### (0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

times(x, y) → sum(generate(x, y))
generate(x, y) → gen(x, y, 0)
gen(x, y, z) → if(ge(z, x), x, y, z)
if(true, x, y, z) → nil
if(false, x, y, z) → cons(y, gen(x, y, s(z)))
sum(xs) → sum2(xs, 0)
sum2(xs, y) → ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y)
ifsum(true, b, xs, y) → y
ifsum(false, b, xs, y) → ifsum2(b, xs, y)
ifsum2(true, xs, y) → sum2(tail(xs), y)
ifsum2(false, xs, y) → sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y))
isNil(nil) → true
isNil(cons(x, xs)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, xs)) → xs
head(cons(x, xs)) → x
isZero(0) → true
isZero(s(0)) → false
isZero(s(s(x))) → isZero(s(x))
p(0) → s(s(0))
p(s(0)) → 0
p(s(s(x))) → s(p(s(x)))
ge(x, 0) → true
ge(0, s(y)) → false
ge(s(x), s(y)) → ge(x, y)
ac

Rewrite Strategy: FULL

### (1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
sum2(cons(0, xs600162_1), y) →+ sum2(xs600162_1, y)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [].
The pumping substitution is [xs600162_1 / cons(0, xs600162_1)].
The result substitution is [ ].

### (3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

### (4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

times(x, y) → sum(generate(x, y))
generate(x, y) → gen(x, y, 0')
gen(x, y, z) → if(ge(z, x), x, y, z)
if(true, x, y, z) → nil
if(false, x, y, z) → cons(y, gen(x, y, s(z)))
sum(xs) → sum2(xs, 0')
sum2(xs, y) → ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y)
ifsum(true, b, xs, y) → y
ifsum(false, b, xs, y) → ifsum2(b, xs, y)
ifsum2(true, xs, y) → sum2(tail(xs), y)
ifsum2(false, xs, y) → sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y))
isNil(nil) → true
isNil(cons(x, xs)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, xs)) → xs
head(cons(x, xs)) → x
isZero(0') → true
isZero(s(0')) → false
isZero(s(s(x))) → isZero(s(x))
p(0') → s(s(0'))
p(s(0')) → 0'
p(s(s(x))) → s(p(s(x)))
ge(x, 0') → true
ge(0', s(y)) → false
ge(s(x), s(y)) → ge(x, y)
ac

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

Infered types.

### (6) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, y) → sum(generate(x, y))
generate(x, y) → gen(x, y, 0')
gen(x, y, z) → if(ge(z, x), x, y, z)
if(true, x, y, z) → nil
if(false, x, y, z) → cons(y, gen(x, y, s(z)))
sum(xs) → sum2(xs, 0')
sum2(xs, y) → ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y)
ifsum(true, b, xs, y) → y
ifsum(false, b, xs, y) → ifsum2(b, xs, y)
ifsum2(true, xs, y) → sum2(tail(xs), y)
ifsum2(false, xs, y) → sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y))
isNil(nil) → true
isNil(cons(x, xs)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, xs)) → xs
head(cons(x, xs)) → x
isZero(0') → true
isZero(s(0')) → false
isZero(s(s(x))) → isZero(s(x))
p(0') → s(s(0'))
p(s(0')) → 0'
p(s(s(x))) → s(p(s(x)))
ge(x, 0') → true
ge(0', s(y)) → false
ge(s(x), s(y)) → ge(x, y)
ac

Types:
times :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error
sum :: nil:cons → 0':s:error
generate :: 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
gen :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
0' :: 0':s:error
if :: true:false → 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
ge :: 0':s:error → 0':s:error → true:false
true :: true:false
nil :: nil:cons
false :: true:false
cons :: 0':s:error → nil:cons → nil:cons
s :: 0':s:error → 0':s:error
sum2 :: nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
ifsum :: true:false → true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
isNil :: nil:cons → true:false
isZero :: 0':s:error → true:false
head :: nil:cons → 0':s:error
ifsum2 :: true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
tail :: nil:cons → nil:cons
p :: 0':s:error → 0':s:error
error :: 0':s:error
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':s:error1_0 :: 0':s:error
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_true:false3_0 :: true:false
hole_c:d4_0 :: c:d
gen_0':s:error5_0 :: Nat → 0':s:error
gen_nil:cons6_0 :: Nat → nil:cons

