The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

isEmpty(nil) → true
isEmpty(cons(x, xs)) → false
last(cons(x, nil)) → x
last(cons(x, cons(y, ys))) → last(cons(y, ys))
dropLast(nil) → nil
dropLast(cons(x, nil)) → nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) → cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) → ys
append(cons(x, xs), ys) → cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) → rev(xs, nil)
rev(xs, ys) → if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) → zs
if(false, xs, ys, zs) → rev(xs, ys)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
last(cons(x, cons(y, ys))) →⁺ last(cons(y, ys))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [].
The pumping substitution is [ys / cons(y, ys)].
The result substitution is [x / y].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

isEmpty(nil) → true
isEmpty(cons(x, xs)) → false
last(cons(x, nil)) → x
last(cons(x, cons(y, ys))) → last(cons(y, ys))
dropLast(nil) → nil
dropLast(cons(x, nil)) → nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) → cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) → ys
append(cons(x, xs), ys) → cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) → rev(xs, nil)
rev(xs, ys) → if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) → zs
if(false, xs, ys, zs) → rev(xs, ys)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
isEmpty(nil) → true
isEmpty(cons(x, xs)) → false
last(cons(x, nil)) → x
last(cons(x, cons(y, ys))) → last(cons(y, ys))
dropLast(nil) → nil
dropLast(cons(x, nil)) → nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) → cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) → ys
append(cons(x, xs), ys) → cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) → rev(xs, nil)
rev(xs, ys) → if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) → zs
if(false, xs, ys, zs) → rev(xs, ys)

Types:
isEmpty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
last :: nil:cons → nil:cons
dropLast :: nil:cons → nil:cons
append :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
reverse :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
if :: true:false → nil:cons → nil:cons → nil:cons → nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
last, dropLast, append, rev

They will be analysed ascendingly in the following order:
last < rev
dropLast < rev
append < rev

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
isEmpty(nil) → true
isEmpty(cons(x, xs)) → false
last(cons(x, nil)) → x
last(cons(x, cons(y, ys))) → last(cons(y, ys))
dropLast(nil) → nil
dropLast(cons(x, nil)) → nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) → cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) → ys
append(cons(x, xs), ys) → cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) → rev(xs, nil)
rev(xs, ys) → if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) → zs
if(false, xs, ys, zs) → rev(xs, ys)

Types:
isEmpty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
last :: nil:cons → nil:cons
dropLast :: nil:cons → nil:cons
append :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
reverse :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
if :: true:false → nil:cons → nil:cons → nil:cons → nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(nil, gen_nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
last, dropLast, append, rev

They will be analysed ascendingly in the following order:
last < rev
dropLast < rev
append < rev

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
last(gen_nil:cons3_0(+(1, n5_0))) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)

Induction Base:
last(gen_nil:cons3_0(+(1, 0))) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
last(gen_nil:cons3_0(+(1, +(n5_0, 1)))) →_R^Ω(1)
last(cons(nil, gen_nil:cons3_0(n5_0))) →_IH
gen_nil:cons3_0(0)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
isEmpty(nil) → true
isEmpty(cons(x, xs)) → false
last(cons(x, nil)) → x
last(cons(x, cons(y, ys))) → last(cons(y, ys))
dropLast(nil) → nil
dropLast(cons(x, nil)) → nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) → cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) → ys
append(cons(x, xs), ys) → cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) → rev(xs, nil)
rev(xs, ys) → if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) → zs
if(false, xs, ys, zs) → rev(xs, ys)

Types:
isEmpty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
last :: nil:cons → nil:cons
dropLast :: nil:cons → nil:cons
append :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
reverse :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
if :: true:false → nil:cons → nil:cons → nil:cons → nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
last(gen_nil:cons3_0(+(1, n5_0))) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(nil, gen_nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
dropLast, append, rev

They will be analysed ascendingly in the following order:
dropLast < rev
append < rev

(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
dropLast(gen_nil:cons3_0(+(1, n198_0))) → gen_nil:cons3_0(n198_0), rt ∈ Ω(1 + n198₀)

