251(tt, V1, V2) → U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U252(tt, V1, V2) → U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U253(tt, V1, V2) → U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U254(tt, V1, V2) → U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U255(tt, V2) → U256(isLNat(activate(V2)))
U256(tt) → tt
U261(tt, V2) → U262(isLNatKind(activate(V2)))
U262(tt) → tt
U271(tt, V2) → U272(isLNatKind(activate(V2)))
U272(tt) → tt
U281(tt, N) → U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
U282(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U291(tt, N, XS) → U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U292(tt, N, XS) → U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U293(tt, N, XS) → U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U294(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U301(tt, X, Y) → U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
U302(tt, Y) → U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U303(tt, Y) → U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
U304(tt, Y) → activate(Y)
U31(tt, N, XS) → U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U311(tt, XS) → U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U312(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U32(tt, N, XS) → U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U321(tt, N, X, XS) → U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U322(tt, N, X, XS) → U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U323(tt, N, X, XS) → U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U324(tt, N, X, XS) → U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U325(tt, N, X, XS) → U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U326(tt, N, X, XS) → U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U327(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U33(tt, N, XS) → U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
U331(tt, N, XS) → U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
U332(tt, XS) → U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U333(tt, XS) → U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U334(tt, XS) → activate(XS)
U34(tt, N) → activate(N)
U341(tt, N, XS) → U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U342(tt, N, XS) → U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U343(tt, N, XS) → U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U344(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U41(tt, V1, V2) → U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isLNat(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U52(tt, V1, V2) → U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U53(tt, V1, V2) → U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U54(tt, V1, V2) → U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U55(tt, V2) → U56(isLNat(activate(V2)))
U56(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U62(tt, V1) → U63(isPLNat(activate(V1)))
U63(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U72(tt, V1) → U73(isNatural(activate(V1)))
U73(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U82(tt, V1) → U83(isPLNat(activate(V1)))
U83(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U92(tt, V1) → U93(isLNat(activate(V1)))
U93(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__fst(V1)) → U131(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → U141(isNaturalKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__snd(V1)) → U151(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__tail(V1)) → U161(isLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → U211(isLNatKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__s(V1)) → U221(isNaturalKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U281(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U291(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U301(isLNat(X), X, Y)
splitAt(0', XS) → U311(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U331(isNatural(N), N, activate(XS))
take(N, XS) → U341(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
niln__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0'n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isNaturalKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isLNatKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U104 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U105 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U106 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
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fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U43 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
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n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_8 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_8 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isPLNatKind, snd, splitAt, head, afterNth, U311, U312, U327, fst, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNaturalKind = activate
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = isNatural
isNaturalKind = isLNat
isNaturalKind = snd
isNaturalKind = splitAt
isNaturalKind = head
isNaturalKind = afterNth
isNaturalKind = U311
isNaturalKind = U312
isNaturalKind = U327
isNaturalKind = fst
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isPLNat
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
activate = isLNatKind
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U311
activate = U312
activate = U327
activate = fst
activate = isPLNatKind
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
isLNatKind = isNatural
isLNatKind = isLNat
isLNatKind = snd
isLNatKind = splitAt
isLNatKind = head
isLNatKind = afterNth
isLNatKind = U311
isLNatKind = U312
isLNatKind = U327
isLNatKind = fst
isLNatKind = isPLNatKind
isLNatKind = isPLNat
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U311
isNatural = U312
isNatural = U327
isNatural = fst
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U311
isLNat = U312
isLNat = U327
isLNat = fst
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U311
snd = U312
snd = U327
snd = fst
snd = isPLNatKind
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U311
splitAt = U312
splitAt = U327
splitAt = fst
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U311
head = U312
head = U327
head = fst
head = isPLNatKind
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U311
afterNth = U312
afterNth = U327
afterNth = fst
afterNth = isPLNatKind
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U311 = U312
U311 = U327
U311 = fst
U311 = isPLNatKind
U311 = isPLNat
U311 = natsFrom
U311 = tail
U312 = U327
U312 = fst
U312 = isPLNatKind
U312 = isPLNat
U312 = natsFrom
U312 = tail
U327 = fst
U327 = isPLNatKind
U327 = isPLNat
U327 = natsFrom
U327 = tail
fst = isPLNatKind
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
isPLNatKind = isPLNat
isPLNatKind = natsFrom
isPLNatKind = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isPLNatKind.