### (7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
gen, ge, sum2, isZero, p

They will be analysed ascendingly in the following order:
ge < gen
isZero < sum2
p < sum2

### (8) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, y) → sum(generate(x, y))
generate(x, y) → gen(x, y, 0')
gen(x, y, z) → if(ge(z, x), x, y, z)
if(true, x, y, z) → nil
if(false, x, y, z) → cons(y, gen(x, y, s(z)))
sum(xs) → sum2(xs, 0')
sum2(xs, y) → ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y)
ifsum(true, b, xs, y) → y
ifsum(false, b, xs, y) → ifsum2(b, xs, y)
ifsum2(true, xs, y) → sum2(tail(xs), y)
ifsum2(false, xs, y) → sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y))
isNil(nil) → true
isNil(cons(x, xs)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, xs)) → xs
head(cons(x, xs)) → x
isZero(0') → true
isZero(s(0')) → false
isZero(s(s(x))) → isZero(s(x))
p(0') → s(s(0'))
p(s(0')) → 0'
p(s(s(x))) → s(p(s(x)))
ge(x, 0') → true
ge(0', s(y)) → false
ge(s(x), s(y)) → ge(x, y)
ac

Types:
times :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error
sum :: nil:cons → 0':s:error
generate :: 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
gen :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
0' :: 0':s:error
if :: true:false → 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
ge :: 0':s:error → 0':s:error → true:false
true :: true:false
nil :: nil:cons
false :: true:false
cons :: 0':s:error → nil:cons → nil:cons
s :: 0':s:error → 0':s:error
sum2 :: nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
ifsum :: true:false → true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
isNil :: nil:cons → true:false
isZero :: 0':s:error → true:false
head :: nil:cons → 0':s:error
ifsum2 :: true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
tail :: nil:cons → nil:cons
p :: 0':s:error → 0':s:error
error :: 0':s:error
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':s:error1_0 :: 0':s:error
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_true:false3_0 :: true:false
hole_c:d4_0 :: c:d
gen_0':s:error5_0 :: Nat → 0':s:error
gen_nil:cons6_0 :: Nat → nil:cons

Generator Equations:
gen_0':s:error5_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:error5_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:error5_0(x))
gen_nil:cons6_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons6_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons6_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
ge, gen, sum2, isZero, p

They will be analysed ascendingly in the following order:
ge < gen
isZero < sum2
p < sum2

### (9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)

Induction Base:
ge(gen_0':s:error5_0(0), gen_0':s:error5_0(0)) →RΩ(1)
true

Induction Step:
ge(gen_0':s:error5_0(+(n8_0, 1)), gen_0':s:error5_0(+(n8_0, 1))) →RΩ(1)
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) →IH
true

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (11) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, y) → sum(generate(x, y))
generate(x, y) → gen(x, y, 0')
gen(x, y, z) → if(ge(z, x), x, y, z)
if(true, x, y, z) → nil
if(false, x, y, z) → cons(y, gen(x, y, s(z)))
sum(xs) → sum2(xs, 0')
sum2(xs, y) → ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y)
ifsum(true, b, xs, y) → y
ifsum(false, b, xs, y) → ifsum2(b, xs, y)
ifsum2(true, xs, y) → sum2(tail(xs), y)
ifsum2(false, xs, y) → sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y))
isNil(nil) → true
isNil(cons(x, xs)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, xs)) → xs
head(cons(x, xs)) → x
isZero(0') → true
isZero(s(0')) → false
isZero(s(s(x))) → isZero(s(x))
p(0') → s(s(0'))
p(s(0')) → 0'
p(s(s(x))) → s(p(s(x)))
ge(x, 0') → true
ge(0', s(y)) → false
ge(s(x), s(y)) → ge(x, y)
ac

