(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0, n__zeros)
take(0, IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0 → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X
Rewrite Strategy: FULL
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
isNatIList(n__take(N537_3, IL538_3)) →+ and(isNat(activate(N537_3)), isNatIList(IL538_3))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [IL538_3 / n__take(N537_3, IL538_3)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X
Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNatIList,
isNatList,
activate,
isNat,
lengthThey will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
and(
tt,
T) →
TisNatIList(
IL) →
isNatList(
activate(
IL))
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__s(
N)) →
isNat(
activate(
N))
isNat(
n__length(
L)) →
isNatList(
activate(
L))
isNatIList(
n__zeros) →
ttisNatIList(
n__cons(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
isNatList(
n__nil) →
ttisNatList(
n__cons(
N,
L)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatList(
activate(
L)))
isNatList(
n__take(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
zeros →
cons(
0',
n__zeros)
take(
0',
IL) →
uTake1(
isNatIList(
IL))
uTake1(
tt) →
niltake(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
uTake2(
and(
isNat(
M),
and(
isNat(
N),
isNatIList(
activate(
IL)))),
M,
N,
activate(
IL))
uTake2(
tt,
M,
N,
IL) →
cons(
activate(
N),
n__take(
activate(
M),
activate(
IL)))
length(
cons(
N,
L)) →
uLength(
and(
isNat(
N),
isNatList(
activate(
L))),
activate(
L))
uLength(
tt,
L) →
s(
length(
activate(
L)))
0' →
n__0s(
X) →
n__s(
X)
length(
X) →
n__length(
X)
zeros →
n__zeroscons(
X1,
X2) →
n__cons(
X1,
X2)
nil →
n__niltake(
X1,
X2) →
n__take(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__length(
X)) →
length(
X)
activate(
n__zeros) →
zerosactivate(
n__cons(
X1,
X2)) →
cons(
X1,
X2)
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__take(
X1,
X2)) →
take(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, isNatIList, activate, isNat, length
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.
(10) Obligation:
TRS:
Rules:
and(
tt,
T) →
TisNatIList(
IL) →
isNatList(
activate(
IL))
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__s(
N)) →
isNat(
activate(
N))
isNat(
n__length(
L)) →
isNatList(
activate(
L))
isNatIList(
n__zeros) →
ttisNatIList(
n__cons(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
isNatList(
n__nil) →
ttisNatList(
n__cons(
N,
L)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatList(
activate(
L)))
isNatList(
n__take(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
zeros →
cons(
0',
n__zeros)
take(
0',
IL) →
uTake1(
isNatIList(
IL))
uTake1(
tt) →
niltake(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
uTake2(
and(
isNat(
M),
and(
isNat(
N),
isNatIList(
activate(
IL)))),
M,
N,
activate(
IL))
uTake2(
tt,
M,
N,
IL) →
cons(
activate(
N),
n__take(
activate(
M),
activate(
IL)))
length(
cons(
N,
L)) →
uLength(
and(
isNat(
N),
isNatList(
activate(
L))),
activate(
L))
uLength(
tt,
L) →
s(
length(
activate(
L)))
0' →
n__0s(
X) →
n__s(
X)
length(
X) →
n__length(
X)
zeros →
n__zeroscons(
X1,
X2) →
n__cons(
X1,
X2)
nil →
n__niltake(
X1,
X2) →
n__take(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__length(
X)) →
length(
X)
activate(
n__zeros) →
zerosactivate(
n__cons(
X1,
X2)) →
cons(
X1,
X2)
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__take(
X1,
X2)) →
take(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, isNatIList, activate, length
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length
(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
isNat(
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(
n24_3)) →
tt, rt ∈ Ω(1 + n24
3)
Induction Base:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0)) →RΩ(1)
tt
Induction Step:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(n24_3, 1))) →RΩ(1)
isNat(activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3))) →RΩ(1)
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) →IH
tt
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(12) Complex Obligation (BEST)
(13) Obligation:
TRS:
Rules:
and(
tt,
T) →
TisNatIList(
IL) →
isNatList(
activate(
IL))
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__s(
N)) →
isNat(
activate(
N))
isNat(
n__length(
L)) →
isNatList(
activate(
L))
isNatIList(
n__zeros) →
ttisNatIList(
n__cons(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
isNatList(
n__nil) →
ttisNatList(
n__cons(
N,
L)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatList(
activate(
L)))
isNatList(
n__take(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
zeros →
cons(
0',
n__zeros)
take(
0',
IL) →
uTake1(
isNatIList(
IL))
uTake1(
tt) →
niltake(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
uTake2(
and(
isNat(
M),
and(
isNat(
N),
isNatIList(
activate(
IL)))),
M,
N,
activate(
IL))
uTake2(
tt,
M,
N,
IL) →
cons(
activate(
N),
n__take(
activate(
M),
activate(
IL)))
length(
cons(
N,
L)) →
uLength(
and(
isNat(
N),
isNatList(
activate(
L))),
activate(
L))
uLength(
tt,
L) →
s(
length(
activate(
L)))
0' →
n__0s(
X) →
n__s(
X)
length(
X) →
n__length(
X)
zeros →
n__zeroscons(
X1,
X2) →
n__cons(
X1,
X2)
nil →
n__niltake(
X1,
X2) →
n__take(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__length(
X)) →
length(
X)
activate(
n__zeros) →
zerosactivate(
n__cons(
X1,
X2)) →
cons(
X1,
X2)
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__take(
X1,
X2)) →
take(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n243)
Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNatIList, isNatList, length
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length
(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.
