The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0) → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0, zeros)
a__take(0, IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0) → 0
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
a__isNatIList(take(N1387_5, IL1388_5)) →⁺ a__and(a__isNat(N1387_5), a__isNatIList(IL1388_5))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [IL1388_5 / take(N1387_5, IL1388_5)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__and, mark, a__isNatIList, a__isNatList, a__isNat, a__length, a__uLength

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__isNatIList
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNat
a__and = a__length
a__and = a__uLength
mark = a__isNatIList
mark = a__isNatList
mark = a__isNat
mark = a__length
mark = a__uLength
a__isNatIList = a__isNatList
a__isNatIList = a__isNat
a__isNatIList = a__length
a__isNatIList = a__uLength
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList = a__length
a__isNatList = a__uLength
a__isNat = a__length
a__isNat = a__uLength
a__length = a__uLength

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__and, a__isNatIList, a__isNatList, a__isNat, a__length, a__uLength

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__isNatIList
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNat
a__and = a__length
a__and = a__uLength
mark = a__isNatIList
mark = a__isNatList
mark = a__isNat
mark = a__length
mark = a__uLength
a__isNatIList = a__isNatList
a__isNatIList = a__isNat
a__isNatIList = a__length
a__isNatIList = a__uLength
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList = a__length
a__isNatList = a__uLength
a__isNat = a__length
a__isNat = a__uLength
a__length = a__uLength

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Induction Base:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0)) →_R^Ω(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(n4_0, 1))) →_R^Ω(1)
s(mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0))) →_IH
s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(c5_0))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__and, a__isNatIList, a__isNatList, a__isNat, a__length, a__uLength

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__isNatIList
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNat
a__and = a__length
a__and = a__uLength
mark = a__isNatIList
mark = a__isNatList
mark = a__isNat
mark = a__length
mark = a__uLength
a__isNatIList = a__isNatList
a__isNatIList = a__isNat
a__isNatIList = a__length
a__isNatIList = a__uLength
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList = a__length
a__isNatList = a__uLength
a__isNat = a__length
a__isNat = a__uLength
a__length = a__uLength

(12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__and.

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNatIList, a__isNatList, a__isNat, a__length, a__uLength

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__isNatIList
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNat
a__and = a__length
a__and = a__uLength
mark = a__isNatIList
mark = a__isNatList
mark = a__isNat
mark = a__length
mark = a__uLength
a__isNatIList = a__isNatList
a__isNatIList = a__isNat
a__isNatIList = a__length
a__isNatIList = a__uLength
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList = a__length
a__isNatList = a__uLength
a__isNat = a__length
a__isNat = a__uLength
a__length = a__uLength

(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNatIList.

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNatList, a__isNat, a__length, a__uLength

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__isNatIList
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNat
a__and = a__length
a__and = a__uLength
mark = a__isNatIList
mark = a__isNatList
mark = a__isNat
mark = a__length
mark = a__uLength
a__isNatIList = a__isNatList
a__isNatIList = a__isNat
a__isNatIList = a__length
a__isNatIList = a__uLength
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList = a__length
a__isNatList = a__uLength
a__isNat = a__length
a__isNat = a__uLength
a__length = a__uLength

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNatList.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNat, a__length, a__uLength

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__isNatIList
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNat
a__and = a__length
a__and = a__uLength
mark = a__isNatIList
mark = a__isNatList
mark = a__isNat
mark = a__length
mark = a__uLength
a__isNatIList = a__isNatList
a__isNatIList = a__isNat
a__isNatIList = a__length
a__isNatIList = a__uLength
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList = a__length
a__isNatList = a__uLength
a__isNat = a__length
a__isNat = a__uLength
a__length = a__uLength

(18) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
a__isNat(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(1, n1266650_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n1266650₀)

Induction Base:
a__isNat(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
a__isNat(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(1, +(n1266650_0, 1)))) →_R^Ω(1)
a__isNat(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(1, n1266650_0))) →_IH
*3_0

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(19) Complex Obligation (BEST)

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
a__isNat(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(1, n1266650_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n1266650₀)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__and, mark, a__isNatIList, a__isNatList, a__uLength

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__isNatIList
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNat
a__and = a__length
a__and = a__uLength
mark = a__isNatIList
mark = a__isNatList
mark = a__isNat
mark = a__length
mark = a__uLength
a__isNatIList = a__isNatList
a__isNatIList = a__isNat
a__isNatIList = a__length
a__isNatIList = a__uLength
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList = a__length
a__isNatList = a__uLength
a__isNat = a__length
a__isNat = a__uLength
a__length = a__uLength

(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.

(22) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
a__isNat(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(1, n1266650_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n1266650₀)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__uLength, a__and, mark, a__isNatIList, a__isNatList

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__isNatIList
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNat
a__and = a__length
a__and = a__uLength
mark = a__isNatIList
mark = a__isNatList
mark = a__isNat
mark = a__length
mark = a__uLength
a__isNatIList = a__isNatList
a__isNatIList = a__isNat
a__isNatIList = a__length
a__isNatIList = a__uLength
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList = a__length
a__isNatList = a__uLength
a__isNat = a__length
a__isNat = a__uLength
a__length = a__uLength

(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__uLength.