Types:
times :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error
sum :: nil:cons → 0':s:error
generate :: 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
gen :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
0' :: 0':s:error
if :: true:false → 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
ge :: 0':s:error → 0':s:error → true:false
true :: true:false
nil :: nil:cons
false :: true:false
cons :: 0':s:error → nil:cons → nil:cons
s :: 0':s:error → 0':s:error
sum2 :: nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
ifsum :: true:false → true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
isNil :: nil:cons → true:false
isZero :: 0':s:error → true:false
head :: nil:cons → 0':s:error
ifsum2 :: true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
tail :: nil:cons → nil:cons
p :: 0':s:error → 0':s:error
error :: 0':s:error
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':s:error1_0 :: 0':s:error
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_true:false3_0 :: true:false
hole_c:d4_0 :: c:d
gen_0':s:error5_0 :: Nat → 0':s:error
gen_nil:cons6_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)

Generator Equations:
gen_0':s:error5_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:error5_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:error5_0(x))
gen_nil:cons6_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons6_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons6_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
gen, sum2, isZero, p

They will be analysed ascendingly in the following order:
isZero < sum2
p < sum2

### (12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol gen.

### (13) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, y) → sum(generate(x, y))
generate(x, y) → gen(x, y, 0')
gen(x, y, z) → if(ge(z, x), x, y, z)
if(true, x, y, z) → nil
if(false, x, y, z) → cons(y, gen(x, y, s(z)))
sum(xs) → sum2(xs, 0')
sum2(xs, y) → ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y)
ifsum(true, b, xs, y) → y
ifsum(false, b, xs, y) → ifsum2(b, xs, y)
ifsum2(true, xs, y) → sum2(tail(xs), y)
ifsum2(false, xs, y) → sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y))
isNil(nil) → true
isNil(cons(x, xs)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, xs)) → xs
head(cons(x, xs)) → x
isZero(0') → true
isZero(s(0')) → false
isZero(s(s(x))) → isZero(s(x))
p(0') → s(s(0'))
p(s(0')) → 0'
p(s(s(x))) → s(p(s(x)))
ge(x, 0') → true
ge(0', s(y)) → false
ge(s(x), s(y)) → ge(x, y)
ac

Types:
times :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error
sum :: nil:cons → 0':s:error
generate :: 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
gen :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
0' :: 0':s:error
if :: true:false → 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
ge :: 0':s:error → 0':s:error → true:false
true :: true:false
nil :: nil:cons
false :: true:false
cons :: 0':s:error → nil:cons → nil:cons
s :: 0':s:error → 0':s:error
sum2 :: nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
ifsum :: true:false → true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
isNil :: nil:cons → true:false
isZero :: 0':s:error → true:false
head :: nil:cons → 0':s:error
ifsum2 :: true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
tail :: nil:cons → nil:cons
p :: 0':s:error → 0':s:error
error :: 0':s:error
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':s:error1_0 :: 0':s:error
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_true:false3_0 :: true:false
hole_c:d4_0 :: c:d
gen_0':s:error5_0 :: Nat → 0':s:error
gen_nil:cons6_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)

Generator Equations:
gen_0':s:error5_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:error5_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:error5_0(x))
gen_nil:cons6_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons6_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons6_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isZero, sum2, p

They will be analysed ascendingly in the following order:
isZero < sum2
p < sum2

### (14) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
isZero(gen_0':s:error5_0(+(1, n494_0))) → false, rt ∈ Ω(1 + n4940)