(15) Obligation:
TRS:
Rules:
and(
tt,
T) →
TisNatIList(
IL) →
isNatList(
activate(
IL))
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__s(
N)) →
isNat(
activate(
N))
isNat(
n__length(
L)) →
isNatList(
activate(
L))
isNatIList(
n__zeros) →
ttisNatIList(
n__cons(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
isNatList(
n__nil) →
ttisNatList(
n__cons(
N,
L)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatList(
activate(
L)))
isNatList(
n__take(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
zeros →
cons(
0',
n__zeros)
take(
0',
IL) →
uTake1(
isNatIList(
IL))
uTake1(
tt) →
niltake(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
uTake2(
and(
isNat(
M),
and(
isNat(
N),
isNatIList(
activate(
IL)))),
M,
N,
activate(
IL))
uTake2(
tt,
M,
N,
IL) →
cons(
activate(
N),
n__take(
activate(
M),
activate(
IL)))
length(
cons(
N,
L)) →
uLength(
and(
isNat(
N),
isNatList(
activate(
L))),
activate(
L))
uLength(
tt,
L) →
s(
length(
activate(
L)))
0' →
n__0s(
X) →
n__s(
X)
length(
X) →
n__length(
X)
zeros →
n__zeroscons(
X1,
X2) →
n__cons(
X1,
X2)
nil →
n__niltake(
X1,
X2) →
n__take(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__length(
X)) →
length(
X)
activate(
n__zeros) →
zerosactivate(
n__cons(
X1,
X2)) →
cons(
X1,
X2)
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__take(
X1,
X2)) →
take(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n243)
Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
length, isNatIList, isNatList
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length
(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol length.
(17) Obligation:
TRS:
Rules:
and(
tt,
T) →
TisNatIList(
IL) →
isNatList(
activate(
IL))
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__s(
N)) →
isNat(
activate(
N))
isNat(
n__length(
L)) →
isNatList(
activate(
L))
isNatIList(
n__zeros) →
ttisNatIList(
n__cons(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
isNatList(
n__nil) →
ttisNatList(
n__cons(
N,
L)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatList(
activate(
L)))
isNatList(
n__take(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
zeros →
cons(
0',
n__zeros)
take(
0',
IL) →
uTake1(
isNatIList(
IL))
uTake1(
tt) →
niltake(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
uTake2(
and(
isNat(
M),
and(
isNat(
N),
isNatIList(
activate(
IL)))),
M,
N,
activate(
IL))
uTake2(
tt,
M,
N,
IL) →
cons(
activate(
N),
n__take(
activate(
M),
activate(
IL)))
length(
cons(
N,
L)) →
uLength(
and(
isNat(
N),
isNatList(
activate(
L))),
activate(
L))
uLength(
tt,
L) →
s(
length(
activate(
L)))
0' →
n__0s(
X) →
n__s(
X)
length(
X) →
n__length(
X)
zeros →
n__zeroscons(
X1,
X2) →
n__cons(
X1,
X2)
nil →
n__niltake(
X1,
X2) →
n__take(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__length(
X)) →
length(
X)
activate(
n__zeros) →
zerosactivate(
n__cons(
X1,
X2)) →
cons(
X1,
X2)
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__take(
X1,
X2)) →
take(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n243)
Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIList, isNatList
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length
(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIList.