Induction Base:
dropLast(gen_nil:cons3_0(+(1, 0))) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
dropLast(gen_nil:cons3_0(+(1, +(n198_0, 1)))) →_R^Ω(1)
cons(nil, dropLast(cons(nil, gen_nil:cons3_0(n198_0)))) →_IH
cons(nil, gen_nil:cons3_0(c199_0))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(13) Complex Obligation (BEST)

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
isEmpty(nil) → true
isEmpty(cons(x, xs)) → false
last(cons(x, nil)) → x
last(cons(x, cons(y, ys))) → last(cons(y, ys))
dropLast(nil) → nil
dropLast(cons(x, nil)) → nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) → cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) → ys
append(cons(x, xs), ys) → cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) → rev(xs, nil)
rev(xs, ys) → if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) → zs
if(false, xs, ys, zs) → rev(xs, ys)

Types:
isEmpty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
last :: nil:cons → nil:cons
dropLast :: nil:cons → nil:cons
append :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
reverse :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
if :: true:false → nil:cons → nil:cons → nil:cons → nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
last(gen_nil:cons3_0(+(1, n5_0))) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)
dropLast(gen_nil:cons3_0(+(1, n198_0))) → gen_nil:cons3_0(n198_0), rt ∈ Ω(1 + n198₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(nil, gen_nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
append, rev

They will be analysed ascendingly in the following order:
append < rev

(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
append(gen_nil:cons3_0(n545_0), gen_nil:cons3_0(b)) → gen_nil:cons3_0(+(n545_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n545₀)

Induction Base:
append(gen_nil:cons3_0(0), gen_nil:cons3_0(b)) →_R^Ω(1)
gen_nil:cons3_0(b)

Induction Step:
append(gen_nil:cons3_0(+(n545_0, 1)), gen_nil:cons3_0(b)) →_R^Ω(1)
cons(nil, append(gen_nil:cons3_0(n545_0), gen_nil:cons3_0(b))) →_IH
cons(nil, gen_nil:cons3_0(+(b, c546_0)))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(16) Complex Obligation (BEST)

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
isEmpty(nil) → true
isEmpty(cons(x, xs)) → false
last(cons(x, nil)) → x
last(cons(x, cons(y, ys))) → last(cons(y, ys))
dropLast(nil) → nil
dropLast(cons(x, nil)) → nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) → cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) → ys
append(cons(x, xs), ys) → cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) → rev(xs, nil)
rev(xs, ys) → if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) → zs
if(false, xs, ys, zs) → rev(xs, ys)

Types:
isEmpty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
last :: nil:cons → nil:cons
dropLast :: nil:cons → nil:cons
append :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
reverse :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
if :: true:false → nil:cons → nil:cons → nil:cons → nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
last(gen_nil:cons3_0(+(1, n5_0))) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)
dropLast(gen_nil:cons3_0(+(1, n198_0))) → gen_nil:cons3_0(n198_0), rt ∈ Ω(1 + n198₀)
append(gen_nil:cons3_0(n545_0), gen_nil:cons3_0(b)) → gen_nil:cons3_0(+(n545_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n545₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(nil, gen_nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
rev

(18) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
rev(gen_nil:cons3_0(n1160_0), gen_nil:cons3_0(0)) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n1160₀ + n1160₀²)

Induction Base:
rev(gen_nil:cons3_0(0), gen_nil:cons3_0(0)) →_R^Ω(1)
if(isEmpty(gen_nil:cons3_0(0)), dropLast(gen_nil:cons3_0(0)), append(gen_nil:cons3_0(0), last(gen_nil:cons3_0(0))), gen_nil:cons3_0(0)) →_R^Ω(1)
if(true, dropLast(gen_nil:cons3_0(0)), append(gen_nil:cons3_0(0), last(gen_nil:cons3_0(0))), gen_nil:cons3_0(0)) →_R^Ω(1)
if(true, nil, append(gen_nil:cons3_0(0), last(gen_nil:cons3_0(0))), gen_nil:cons3_0(0)) →_R^Ω(1)
if(true, nil, last(gen_nil:cons3_0(0)), gen_nil:cons3_0(0)) →_R^Ω(1)
gen_nil:cons3_0(0)