Induction Base:
isZero(gen_0':s:error5_0(+(1, 0))) →RΩ(1)
false

Induction Step:
isZero(gen_0':s:error5_0(+(1, +(n494_0, 1)))) →RΩ(1)
isZero(s(gen_0':s:error5_0(n494_0))) →IH
false

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (16) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, y) → sum(generate(x, y))
generate(x, y) → gen(x, y, 0')
gen(x, y, z) → if(ge(z, x), x, y, z)
if(true, x, y, z) → nil
if(false, x, y, z) → cons(y, gen(x, y, s(z)))
sum(xs) → sum2(xs, 0')
sum2(xs, y) → ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y)
ifsum(true, b, xs, y) → y
ifsum(false, b, xs, y) → ifsum2(b, xs, y)
ifsum2(true, xs, y) → sum2(tail(xs), y)
ifsum2(false, xs, y) → sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y))
isNil(nil) → true
isNil(cons(x, xs)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, xs)) → xs
head(cons(x, xs)) → x
isZero(0') → true
isZero(s(0')) → false
isZero(s(s(x))) → isZero(s(x))
p(0') → s(s(0'))
p(s(0')) → 0'
p(s(s(x))) → s(p(s(x)))
ge(x, 0') → true
ge(0', s(y)) → false
ge(s(x), s(y)) → ge(x, y)
ac

Types:
times :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error
sum :: nil:cons → 0':s:error
generate :: 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
gen :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
0' :: 0':s:error
if :: true:false → 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
ge :: 0':s:error → 0':s:error → true:false
true :: true:false
nil :: nil:cons
false :: true:false
cons :: 0':s:error → nil:cons → nil:cons
s :: 0':s:error → 0':s:error
sum2 :: nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
ifsum :: true:false → true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
isNil :: nil:cons → true:false
isZero :: 0':s:error → true:false
head :: nil:cons → 0':s:error
ifsum2 :: true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
tail :: nil:cons → nil:cons
p :: 0':s:error → 0':s:error
error :: 0':s:error
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':s:error1_0 :: 0':s:error
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_true:false3_0 :: true:false
hole_c:d4_0 :: c:d
gen_0':s:error5_0 :: Nat → 0':s:error
gen_nil:cons6_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)
isZero(gen_0':s:error5_0(+(1, n494_0))) → false, rt ∈ Ω(1 + n4940)

Generator Equations:
gen_0':s:error5_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:error5_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:error5_0(x))
gen_nil:cons6_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons6_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons6_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
p, sum2

They will be analysed ascendingly in the following order:
p < sum2

### (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
p(gen_0':s:error5_0(+(1, n666_0))) → gen_0':s:error5_0(n666_0), rt ∈ Ω(1 + n6660)

Induction Base:
p(gen_0':s:error5_0(+(1, 0))) →RΩ(1)
0'

Induction Step:
p(gen_0':s:error5_0(+(1, +(n666_0, 1)))) →RΩ(1)
s(p(s(gen_0':s:error5_0(n666_0)))) →IH
s(gen_0':s:error5_0(c667_0))

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (19) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, y) → sum(generate(x, y))
generate(x, y) → gen(x, y, 0')
gen(x, y, z) → if(ge(z, x), x, y, z)
if(true, x, y, z) → nil
if(false, x, y, z) → cons(y, gen(x, y, s(z)))
sum(xs) → sum2(xs, 0')
sum2(xs, y) → ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y)
ifsum(true, b, xs, y) → y
ifsum(false, b, xs, y) → ifsum2(b, xs, y)
ifsum2(true, xs, y) → sum2(tail(xs), y)
ifsum2(false, xs, y) → sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y))
isNil(nil) → true
isNil(cons(x, xs)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, xs)) → xs
head(cons(x, xs)) → x
isZero(0') → true
isZero(s(0')) → false
isZero(s(s(x))) → isZero(s(x))
p(0') → s(s(0'))
p(s(0')) → 0'
p(s(s(x))) → s(p(s(x)))
ge(x, 0') → true
ge(0', s(y)) → false
ge(s(x), s(y)) → ge(x, y)
ac

