### (0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

div(x, y) → div2(x, y, 0)
div2(x, y, i) → if1(le(y, 0), le(y, x), x, y, plus(i, 0), inc(i))
if1(true, b, x, y, i, j) → divZeroError
if1(false, b, x, y, i, j) → if2(b, x, y, i, j)
if2(true, x, y, i, j) → div2(minus(x, y), y, j)
if2(false, x, y, i, j) → i
inc(0) → 0
inc(s(i)) → s(inc(i))
le(s(x), 0) → false
le(0, y) → true
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
minus(x, 0) → x
minus(0, y) → 0
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
plus(x, y) → plusIter(x, y, 0)
plusIter(x, y, z) → ifPlus(le(x, z), x, y, z)
ifPlus(true, x, y, z) → y
ifPlus(false, x, y, z) → plusIter(x, s(y), s(z))
ac

Rewrite Strategy: FULL

### (1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
inc(s(i)) →+ s(inc(i))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [i / s(i)].
The result substitution is [ ].

### (3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

### (4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

div(x, y) → div2(x, y, 0')
div2(x, y, i) → if1(le(y, 0'), le(y, x), x, y, plus(i, 0'), inc(i))
if1(true, b, x, y, i, j) → divZeroError
if1(false, b, x, y, i, j) → if2(b, x, y, i, j)
if2(true, x, y, i, j) → div2(minus(x, y), y, j)
if2(false, x, y, i, j) → i
inc(0') → 0'
inc(s(i)) → s(inc(i))
le(s(x), 0') → false
le(0', y) → true
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
minus(x, 0') → x
minus(0', y) → 0'
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
plus(x, y) → plusIter(x, y, 0')
plusIter(x, y, z) → ifPlus(le(x, z), x, y, z)
ifPlus(true, x, y, z) → y
ifPlus(false, x, y, z) → plusIter(x, s(y), s(z))
ac

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

Infered types.

### (6) Obligation:

TRS:
Rules:
div(x, y) → div2(x, y, 0')
div2(x, y, i) → if1(le(y, 0'), le(y, x), x, y, plus(i, 0'), inc(i))
if1(true, b, x, y, i, j) → divZeroError
if1(false, b, x, y, i, j) → if2(b, x, y, i, j)
if2(true, x, y, i, j) → div2(minus(x, y), y, j)
if2(false, x, y, i, j) → i
inc(0') → 0'
inc(s(i)) → s(inc(i))
le(s(x), 0') → false
le(0', y) → true
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
minus(x, 0') → x
minus(0', y) → 0'
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
plus(x, y) → plusIter(x, y, 0')
plusIter(x, y, z) → ifPlus(le(x, z), x, y, z)
ifPlus(true, x, y, z) → y
ifPlus(false, x, y, z) → plusIter(x, s(y), s(z))
ac

Types:
div :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
div2 :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
0' :: 0':divZeroError:s
if1 :: true:false → true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
le :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → true:false
plus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
inc :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
true :: true:false
divZeroError :: 0':divZeroError:s
false :: true:false
if2 :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
minus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
s :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
plusIter :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
ifPlus :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':divZeroError:s1_0 :: 0':divZeroError:s
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_c:d3_0 :: c:d
gen_0':divZeroError:s4_0 :: Nat → 0':divZeroError:s

### (7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
div2, le, inc, minus, plusIter

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < div2
inc < div2
minus < div2
le < plusIter

### (8) Obligation:

TRS:
Rules:
div(x, y) → div2(x, y, 0')
div2(x, y, i) → if1(le(y, 0'), le(y, x), x, y, plus(i, 0'), inc(i))
if1(true, b, x, y, i, j) → divZeroError
if1(false, b, x, y, i, j) → if2(b, x, y, i, j)
if2(true, x, y, i, j) → div2(minus(x, y), y, j)
if2(false, x, y, i, j) → i
inc(0') → 0'
inc(s(i)) → s(inc(i))
le(s(x), 0') → false
le(0', y) → true
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
minus(x, 0') → x
minus(0', y) → 0'
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
plus(x, y) → plusIter(x, y, 0')
plusIter(x, y, z) → ifPlus(le(x, z), x, y, z)
ifPlus(true, x, y, z) → y
ifPlus(false, x, y, z) → plusIter(x, s(y), s(z))
ac