(24) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
a__isNat(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(1, n1266650_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n1266650₀)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__and, a__isNatIList, a__isNatList

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__isNatIList
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNat
a__and = a__length
a__and = a__uLength
mark = a__isNatIList
mark = a__isNatList
mark = a__isNat
mark = a__length
mark = a__uLength
a__isNatIList = a__isNatList
a__isNatIList = a__isNat
a__isNatIList = a__length
a__isNatIList = a__uLength
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList = a__length
a__isNatList = a__uLength
a__isNat = a__length
a__isNat = a__uLength
a__length = a__uLength

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0), rt ∈ Ω(1 + n1267837₀)

Induction Base:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0)) →_R^Ω(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(n1267837_0, 1))) →_R^Ω(1)
s(mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0))) →_IH
s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(c1267838_0))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(26) Complex Obligation (BEST)

(27) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0), rt ∈ Ω(1 + n1267837₀)
a__isNat(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(1, n1266650_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n1266650₀)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__and, a__isNatIList, a__isNatList

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__isNatIList
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNat
a__and = a__length
a__and = a__uLength
mark = a__isNatIList
mark = a__isNatList
mark = a__isNat
mark = a__length
mark = a__uLength
a__isNatIList = a__isNatList
a__isNatIList = a__isNat
a__isNatIList = a__length
a__isNatIList = a__uLength
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList = a__length
a__isNatList = a__uLength
a__isNat = a__length
a__isNat = a__uLength
a__length = a__uLength

(28) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__and.

(29) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0), rt ∈ Ω(1 + n1267837₀)
a__isNat(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(1, n1266650_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n1266650₀)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNatIList, a__isNatList

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__isNatIList
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNat
a__and = a__length
a__and = a__uLength
mark = a__isNatIList
mark = a__isNatList
mark = a__isNat
mark = a__length
mark = a__uLength
a__isNatIList = a__isNatList
a__isNatIList = a__isNat
a__isNatIList = a__length
a__isNatIList = a__uLength
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList = a__length
a__isNatList = a__uLength
a__isNat = a__length
a__isNat = a__uLength
a__length = a__uLength

(30) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNatIList.

(31) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0), rt ∈ Ω(1 + n1267837₀)
a__isNat(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(1, n1266650_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n1266650₀)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNatList

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__isNatIList
a__and = a__isNatList
a__and = a__isNat
a__and = a__length
a__and = a__uLength
mark = a__isNatIList
mark = a__isNatList
mark = a__isNat
mark = a__length
mark = a__uLength
a__isNatIList = a__isNatList
a__isNatIList = a__isNat
a__isNatIList = a__length
a__isNatIList = a__uLength
a__isNatList = a__isNat
a__isNatList = a__length
a__isNatList = a__uLength
a__isNat = a__length
a__isNat = a__uLength
a__length = a__uLength

(32) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNatList.

(33) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0), rt ∈ Ω(1 + n1267837₀)
a__isNat(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(1, n1266650_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n1266650₀)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(34) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0), rt ∈ Ω(1 + n1267837₀)

(35) BOUNDS(n^1, INF)

(36) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0), rt ∈ Ω(1 + n1267837₀)
a__isNat(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(1, n1266650_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n1266650₀)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(37) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n1267837_0), rt ∈ Ω(1 + n1267837₀)

(38) BOUNDS(n^1, INF)

(39) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)
a__isNat(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(1, n1266650_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n1266650₀)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(40) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(41) BOUNDS(n^1, INF)

(42) Obligation:

TRS:
Rules:
a__and(tt, T) → mark(T)
a__isNatIList(IL) → a__isNatList(IL)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(s(N)) → a__isNat(N)
a__isNat(length(L)) → a__isNatList(L)
a__isNatIList(zeros) → tt
a__isNatIList(cons(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__isNatList(nil) → tt
a__isNatList(cons(N, L)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L))
a__isNatList(take(N, IL)) → a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))
a__zeros → cons(0', zeros)
a__take(0', IL) → a__uTake1(a__isNatIList(IL))
a__uTake1(tt) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__uTake2(a__and(a__isNat(M), a__and(a__isNat(N), a__isNatIList(IL))), M, N, IL)
a__uTake2(tt, M, N, IL) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(cons(N, L)) → a__uLength(a__and(a__isNat(N), a__isNatList(L)), L)
a__uLength(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), mark(X2))
mark(isNatIList(X)) → a__isNatIList(X)
mark(isNatList(X)) → a__isNatList(X)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(uTake1(X)) → a__uTake1(mark(X))
mark(uTake2(X1, X2, X3, X4)) → a__uTake2(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(uLength(X1, X2)) → a__uLength(mark(X1), X2)
mark(tt) → tt
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(nil) → nil
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatIList(X) → isNatIList(X)
a__isNatList(X) → isNatList(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__length(X) → length(X)
a__zeros → zeros
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__uTake1(X) → uTake1(X)
a__uTake2(X1, X2, X3, X4) → uTake2(X1, X2, X3, X4)
a__uLength(X1, X2) → uLength(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
tt :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
mark :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
0' :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
s :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
cons :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
nil :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__zeros :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__take :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__length :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
a__uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
and :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatIList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNatList :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
isNat :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake1 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uTake2 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
uLength :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
hole_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength1_0 :: tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0 :: Nat → tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength

Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(0) ⇔ tt
gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(43) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0)) → gen_tt:0':s:length:zeros:cons:nil:take:and:isNatIList:isNatList:isNat:uTake1:uTake2:uLength2_0(n4_0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(44) BOUNDS(n^1, INF)