Types:
times :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error
sum :: nil:cons → 0':s:error
generate :: 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
gen :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
0' :: 0':s:error
if :: true:false → 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
ge :: 0':s:error → 0':s:error → true:false
true :: true:false
nil :: nil:cons
false :: true:false
cons :: 0':s:error → nil:cons → nil:cons
s :: 0':s:error → 0':s:error
sum2 :: nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
ifsum :: true:false → true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
isNil :: nil:cons → true:false
isZero :: 0':s:error → true:false
head :: nil:cons → 0':s:error
ifsum2 :: true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
tail :: nil:cons → nil:cons
p :: 0':s:error → 0':s:error
error :: 0':s:error
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':s:error1_0 :: 0':s:error
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_true:false3_0 :: true:false
hole_c:d4_0 :: c:d
gen_0':s:error5_0 :: Nat → 0':s:error
gen_nil:cons6_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)
isZero(gen_0':s:error5_0(+(1, n494_0))) → false, rt ∈ Ω(1 + n4940)
p(gen_0':s:error5_0(+(1, n666_0))) → gen_0':s:error5_0(n666_0), rt ∈ Ω(1 + n6660)

Generator Equations:
gen_0':s:error5_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:error5_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:error5_0(x))
gen_nil:cons6_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons6_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons6_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
sum2

### (20) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
sum2(gen_nil:cons6_0(n975_0), gen_0':s:error5_0(b)) → gen_0':s:error5_0(b), rt ∈ Ω(1 + n9750)

Induction Base:
sum2(gen_nil:cons6_0(0), gen_0':s:error5_0(b)) →RΩ(1)
ifsum(isNil(gen_nil:cons6_0(0)), isZero(head(gen_nil:cons6_0(0))), gen_nil:cons6_0(0), gen_0':s:error5_0(b)) →RΩ(1)
ifsum(true, isZero(head(gen_nil:cons6_0(0))), gen_nil:cons6_0(0), gen_0':s:error5_0(b)) →RΩ(1)
ifsum(true, isZero(error), gen_nil:cons6_0(0), gen_0':s:error5_0(b)) →RΩ(1)
gen_0':s:error5_0(b)

Induction Step:
sum2(gen_nil:cons6_0(+(n975_0, 1)), gen_0':s:error5_0(b)) →RΩ(1)
ifsum(isNil(gen_nil:cons6_0(+(n975_0, 1))), isZero(head(gen_nil:cons6_0(+(n975_0, 1)))), gen_nil:cons6_0(+(n975_0, 1)), gen_0':s:error5_0(b)) →RΩ(1)
ifsum(false, isZero(head(gen_nil:cons6_0(+(1, n975_0)))), gen_nil:cons6_0(+(1, n975_0)), gen_0':s:error5_0(b)) →RΩ(1)
ifsum(false, isZero(0'), gen_nil:cons6_0(+(1, n975_0)), gen_0':s:error5_0(b)) →RΩ(1)
ifsum(false, true, gen_nil:cons6_0(+(1, n975_0)), gen_0':s:error5_0(b)) →RΩ(1)
ifsum2(true, gen_nil:cons6_0(+(1, n975_0)), gen_0':s:error5_0(b)) →RΩ(1)
sum2(tail(gen_nil:cons6_0(+(1, n975_0))), gen_0':s:error5_0(b)) →RΩ(1)
sum2(gen_nil:cons6_0(n975_0), gen_0':s:error5_0(b)) →IH
gen_0':s:error5_0(b)