Types:
div :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
div2 :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
0' :: 0':divZeroError:s
if1 :: true:false → true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
le :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → true:false
plus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
inc :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
true :: true:false
divZeroError :: 0':divZeroError:s
false :: true:false
if2 :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
minus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
s :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
plusIter :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
ifPlus :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':divZeroError:s1_0 :: 0':divZeroError:s
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_c:d3_0 :: c:d
gen_0':divZeroError:s4_0 :: Nat → 0':divZeroError:s

Generator Equations:
gen_0':divZeroError:s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':divZeroError:s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':divZeroError:s4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
le, div2, inc, minus, plusIter

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < div2
inc < div2
minus < div2
le < plusIter

### (9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, n6_0)), gen_0':divZeroError:s4_0(n6_0)) → false, rt ∈ Ω(1 + n60)

Induction Base:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, 0)), gen_0':divZeroError:s4_0(0)) →RΩ(1)
false

Induction Step:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, +(n6_0, 1))), gen_0':divZeroError:s4_0(+(n6_0, 1))) →RΩ(1)
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, n6_0)), gen_0':divZeroError:s4_0(n6_0)) →IH
false

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (11) Obligation:

TRS:
Rules:
div(x, y) → div2(x, y, 0')
div2(x, y, i) → if1(le(y, 0'), le(y, x), x, y, plus(i, 0'), inc(i))
if1(true, b, x, y, i, j) → divZeroError
if1(false, b, x, y, i, j) → if2(b, x, y, i, j)
if2(true, x, y, i, j) → div2(minus(x, y), y, j)
if2(false, x, y, i, j) → i
inc(0') → 0'
inc(s(i)) → s(inc(i))
le(s(x), 0') → false
le(0', y) → true
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
minus(x, 0') → x
minus(0', y) → 0'
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
plus(x, y) → plusIter(x, y, 0')
plusIter(x, y, z) → ifPlus(le(x, z), x, y, z)
ifPlus(true, x, y, z) → y
ifPlus(false, x, y, z) → plusIter(x, s(y), s(z))
ac

Types:
div :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
div2 :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
0' :: 0':divZeroError:s
if1 :: true:false → true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
le :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → true:false
plus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
inc :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
true :: true:false
divZeroError :: 0':divZeroError:s
false :: true:false
if2 :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
minus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
s :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
plusIter :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
ifPlus :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':divZeroError:s1_0 :: 0':divZeroError:s
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_c:d3_0 :: c:d
gen_0':divZeroError:s4_0 :: Nat → 0':divZeroError:s

Lemmas:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, n6_0)), gen_0':divZeroError:s4_0(n6_0)) → false, rt ∈ Ω(1 + n60)

Generator Equations:
gen_0':divZeroError:s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':divZeroError:s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':divZeroError:s4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
inc, div2, minus, plusIter

They will be analysed ascendingly in the following order:
inc < div2
minus < div2

### (12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
inc(gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0)) → gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0), rt ∈ Ω(1 + n3370)

Induction Base:
inc(gen_0':divZeroError:s4_0(0)) →RΩ(1)
0'

Induction Step:
inc(gen_0':divZeroError:s4_0(+(n337_0, 1))) →RΩ(1)
s(inc(gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0))) →IH
s(gen_0':divZeroError:s4_0(c338_0))

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (14) Obligation:

TRS:
Rules:
div(x, y) → div2(x, y, 0')
div2(x, y, i) → if1(le(y, 0'), le(y, x), x, y, plus(i, 0'), inc(i))
if1(true, b, x, y, i, j) → divZeroError
if1(false, b, x, y, i, j) → if2(b, x, y, i, j)
if2(true, x, y, i, j) → div2(minus(x, y), y, j)
if2(false, x, y, i, j) → i
inc(0') → 0'
inc(s(i)) → s(inc(i))
le(s(x), 0') → false
le(0', y) → true
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
minus(x, 0') → x
minus(0', y) → 0'
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
plus(x, y) → plusIter(x, y, 0')
plusIter(x, y, z) → ifPlus(le(x, z), x, y, z)
ifPlus(true, x, y, z) → y
ifPlus(false, x, y, z) → plusIter(x, s(y), s(z))
ac

