The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0, n__zeros)
take(0, IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0 → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
activate(n__s(n__length(n__cons(X148473_3, X248474_3)))) →⁺ s(uLength(and(isNat(activate(X148473_3)), isNatList(activate(X248474_3))), activate(X248474_3)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,1,0].
The pumping substitution is [X248474_3 / n__s(n__length(n__cons(X148473_3, X248474_3)))].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
activate(n__s(n__length(n__cons(X148473_3, X248474_3)))) →⁺ s(uLength(and(isNat(activate(X148473_3)), isNatList(activate(X248474_3))), activate(X248474_3)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,1].
The pumping substitution is [X248474_3 / n__s(n__length(n__cons(X148473_3, X248474_3)))].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNatIList, isNatList, activate, isNat, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, isNatIList, activate, isNat, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, isNatIList, activate, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)

Induction Base:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0)) →_R^Ω(1)
tt

Induction Step:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(n24_3, 1))) →_R^Ω(1)
isNat(activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3))) →_R^Ω(1)
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) →_IH
tt

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(12) Complex Obligation (BEST)

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNatIList, isNatList, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(14) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3)) → gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3), rt ∈ Ω(1 + n54644₃)

Induction Base:
activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0)) →_R^Ω(1)
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0)

Induction Step:
activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(n54644_3, 1))) →_R^Ω(1)
s(activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3))) →_IH
s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(c54645_3)) →_R^Ω(1)
n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(15) Complex Obligation (BEST)

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)
activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3)) → gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3), rt ∈ Ω(1 + n54644₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
length, isNatIList, isNatList, isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol length.

(18) Obligation:

TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)
activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3)) → gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3), rt ∈ Ω(1 + n54644₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIList, isNatList, isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIList.

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)
activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3)) → gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3), rt ∈ Ω(1 + n54644₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.

(22) Obligation:

TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)
activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3)) → gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3), rt ∈ Ω(1 + n54644₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n60599_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n60599₃ + n60599₃²)

Induction Base:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0)) →_R^Ω(1)
tt

Induction Step:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(n60599_3, 1))) →_R^Ω(1)
isNat(activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n60599_3))) →_L^{Ω(1 + n60599₃)}
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n60599_3)) →_IH
tt

We have rt ∈ Ω(n²) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n²).

(24) Complex Obligation (BEST)

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n60599_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n60599₃ + n60599₃²)
activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3)) → gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3), rt ∈ Ω(1 + n54644₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

No more defined symbols left to analyse.

(26) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n60599_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n60599₃ + n60599₃²)

(27) BOUNDS(n^2, INF)

(28) Obligation:

TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n60599_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n60599₃ + n60599₃²)
activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3)) → gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3), rt ∈ Ω(1 + n54644₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

No more defined symbols left to analyse.

(29) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n60599_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n60599₃ + n60599₃²)

(30) BOUNDS(n^2, INF)

(31) Obligation:

TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)
activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3)) → gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n54644_3), rt ∈ Ω(1 + n54644₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

No more defined symbols left to analyse.

(32) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)

(33) BOUNDS(n^1, INF)

(34) Obligation:

TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

No more defined symbols left to analyse.

(35) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)

(36) BOUNDS(n^1, INF)