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (22) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, y) → sum(generate(x, y))
generate(x, y) → gen(x, y, 0')
gen(x, y, z) → if(ge(z, x), x, y, z)
if(true, x, y, z) → nil
if(false, x, y, z) → cons(y, gen(x, y, s(z)))
sum(xs) → sum2(xs, 0')
sum2(xs, y) → ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y)
ifsum(true, b, xs, y) → y
ifsum(false, b, xs, y) → ifsum2(b, xs, y)
ifsum2(true, xs, y) → sum2(tail(xs), y)
ifsum2(false, xs, y) → sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y))
isNil(nil) → true
isNil(cons(x, xs)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, xs)) → xs
head(cons(x, xs)) → x
isZero(0') → true
isZero(s(0')) → false
isZero(s(s(x))) → isZero(s(x))
p(0') → s(s(0'))
p(s(0')) → 0'
p(s(s(x))) → s(p(s(x)))
ge(x, 0') → true
ge(0', s(y)) → false
ge(s(x), s(y)) → ge(x, y)
ac

Types:
times :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error
sum :: nil:cons → 0':s:error
generate :: 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
gen :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
0' :: 0':s:error
if :: true:false → 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
ge :: 0':s:error → 0':s:error → true:false
true :: true:false
nil :: nil:cons
false :: true:false
cons :: 0':s:error → nil:cons → nil:cons
s :: 0':s:error → 0':s:error
sum2 :: nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
ifsum :: true:false → true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
isNil :: nil:cons → true:false
isZero :: 0':s:error → true:false
head :: nil:cons → 0':s:error
ifsum2 :: true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
tail :: nil:cons → nil:cons
p :: 0':s:error → 0':s:error
error :: 0':s:error
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':s:error1_0 :: 0':s:error
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_true:false3_0 :: true:false
hole_c:d4_0 :: c:d
gen_0':s:error5_0 :: Nat → 0':s:error
gen_nil:cons6_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)
isZero(gen_0':s:error5_0(+(1, n494_0))) → false, rt ∈ Ω(1 + n4940)
p(gen_0':s:error5_0(+(1, n666_0))) → gen_0':s:error5_0(n666_0), rt ∈ Ω(1 + n6660)
sum2(gen_nil:cons6_0(n975_0), gen_0':s:error5_0(b)) → gen_0':s:error5_0(b), rt ∈ Ω(1 + n9750)

Generator Equations:
gen_0':s:error5_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:error5_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:error5_0(x))
gen_nil:cons6_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons6_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons6_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (23) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)

### (25) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, y) → sum(generate(x, y))
generate(x, y) → gen(x, y, 0')
gen(x, y, z) → if(ge(z, x), x, y, z)
if(true, x, y, z) → nil
if(false, x, y, z) → cons(y, gen(x, y, s(z)))
sum(xs) → sum2(xs, 0')
sum2(xs, y) → ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y)
ifsum(true, b, xs, y) → y
ifsum(false, b, xs, y) → ifsum2(b, xs, y)
ifsum2(true, xs, y) → sum2(tail(xs), y)
ifsum2(false, xs, y) → sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y))
isNil(nil) → true
isNil(cons(x, xs)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, xs)) → xs
head(cons(x, xs)) → x
isZero(0') → true
isZero(s(0')) → false
isZero(s(s(x))) → isZero(s(x))
p(0') → s(s(0'))
p(s(0')) → 0'
p(s(s(x))) → s(p(s(x)))
ge(x, 0') → true
ge(0', s(y)) → false
ge(s(x), s(y)) → ge(x, y)
ac