Types:
div :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
div2 :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
0' :: 0':divZeroError:s
if1 :: true:false → true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
le :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → true:false
plus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
inc :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
true :: true:false
divZeroError :: 0':divZeroError:s
false :: true:false
if2 :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
minus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
s :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
plusIter :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
ifPlus :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':divZeroError:s1_0 :: 0':divZeroError:s
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_c:d3_0 :: c:d
gen_0':divZeroError:s4_0 :: Nat → 0':divZeroError:s

Lemmas:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, n6_0)), gen_0':divZeroError:s4_0(n6_0)) → false, rt ∈ Ω(1 + n60)
inc(gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0)) → gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0), rt ∈ Ω(1 + n3370)

Generator Equations:
gen_0':divZeroError:s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':divZeroError:s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':divZeroError:s4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
minus, div2, plusIter

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < div2

### (15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
minus(gen_0':divZeroError:s4_0(n567_0), gen_0':divZeroError:s4_0(n567_0)) → gen_0':divZeroError:s4_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5670)

Induction Base:
minus(gen_0':divZeroError:s4_0(0), gen_0':divZeroError:s4_0(0)) →RΩ(1)
gen_0':divZeroError:s4_0(0)

Induction Step:
minus(gen_0':divZeroError:s4_0(+(n567_0, 1)), gen_0':divZeroError:s4_0(+(n567_0, 1))) →RΩ(1)
minus(gen_0':divZeroError:s4_0(n567_0), gen_0':divZeroError:s4_0(n567_0)) →IH
gen_0':divZeroError:s4_0(0)

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (17) Obligation:

TRS:
Rules:
div(x, y) → div2(x, y, 0')
div2(x, y, i) → if1(le(y, 0'), le(y, x), x, y, plus(i, 0'), inc(i))
if1(true, b, x, y, i, j) → divZeroError
if1(false, b, x, y, i, j) → if2(b, x, y, i, j)
if2(true, x, y, i, j) → div2(minus(x, y), y, j)
if2(false, x, y, i, j) → i
inc(0') → 0'
inc(s(i)) → s(inc(i))
le(s(x), 0') → false
le(0', y) → true
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
minus(x, 0') → x
minus(0', y) → 0'
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
plus(x, y) → plusIter(x, y, 0')
plusIter(x, y, z) → ifPlus(le(x, z), x, y, z)
ifPlus(true, x, y, z) → y
ifPlus(false, x, y, z) → plusIter(x, s(y), s(z))
ac

Types:
div :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
div2 :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
0' :: 0':divZeroError:s
if1 :: true:false → true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
le :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → true:false
plus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
inc :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
true :: true:false
divZeroError :: 0':divZeroError:s
false :: true:false
if2 :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
minus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
s :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
plusIter :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
ifPlus :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':divZeroError:s1_0 :: 0':divZeroError:s
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_c:d3_0 :: c:d
gen_0':divZeroError:s4_0 :: Nat → 0':divZeroError:s

Lemmas:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, n6_0)), gen_0':divZeroError:s4_0(n6_0)) → false, rt ∈ Ω(1 + n60)
inc(gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0)) → gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0), rt ∈ Ω(1 + n3370)
minus(gen_0':divZeroError:s4_0(n567_0), gen_0':divZeroError:s4_0(n567_0)) → gen_0':divZeroError:s4_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5670)

Generator Equations:
gen_0':divZeroError:s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':divZeroError:s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':divZeroError:s4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
div2, plusIter

### (18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol div2.

### (19) Obligation:

TRS:
Rules:
div(x, y) → div2(x, y, 0')
div2(x, y, i) → if1(le(y, 0'), le(y, x), x, y, plus(i, 0'), inc(i))
if1(true, b, x, y, i, j) → divZeroError
if1(false, b, x, y, i, j) → if2(b, x, y, i, j)
if2(true, x, y, i, j) → div2(minus(x, y), y, j)
if2(false, x, y, i, j) → i
inc(0') → 0'
inc(s(i)) → s(inc(i))
le(s(x), 0') → false
le(0', y) → true
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
minus(x, 0') → x
minus(0', y) → 0'
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
plus(x, y) → plusIter(x, y, 0')
plusIter(x, y, z) → ifPlus(le(x, z), x, y, z)
ifPlus(true, x, y, z) → y
ifPlus(false, x, y, z) → plusIter(x, s(y), s(z))
ac