(22) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, V1, V2) → U102(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U102(tt, V1, V2) → U103(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U103(tt, V1, V2) → U104(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U104(tt, V1, V2) → U105(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U105(tt, V2) → U106(isLNat(activate(V2)))
U106(tt) → tt
U11(tt, N, XS) → U12(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U111(tt, V2) → U112(isLNatKind(activate(V2)))
U112(tt) → tt
U12(tt, N, XS) → U13(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U121(tt, V2) → U122(isLNatKind(activate(V2)))
U122(tt) → tt
U13(tt, N, XS) → U14(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U131(tt) → tt
U14(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U141(tt) → tt
U151(tt) → tt
U161(tt) → tt
U171(tt, V2) → U172(isLNatKind(activate(V2)))
U172(tt) → tt
U181(tt, V1) → U182(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U182(tt, V1) → U183(isLNat(activate(V1)))
U183(tt) → tt
U191(tt, V1) → U192(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U192(tt, V1) → U193(isNatural(activate(V1)))
U193(tt) → tt
U201(tt, V1, V2) → U202(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U202(tt, V1, V2) → U203(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U203(tt, V1, V2) → U204(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U204(tt, V1, V2) → U205(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U205(tt, V2) → U206(isLNat(activate(V2)))
U206(tt) → tt
U21(tt, X, Y) → U22(isLNatKind(activate(X)), activate(X), activate(Y))
U211(tt) → tt
U22(tt, X, Y) → U23(isLNat(activate(Y)), activate(X), activate(Y))
U221(tt) → tt
U23(tt, X, Y) → U24(isLNatKind(activate(Y)), activate(X))
U231(tt, V2) → U232(isLNatKind(activate(V2)))
U232(tt) → tt
U24(tt, X) → activate(X)
U241(tt, V1, V2) → U242(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U242(tt, V1, V2) → U243(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U243(tt, V1, V2) → U244(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U244(tt, V1, V2) → U245(isLNat(activate(V1)), activate(V2))
U245(tt, V2) → U246(isLNat(activate(V2)))
U246(tt) → tt
U251(tt, V1, V2) → U252(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U252(tt, V1, V2) → U253(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U253(tt, V1, V2) → U254(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U254(tt, V1, V2) → U255(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U255(tt, V2) → U256(isLNat(activate(V2)))
U256(tt) → tt
U261(tt, V2) → U262(isLNatKind(activate(V2)))
U262(tt) → tt
U271(tt, V2) → U272(isLNatKind(activate(V2)))
U272(tt) → tt
U281(tt, N) → U282(isNaturalKind(activate(N)), activate(N))
U282(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N))))
U291(tt, N, XS) → U292(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U292(tt, N, XS) → U293(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U293(tt, N, XS) → U294(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U294(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U301(tt, X, Y) → U302(isLNatKind(activate(X)), activate(Y))
U302(tt, Y) → U303(isLNat(activate(Y)), activate(Y))
U303(tt, Y) → U304(isLNatKind(activate(Y)), activate(Y))
U304(tt, Y) → activate(Y)
U31(tt, N, XS) → U32(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U311(tt, XS) → U312(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U312(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U32(tt, N, XS) → U33(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U321(tt, N, X, XS) → U322(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U322(tt, N, X, XS) → U323(isNatural(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U323(tt, N, X, XS) → U324(isNaturalKind(activate(X)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U324(tt, N, X, XS) → U325(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U325(tt, N, X, XS) → U326(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(X), activate(XS))
U326(tt, N, X, XS) → U327(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U327(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U33(tt, N, XS) → U34(isLNatKind(activate(XS)), activate(N))
U331(tt, N, XS) → U332(isNaturalKind(activate(N)), activate(XS))
U332(tt, XS) → U333(isLNat(activate(XS)), activate(XS))
U333(tt, XS) → U334(isLNatKind(activate(XS)), activate(XS))
U334(tt, XS) → activate(XS)
U34(tt, N) → activate(N)
U341(tt, N, XS) → U342(isNaturalKind(activate(N)), activate(N), activate(XS))
U342(tt, N, XS) → U343(isLNat(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U343(tt, N, XS) → U344(isLNatKind(activate(XS)), activate(N), activate(XS))
U344(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U41(tt, V1, V2) → U42(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isLNat(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V1, V2) → U52(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U52(tt, V1, V2) → U53(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U53(tt, V1, V2) → U54(isLNatKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U54(tt, V1, V2) → U55(isNatural(activate(V1)), activate(V2))
U55(tt, V2) → U56(isLNat(activate(V2)))
U56(tt) → tt
U61(tt, V1) → U62(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U62(tt, V1) → U63(isPLNat(activate(V1)))
U63(tt) → tt
U71(tt, V1) → U72(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
U72(tt, V1) → U73(isNatural(activate(V1)))
U73(tt) → tt
U81(tt, V1) → U82(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U82(tt, V1) → U83(isPLNat(activate(V1)))
U83(tt) → tt
U91(tt, V1) → U92(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U92(tt, V1) → U93(isLNat(activate(V1)))
U93(tt) → tt
afterNth(N, XS) → U11(isNatural(N), N, XS)
fst(pair(X, Y)) → U21(isLNat(X), X, Y)
head(cons(N, XS)) → U31(isNatural(N), N, activate(XS))
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → U41(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → U51(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNat(n__fst(V1)) → U61(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → U71(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → U81(isPLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → U91(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → U101(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isLNatKind(n__nil) → tt
isLNatKind(n__afterNth(V1, V2)) → U111(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__cons(V1, V2)) → U121(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isLNatKind(n__fst(V1)) → U131(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__natsFrom(V1)) → U141(isNaturalKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__snd(V1)) → U151(isPLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__tail(V1)) → U161(isLNatKind(activate(V1)))
isLNatKind(n__take(V1, V2)) → U171(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → U181(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → U191(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → U201(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNaturalKind(n__0) → tt
isNaturalKind(n__head(V1)) → U211(isLNatKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__s(V1)) → U221(isNaturalKind(activate(V1)))
isNaturalKind(n__sel(V1, V2)) → U231(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → U241(isLNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → U251(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isPLNatKind(n__pair(V1, V2)) → U261(isLNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isPLNatKind(n__splitAt(V1, V2)) → U271(isNaturalKind(activate(V1)), activate(V2))