Types:
times :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error
sum :: nil:cons → 0':s:error
generate :: 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
gen :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
0' :: 0':s:error
if :: true:false → 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
ge :: 0':s:error → 0':s:error → true:false
true :: true:false
nil :: nil:cons
false :: true:false
cons :: 0':s:error → nil:cons → nil:cons
s :: 0':s:error → 0':s:error
sum2 :: nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
ifsum :: true:false → true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
isNil :: nil:cons → true:false
isZero :: 0':s:error → true:false
head :: nil:cons → 0':s:error
ifsum2 :: true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
tail :: nil:cons → nil:cons
p :: 0':s:error → 0':s:error
error :: 0':s:error
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':s:error1_0 :: 0':s:error
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_true:false3_0 :: true:false
hole_c:d4_0 :: c:d
gen_0':s:error5_0 :: Nat → 0':s:error
gen_nil:cons6_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)
isZero(gen_0':s:error5_0(+(1, n494_0))) → false, rt ∈ Ω(1 + n4940)
p(gen_0':s:error5_0(+(1, n666_0))) → gen_0':s:error5_0(n666_0), rt ∈ Ω(1 + n6660)
sum2(gen_nil:cons6_0(n975_0), gen_0':s:error5_0(b)) → gen_0':s:error5_0(b), rt ∈ Ω(1 + n9750)

Generator Equations:
gen_0':s:error5_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:error5_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:error5_0(x))
gen_nil:cons6_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons6_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons6_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (26) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)

### (28) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, y) → sum(generate(x, y))
generate(x, y) → gen(x, y, 0')
gen(x, y, z) → if(ge(z, x), x, y, z)
if(true, x, y, z) → nil
if(false, x, y, z) → cons(y, gen(x, y, s(z)))
sum(xs) → sum2(xs, 0')
sum2(xs, y) → ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y)
ifsum(true, b, xs, y) → y
ifsum(false, b, xs, y) → ifsum2(b, xs, y)
ifsum2(true, xs, y) → sum2(tail(xs), y)
ifsum2(false, xs, y) → sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y))
isNil(nil) → true
isNil(cons(x, xs)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, xs)) → xs
head(cons(x, xs)) → x
isZero(0') → true
isZero(s(0')) → false
isZero(s(s(x))) → isZero(s(x))
p(0') → s(s(0'))
p(s(0')) → 0'
p(s(s(x))) → s(p(s(x)))
ge(x, 0') → true
ge(0', s(y)) → false
ge(s(x), s(y)) → ge(x, y)
ac

Types:
times :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error
sum :: nil:cons → 0':s:error
generate :: 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
gen :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
0' :: 0':s:error
if :: true:false → 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
ge :: 0':s:error → 0':s:error → true:false
true :: true:false
nil :: nil:cons
false :: true:false
cons :: 0':s:error → nil:cons → nil:cons
s :: 0':s:error → 0':s:error
sum2 :: nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
ifsum :: true:false → true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
isNil :: nil:cons → true:false
isZero :: 0':s:error → true:false
head :: nil:cons → 0':s:error
ifsum2 :: true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
tail :: nil:cons → nil:cons
p :: 0':s:error → 0':s:error
error :: 0':s:error
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':s:error1_0 :: 0':s:error
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_true:false3_0 :: true:false
hole_c:d4_0 :: c:d
gen_0':s:error5_0 :: Nat → 0':s:error
gen_nil:cons6_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)
isZero(gen_0':s:error5_0(+(1, n494_0))) → false, rt ∈ Ω(1 + n4940)
p(gen_0':s:error5_0(+(1, n666_0))) → gen_0':s:error5_0(n666_0), rt ∈ Ω(1 + n6660)

Generator Equations:
gen_0':s:error5_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:error5_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:error5_0(x))
gen_nil:cons6_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons6_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons6_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (29) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)

### (31) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, y) → sum(generate(x, y))
generate(x, y) → gen(x, y, 0')
gen(x, y, z) → if(ge(z, x), x, y, z)
if(true, x, y, z) → nil
if(false, x, y, z) → cons(y, gen(x, y, s(z)))
sum(xs) → sum2(xs, 0')
sum2(xs, y) → ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y)
ifsum(true, b, xs, y) → y
ifsum(false, b, xs, y) → ifsum2(b, xs, y)
ifsum2(true, xs, y) → sum2(tail(xs), y)
ifsum2(false, xs, y) → sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y))
isNil(nil) → true
isNil(cons(x, xs)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, xs)) → xs
head(cons(x, xs)) → x
isZero(0') → true
isZero(s(0')) → false
isZero(s(s(x))) → isZero(s(x))
p(0') → s(s(0'))
p(s(0')) → 0'
p(s(s(x))) → s(p(s(x)))
ge(x, 0') → true
ge(0', s(y)) → false
ge(s(x), s(y)) → ge(x, y)
ac