Types:
div :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
div2 :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
0' :: 0':divZeroError:s
if1 :: true:false → true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
le :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → true:false
plus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
inc :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
true :: true:false
divZeroError :: 0':divZeroError:s
false :: true:false
if2 :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
minus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
s :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
plusIter :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
ifPlus :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':divZeroError:s1_0 :: 0':divZeroError:s
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_c:d3_0 :: c:d
gen_0':divZeroError:s4_0 :: Nat → 0':divZeroError:s

Lemmas:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, n6_0)), gen_0':divZeroError:s4_0(n6_0)) → false, rt ∈ Ω(1 + n60)
inc(gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0)) → gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0), rt ∈ Ω(1 + n3370)
minus(gen_0':divZeroError:s4_0(n567_0), gen_0':divZeroError:s4_0(n567_0)) → gen_0':divZeroError:s4_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5670)

Generator Equations:
gen_0':divZeroError:s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':divZeroError:s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':divZeroError:s4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
plusIter

### (20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol plusIter.

### (21) Obligation:

TRS:
Rules:
div(x, y) → div2(x, y, 0')
div2(x, y, i) → if1(le(y, 0'), le(y, x), x, y, plus(i, 0'), inc(i))
if1(true, b, x, y, i, j) → divZeroError
if1(false, b, x, y, i, j) → if2(b, x, y, i, j)
if2(true, x, y, i, j) → div2(minus(x, y), y, j)
if2(false, x, y, i, j) → i
inc(0') → 0'
inc(s(i)) → s(inc(i))
le(s(x), 0') → false
le(0', y) → true
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
minus(x, 0') → x
minus(0', y) → 0'
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
plus(x, y) → plusIter(x, y, 0')
plusIter(x, y, z) → ifPlus(le(x, z), x, y, z)
ifPlus(true, x, y, z) → y
ifPlus(false, x, y, z) → plusIter(x, s(y), s(z))
ac

Types:
div :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
div2 :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
0' :: 0':divZeroError:s
if1 :: true:false → true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
le :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → true:false
plus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
inc :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
true :: true:false
divZeroError :: 0':divZeroError:s
false :: true:false
if2 :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
minus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
s :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
plusIter :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
ifPlus :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':divZeroError:s1_0 :: 0':divZeroError:s
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_c:d3_0 :: c:d
gen_0':divZeroError:s4_0 :: Nat → 0':divZeroError:s

Lemmas:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, n6_0)), gen_0':divZeroError:s4_0(n6_0)) → false, rt ∈ Ω(1 + n60)
inc(gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0)) → gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0), rt ∈ Ω(1 + n3370)
minus(gen_0':divZeroError:s4_0(n567_0), gen_0':divZeroError:s4_0(n567_0)) → gen_0':divZeroError:s4_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5670)

Generator Equations:
gen_0':divZeroError:s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':divZeroError:s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':divZeroError:s4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (22) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, n6_0)), gen_0':divZeroError:s4_0(n6_0)) → false, rt ∈ Ω(1 + n60)

### (24) Obligation:

TRS:
Rules:
div(x, y) → div2(x, y, 0')
div2(x, y, i) → if1(le(y, 0'), le(y, x), x, y, plus(i, 0'), inc(i))
if1(true, b, x, y, i, j) → divZeroError
if1(false, b, x, y, i, j) → if2(b, x, y, i, j)
if2(true, x, y, i, j) → div2(minus(x, y), y, j)
if2(false, x, y, i, j) → i
inc(0') → 0'
inc(s(i)) → s(inc(i))
le(s(x), 0') → false
le(0', y) → true
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
minus(x, 0') → x
minus(0', y) → 0'
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
plus(x, y) → plusIter(x, y, 0')
plusIter(x, y, z) → ifPlus(le(x, z), x, y, z)
ifPlus(true, x, y, z) → y
ifPlus(false, x, y, z) → plusIter(x, s(y), s(z))
ac

Types:
div :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
div2 :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
0' :: 0':divZeroError:s
if1 :: true:false → true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
le :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → true:false
plus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
inc :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
true :: true:false
divZeroError :: 0':divZeroError:s
false :: true:false
if2 :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
minus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
s :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
plusIter :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
ifPlus :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':divZeroError:s1_0 :: 0':divZeroError:s
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_c:d3_0 :: c:d
gen_0':divZeroError:s4_0 :: Nat → 0':divZeroError:s