natsFrom(N) → U281(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U291(isNatural(N), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U301(isLNat(X), X, Y)
splitAt(0', XS) → U311(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U321(isNatural(N), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U331(isNatural(N), N, activate(XS))
take(N, XS) → U341(isNatural(N), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
niln__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0'n__0
head(X) → n__head(X)
s(X) → n__s(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(X1, X2)
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__fst(X)) → fst(X)
activate(n__snd(X)) → snd(X)
activate(n__tail(X)) → tail(X)
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(X1, X2)
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(X1, X2)
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
tt :: tt
U102 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isNaturalKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
activate :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U103 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isLNatKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U104 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U105 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isNatural :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U106 :: tt → tt
isLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U11 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U12 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U111 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U112 :: tt → tt
U13 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
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U122 :: tt → tt
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U325 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U326 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U327 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U34 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U331 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U332 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U333 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U334 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U341 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U342 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U343 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U344 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
U41 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U42 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U43 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U44 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U45 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U46 :: tt → tt
U51 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U52 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U53 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U54 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U55 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U56 :: tt → tt
U61 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U62 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
isPLNatKind :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U63 :: tt → tt
isPLNat :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U71 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U72 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U73 :: tt → tt
U81 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U82 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U83 :: tt → tt
U91 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U92 :: tt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → tt
U93 :: tt → tt
n__nil :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__afterNth :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__cons :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__fst :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__snd :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__0 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__head :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__s :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__pair :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
n__splitAt :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
natsFrom :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
sel :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
0' :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
tail :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
take :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
hole_tt1_8 :: tt
hole_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt2_8 :: n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8 :: Nat → n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt

Generator Equations:
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(0) ⇔ n__nil
gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_n__natsFrom:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__s:n__sel:n__pair:n__splitAt3_8(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isPLNat, snd, splitAt, head, afterNth, U311, U312, U327, fst, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNaturalKind = activate
isNaturalKind = isLNatKind
isNaturalKind = isNatural
isNaturalKind = isLNat
isNaturalKind = snd
isNaturalKind = splitAt
isNaturalKind = head
isNaturalKind = afterNth
isNaturalKind = U311
isNaturalKind = U312
isNaturalKind = U327
isNaturalKind = fst
isNaturalKind = isPLNatKind
isNaturalKind = isPLNat
isNaturalKind = natsFrom
isNaturalKind = tail
activate = isLNatKind
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = snd
activate = splitAt
activate = head
activate = afterNth
activate = U311
activate = U312
activate = U327
activate = fst
activate = isPLNatKind
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
isLNatKind = isNatural
isLNatKind = isLNat
isLNatKind = snd
isLNatKind = splitAt
isLNatKind = head
isLNatKind = afterNth
isLNatKind = U311
isLNatKind = U312
isLNatKind = U327
isLNatKind = fst
isLNatKind = isPLNatKind
isLNatKind = isPLNat
isLNatKind = natsFrom
isLNatKind = tail
isNatural = isLNat
isNatural = snd
isNatural = splitAt
isNatural = head
isNatural = afterNth
isNatural = U311
isNatural = U312
isNatural = U327
isNatural = fst
isNatural = isPLNatKind
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = snd
isLNat = splitAt
isLNat = head
isLNat = afterNth
isLNat = U311
isLNat = U312
isLNat = U327
isLNat = fst
isLNat = isPLNatKind
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
snd = splitAt
snd = head
snd = afterNth
snd = U311
snd = U312
snd = U327
snd = fst
snd = isPLNatKind
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U311
splitAt = U312
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splitAt = fst
splitAt = isPLNatKind
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
head = afterNth
head = U311
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head = fst
head = isPLNatKind
head = isPLNat
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afterNth = U311
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afterNth = fst
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U327 = fst
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