Types:
times :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error
sum :: nil:cons → 0':s:error
generate :: 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
gen :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
0' :: 0':s:error
if :: true:false → 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
ge :: 0':s:error → 0':s:error → true:false
true :: true:false
nil :: nil:cons
false :: true:false
cons :: 0':s:error → nil:cons → nil:cons
s :: 0':s:error → 0':s:error
sum2 :: nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
ifsum :: true:false → true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
isNil :: nil:cons → true:false
isZero :: 0':s:error → true:false
head :: nil:cons → 0':s:error
ifsum2 :: true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
tail :: nil:cons → nil:cons
p :: 0':s:error → 0':s:error
error :: 0':s:error
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':s:error1_0 :: 0':s:error
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_true:false3_0 :: true:false
hole_c:d4_0 :: c:d
gen_0':s:error5_0 :: Nat → 0':s:error
gen_nil:cons6_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)
isZero(gen_0':s:error5_0(+(1, n494_0))) → false, rt ∈ Ω(1 + n4940)

Generator Equations:
gen_0':s:error5_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:error5_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:error5_0(x))
gen_nil:cons6_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons6_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons6_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (32) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)

### (34) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, y) → sum(generate(x, y))
generate(x, y) → gen(x, y, 0')
gen(x, y, z) → if(ge(z, x), x, y, z)
if(true, x, y, z) → nil
if(false, x, y, z) → cons(y, gen(x, y, s(z)))
sum(xs) → sum2(xs, 0')
sum2(xs, y) → ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y)
ifsum(true, b, xs, y) → y
ifsum(false, b, xs, y) → ifsum2(b, xs, y)
ifsum2(true, xs, y) → sum2(tail(xs), y)
ifsum2(false, xs, y) → sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y))
isNil(nil) → true
isNil(cons(x, xs)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, xs)) → xs
head(cons(x, xs)) → x
isZero(0') → true
isZero(s(0')) → false
isZero(s(s(x))) → isZero(s(x))
p(0') → s(s(0'))
p(s(0')) → 0'
p(s(s(x))) → s(p(s(x)))
ge(x, 0') → true
ge(0', s(y)) → false
ge(s(x), s(y)) → ge(x, y)
ac

Types:
times :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error
sum :: nil:cons → 0':s:error
generate :: 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
gen :: 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
0' :: 0':s:error
if :: true:false → 0':s:error → 0':s:error → 0':s:error → nil:cons
ge :: 0':s:error → 0':s:error → true:false
true :: true:false
nil :: nil:cons
false :: true:false
cons :: 0':s:error → nil:cons → nil:cons
s :: 0':s:error → 0':s:error
sum2 :: nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
ifsum :: true:false → true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
isNil :: nil:cons → true:false
isZero :: 0':s:error → true:false
head :: nil:cons → 0':s:error
ifsum2 :: true:false → nil:cons → 0':s:error → 0':s:error
tail :: nil:cons → nil:cons
p :: 0':s:error → 0':s:error
error :: 0':s:error
a :: c:d
c :: c:d
d :: c:d
hole_0':s:error1_0 :: 0':s:error
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_true:false3_0 :: true:false
hole_c:d4_0 :: c:d
gen_0':s:error5_0 :: Nat → 0':s:error
gen_nil:cons6_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)

Generator Equations:
gen_0':s:error5_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:error5_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:error5_0(x))
gen_nil:cons6_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons6_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons6_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (35) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
ge(gen_0':s:error5_0(n8_0), gen_0':s:error5_0(n8_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n80)