Lemmas:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, n6_0)), gen_0':divZeroError:s4_0(n6_0)) → false, rt ∈ Ω(1 + n60)
inc(gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0)) → gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0), rt ∈ Ω(1 + n3370)
minus(gen_0':divZeroError:s4_0(n567_0), gen_0':divZeroError:s4_0(n567_0)) → gen_0':divZeroError:s4_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5670)

Generator Equations:
gen_0':divZeroError:s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':divZeroError:s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':divZeroError:s4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (25) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, n6_0)), gen_0':divZeroError:s4_0(n6_0)) → false, rt ∈ Ω(1 + n60)

### (27) Obligation:

TRS:
Rules:
div(x, y) → div2(x, y, 0')
div2(x, y, i) → if1(le(y, 0'), le(y, x), x, y, plus(i, 0'), inc(i))
if1(true, b, x, y, i, j) → divZeroError
if1(false, b, x, y, i, j) → if2(b, x, y, i, j)
if2(true, x, y, i, j) → div2(minus(x, y), y, j)
if2(false, x, y, i, j) → i
inc(0') → 0'
inc(s(i)) → s(inc(i))
le(s(x), 0') → false
le(0', y) → true
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
minus(x, 0') → x
minus(0', y) → 0'
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
plus(x, y) → plusIter(x, y, 0')
plusIter(x, y, z) → ifPlus(le(x, z), x, y, z)
ifPlus(true, x, y, z) → y
ifPlus(false, x, y, z) → plusIter(x, s(y), s(z))
ac

Types:
div :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
div2 :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
0' :: 0':divZeroError:s
if1 :: true:false → true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
le :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → true:false
plus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
inc :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
true :: true:false
divZeroError :: 0':divZeroError:s
false :: true:false
if2 :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
minus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
s :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
plusIter :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
ifPlus :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':divZeroError:s1_0 :: 0':divZeroError:s
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_c:d3_0 :: c:d
gen_0':divZeroError:s4_0 :: Nat → 0':divZeroError:s

Lemmas:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, n6_0)), gen_0':divZeroError:s4_0(n6_0)) → false, rt ∈ Ω(1 + n60)
inc(gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0)) → gen_0':divZeroError:s4_0(n337_0), rt ∈ Ω(1 + n3370)

Generator Equations:
gen_0':divZeroError:s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':divZeroError:s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':divZeroError:s4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (28) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, n6_0)), gen_0':divZeroError:s4_0(n6_0)) → false, rt ∈ Ω(1 + n60)

### (30) Obligation:

TRS:
Rules:
div(x, y) → div2(x, y, 0')
div2(x, y, i) → if1(le(y, 0'), le(y, x), x, y, plus(i, 0'), inc(i))
if1(true, b, x, y, i, j) → divZeroError
if1(false, b, x, y, i, j) → if2(b, x, y, i, j)
if2(true, x, y, i, j) → div2(minus(x, y), y, j)
if2(false, x, y, i, j) → i
inc(0') → 0'
inc(s(i)) → s(inc(i))
le(s(x), 0') → false
le(0', y) → true
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
minus(x, 0') → x
minus(0', y) → 0'
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
plus(x, y) → plusIter(x, y, 0')
plusIter(x, y, z) → ifPlus(le(x, z), x, y, z)
ifPlus(true, x, y, z) → y
ifPlus(false, x, y, z) → plusIter(x, s(y), s(z))
ac

Types:
div :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
div2 :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
0' :: 0':divZeroError:s
if1 :: true:false → true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
le :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → true:false
plus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
inc :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
true :: true:false
divZeroError :: 0':divZeroError:s
false :: true:false
if2 :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
minus :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
s :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
plusIter :: 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
ifPlus :: true:false → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s → 0':divZeroError:s
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':divZeroError:s1_0 :: 0':divZeroError:s
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_c:d3_0 :: c:d
gen_0':divZeroError:s4_0 :: Nat → 0':divZeroError:s

Lemmas:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, n6_0)), gen_0':divZeroError:s4_0(n6_0)) → false, rt ∈ Ω(1 + n60)

Generator Equations:
gen_0':divZeroError:s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':divZeroError:s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':divZeroError:s4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (31) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
le(gen_0':divZeroError:s4_0(+(1, n6_0)), gen_0':divZeroError:s4_0(n6_0)) → false, rt ∈ Ω(1 + n60)