(19) Obligation:
TRS:
Rules:
and(
tt,
T) →
TisNatIList(
IL) →
isNatList(
activate(
IL))
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__s(
N)) →
isNat(
activate(
N))
isNat(
n__length(
L)) →
isNatList(
activate(
L))
isNatIList(
n__zeros) →
ttisNatIList(
n__cons(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
isNatList(
n__nil) →
ttisNatList(
n__cons(
N,
L)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatList(
activate(
L)))
isNatList(
n__take(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
zeros →
cons(
0',
n__zeros)
take(
0',
IL) →
uTake1(
isNatIList(
IL))
uTake1(
tt) →
niltake(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
uTake2(
and(
isNat(
M),
and(
isNat(
N),
isNatIList(
activate(
IL)))),
M,
N,
activate(
IL))
uTake2(
tt,
M,
N,
IL) →
cons(
activate(
N),
n__take(
activate(
M),
activate(
IL)))
length(
cons(
N,
L)) →
uLength(
and(
isNat(
N),
isNatList(
activate(
L))),
activate(
L))
uLength(
tt,
L) →
s(
length(
activate(
L)))
0' →
n__0s(
X) →
n__s(
X)
length(
X) →
n__length(
X)
zeros →
n__zeroscons(
X1,
X2) →
n__cons(
X1,
X2)
nil →
n__niltake(
X1,
X2) →
n__take(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__length(
X)) →
length(
X)
activate(
n__zeros) →
zerosactivate(
n__cons(
X1,
X2)) →
cons(
X1,
X2)
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__take(
X1,
X2)) →
take(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n243)
Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList
They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length
(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.
(21) Obligation:
TRS:
Rules:
and(
tt,
T) →
TisNatIList(
IL) →
isNatList(
activate(
IL))
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__s(
N)) →
isNat(
activate(
N))
isNat(
n__length(
L)) →
isNatList(
activate(
L))
isNatIList(
n__zeros) →
ttisNatIList(
n__cons(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
isNatList(
n__nil) →
ttisNatList(
n__cons(
N,
L)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatList(
activate(
L)))
isNatList(
n__take(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
zeros →
cons(
0',
n__zeros)
take(
0',
IL) →
uTake1(
isNatIList(
IL))
uTake1(
tt) →
niltake(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
uTake2(
and(
isNat(
M),
and(
isNat(
N),
isNatIList(
activate(
IL)))),
M,
N,
activate(
IL))
uTake2(
tt,
M,
N,
IL) →
cons(
activate(
N),
n__take(
activate(
M),
activate(
IL)))
length(
cons(
N,
L)) →
uLength(
and(
isNat(
N),
isNatList(
activate(
L))),
activate(
L))
uLength(
tt,
L) →
s(
length(
activate(
L)))
0' →
n__0s(
X) →
n__s(
X)
length(
X) →
n__length(
X)
zeros →
n__zeroscons(
X1,
X2) →
n__cons(
X1,
X2)
nil →
n__niltake(
X1,
X2) →
n__take(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__length(
X)) →
length(
X)
activate(
n__zeros) →
zerosactivate(
n__cons(
X1,
X2)) →
cons(
X1,
X2)
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__take(
X1,
X2)) →
take(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n243)
Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))
No more defined symbols left to analyse.
(22) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n243)
(23) BOUNDS(n^1, INF)
(24) Obligation:
TRS:
Rules:
and(
tt,
T) →
TisNatIList(
IL) →
isNatList(
activate(
IL))
isNat(
n__0) →
ttisNat(
n__s(
N)) →
isNat(
activate(
N))
isNat(
n__length(
L)) →
isNatList(
activate(
L))
isNatIList(
n__zeros) →
ttisNatIList(
n__cons(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
isNatList(
n__nil) →
ttisNatList(
n__cons(
N,
L)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatList(
activate(
L)))
isNatList(
n__take(
N,
IL)) →
and(
isNat(
activate(
N)),
isNatIList(
activate(
IL)))
zeros →
cons(
0',
n__zeros)
take(
0',
IL) →
uTake1(
isNatIList(
IL))
uTake1(
tt) →
niltake(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
uTake2(
and(
isNat(
M),
and(
isNat(
N),
isNatIList(
activate(
IL)))),
M,
N,
activate(
IL))
uTake2(
tt,
M,
N,
IL) →
cons(
activate(
N),
n__take(
activate(
M),
activate(
IL)))
length(
cons(
N,
L)) →
uLength(
and(
isNat(
N),
isNatList(
activate(
L))),
activate(
L))
uLength(
tt,
L) →
s(
length(
activate(
L)))
0' →
n__0s(
X) →
n__s(
X)
length(
X) →
n__length(
X)
zeros →
n__zeroscons(
X1,
X2) →
n__cons(
X1,
X2)
nil →
n__niltake(
X1,
X2) →
n__take(
X1,
X2)
activate(
n__0) →
0'activate(
n__s(
X)) →
s(
X)
activate(
n__length(
X)) →
length(
X)
activate(
n__zeros) →
zerosactivate(
n__cons(
X1,
X2)) →
cons(
X1,
X2)
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__take(
X1,
X2)) →
take(
X1,
X2)
activate(
X) →
XTypes:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n243)
Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))
No more defined symbols left to analyse.
(25) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n243)
(26) BOUNDS(n^1, INF)