Induction Step:
rev(gen_nil:cons3_0(+(n1160_0, 1)), gen_nil:cons3_0(0)) →_R^Ω(1)
if(isEmpty(gen_nil:cons3_0(+(n1160_0, 1))), dropLast(gen_nil:cons3_0(+(n1160_0, 1))), append(gen_nil:cons3_0(0), last(gen_nil:cons3_0(+(n1160_0, 1)))), gen_nil:cons3_0(0)) →_R^Ω(1)
if(false, dropLast(gen_nil:cons3_0(+(1, n1160_0))), append(gen_nil:cons3_0(0), last(gen_nil:cons3_0(+(1, n1160_0)))), gen_nil:cons3_0(0)) →_L^{Ω(1 + n1160₀)}
if(false, gen_nil:cons3_0(n1160_0), append(gen_nil:cons3_0(0), last(gen_nil:cons3_0(+(1, n1160_0)))), gen_nil:cons3_0(0)) →_L^{Ω(1 + n1160₀)}
if(false, gen_nil:cons3_0(n1160_0), append(gen_nil:cons3_0(0), gen_nil:cons3_0(0)), gen_nil:cons3_0(0)) →_L^Ω(1)
if(false, gen_nil:cons3_0(n1160_0), gen_nil:cons3_0(+(0, 0)), gen_nil:cons3_0(0)) →_R^Ω(1)
rev(gen_nil:cons3_0(n1160_0), gen_nil:cons3_0(0)) →_IH
gen_nil:cons3_0(0)

We have rt ∈ Ω(n²) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n²).

(19) Complex Obligation (BEST)

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
isEmpty(nil) → true
isEmpty(cons(x, xs)) → false
last(cons(x, nil)) → x
last(cons(x, cons(y, ys))) → last(cons(y, ys))
dropLast(nil) → nil
dropLast(cons(x, nil)) → nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) → cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) → ys
append(cons(x, xs), ys) → cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) → rev(xs, nil)
rev(xs, ys) → if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) → zs
if(false, xs, ys, zs) → rev(xs, ys)

Types:
isEmpty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
last :: nil:cons → nil:cons
dropLast :: nil:cons → nil:cons
append :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
reverse :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
if :: true:false → nil:cons → nil:cons → nil:cons → nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
last(gen_nil:cons3_0(+(1, n5_0))) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)
dropLast(gen_nil:cons3_0(+(1, n198_0))) → gen_nil:cons3_0(n198_0), rt ∈ Ω(1 + n198₀)
append(gen_nil:cons3_0(n545_0), gen_nil:cons3_0(b)) → gen_nil:cons3_0(+(n545_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n545₀)
rev(gen_nil:cons3_0(n1160_0), gen_nil:cons3_0(0)) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n1160₀ + n1160₀²)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(nil, gen_nil:cons3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(21) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
rev(gen_nil:cons3_0(n1160_0), gen_nil:cons3_0(0)) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n1160₀ + n1160₀²)

(22) BOUNDS(n^2, INF)

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
isEmpty(nil) → true
isEmpty(cons(x, xs)) → false
last(cons(x, nil)) → x
last(cons(x, cons(y, ys))) → last(cons(y, ys))
dropLast(nil) → nil
dropLast(cons(x, nil)) → nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) → cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) → ys
append(cons(x, xs), ys) → cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) → rev(xs, nil)
rev(xs, ys) → if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) → zs
if(false, xs, ys, zs) → rev(xs, ys)

Types:
isEmpty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
last :: nil:cons → nil:cons
dropLast :: nil:cons → nil:cons
append :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
reverse :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
if :: true:false → nil:cons → nil:cons → nil:cons → nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
last(gen_nil:cons3_0(+(1, n5_0))) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)
dropLast(gen_nil:cons3_0(+(1, n198_0))) → gen_nil:cons3_0(n198_0), rt ∈ Ω(1 + n198₀)
append(gen_nil:cons3_0(n545_0), gen_nil:cons3_0(b)) → gen_nil:cons3_0(+(n545_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n545₀)
rev(gen_nil:cons3_0(n1160_0), gen_nil:cons3_0(0)) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n1160₀ + n1160₀²)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(nil, gen_nil:cons3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(24) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
rev(gen_nil:cons3_0(n1160_0), gen_nil:cons3_0(0)) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n1160₀ + n1160₀²)

(25) BOUNDS(n^2, INF)

(26) Obligation:

TRS:
Rules:
isEmpty(nil) → true
isEmpty(cons(x, xs)) → false
last(cons(x, nil)) → x
last(cons(x, cons(y, ys))) → last(cons(y, ys))
dropLast(nil) → nil
dropLast(cons(x, nil)) → nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) → cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) → ys
append(cons(x, xs), ys) → cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) → rev(xs, nil)
rev(xs, ys) → if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) → zs
if(false, xs, ys, zs) → rev(xs, ys)

Types:
isEmpty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
last :: nil:cons → nil:cons
dropLast :: nil:cons → nil:cons
append :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
reverse :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
if :: true:false → nil:cons → nil:cons → nil:cons → nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
last(gen_nil:cons3_0(+(1, n5_0))) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)
dropLast(gen_nil:cons3_0(+(1, n198_0))) → gen_nil:cons3_0(n198_0), rt ∈ Ω(1 + n198₀)
append(gen_nil:cons3_0(n545_0), gen_nil:cons3_0(b)) → gen_nil:cons3_0(+(n545_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n545₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(nil, gen_nil:cons3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(27) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
last(gen_nil:cons3_0(+(1, n5_0))) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)

(28) BOUNDS(n^1, INF)

(29) Obligation:

TRS:
Rules:
isEmpty(nil) → true
isEmpty(cons(x, xs)) → false
last(cons(x, nil)) → x
last(cons(x, cons(y, ys))) → last(cons(y, ys))
dropLast(nil) → nil
dropLast(cons(x, nil)) → nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) → cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) → ys
append(cons(x, xs), ys) → cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) → rev(xs, nil)
rev(xs, ys) → if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) → zs
if(false, xs, ys, zs) → rev(xs, ys)

Types:
isEmpty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
last :: nil:cons → nil:cons
dropLast :: nil:cons → nil:cons
append :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
reverse :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
if :: true:false → nil:cons → nil:cons → nil:cons → nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
last(gen_nil:cons3_0(+(1, n5_0))) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)
dropLast(gen_nil:cons3_0(+(1, n198_0))) → gen_nil:cons3_0(n198_0), rt ∈ Ω(1 + n198₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(nil, gen_nil:cons3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(30) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
last(gen_nil:cons3_0(+(1, n5_0))) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)

(31) BOUNDS(n^1, INF)

(32) Obligation:

TRS:
Rules:
isEmpty(nil) → true
isEmpty(cons(x, xs)) → false
last(cons(x, nil)) → x
last(cons(x, cons(y, ys))) → last(cons(y, ys))
dropLast(nil) → nil
dropLast(cons(x, nil)) → nil
dropLast(cons(x, cons(y, ys))) → cons(x, dropLast(cons(y, ys)))
append(nil, ys) → ys
append(cons(x, xs), ys) → cons(x, append(xs, ys))
reverse(xs) → rev(xs, nil)
rev(xs, ys) → if(isEmpty(xs), dropLast(xs), append(ys, last(xs)), ys)
if(true, xs, ys, zs) → zs
if(false, xs, ys, zs) → rev(xs, ys)

Types:
isEmpty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
last :: nil:cons → nil:cons
dropLast :: nil:cons → nil:cons
append :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
reverse :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons → nil:cons
if :: true:false → nil:cons → nil:cons → nil:cons → nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
last(gen_nil:cons3_0(+(1, n5_0))) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(nil, gen_nil:cons3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(33) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
last(gen_nil:cons3_0(+(1, n5_0))) → gen_nil:cons3_0(0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)

(34) BOUNDS(n^1, INF)