### (0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

le(0, y) → true
le(s(x), 0) → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0, 0) → true
eq(0, s(y)) → false
eq(s(x), 0) → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Rewrite Strategy: FULL

### (1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2n):
The rewrite sequence
min(x, cons(y, z)) →+ if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [z / cons(y, z)].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
min(x, cons(y, z)) →+ if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [2].
The pumping substitution is [z / cons(y, z)].
The result substitution is [x / y].

### (3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

### (4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

Infered types.

### (6) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

### (7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
le, eq, minsort, min, del

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < min
eq < del
min < minsort
del < minsort

### (8) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
le, eq, minsort, min, del

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < min
eq < del
min < minsort
del < minsort

### (9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)

Induction Base:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(0), gen_0':s:nil:cons3_0(0)) →RΩ(1)
true

Induction Step:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(+(n5_0, 1)), gen_0':s:nil:cons3_0(+(n5_0, 1))) →RΩ(1)
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) →IH
true

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (11) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Lemmas:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
eq, minsort, min, del

They will be analysed ascendingly in the following order:
eq < del
min < minsort
del < minsort

### (12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n3060)

Induction Base:
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(0), gen_0':s:nil:cons3_0(0)) →RΩ(1)
true

Induction Step:
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(+(n306_0, 1)), gen_0':s:nil:cons3_0(+(n306_0, 1))) →RΩ(1)
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0)) →IH
true

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (14) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Lemmas:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n3060)

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
min, minsort, del

They will be analysed ascendingly in the following order:
min < minsort
del < minsort

### (15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol min.

### (16) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Lemmas:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n3060)

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
del, minsort

They will be analysed ascendingly in the following order:
del < minsort

### (17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol del.

### (18) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Lemmas:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n3060)

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
minsort

### (19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol minsort.

### (20) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Lemmas:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n3060)

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (21) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)

### (23) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Lemmas:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)
eq(gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n306_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n3060)

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (24) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)

### (26) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
eq(0', 0') → true
eq(0', s(y)) → false
eq(s(x), 0') → false
eq(s(x), s(y)) → eq(x, y)
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
minsort(nil) → nil
minsort(cons(x, y)) → cons(min(x, y), minsort(del(min(x, y), cons(x, y))))
min(x, nil) → x
min(x, cons(y, z)) → if(le(x, y), min(x, z), min(y, z))
del(x, nil) → nil
del(x, cons(y, z)) → if(eq(x, y), z, cons(y, del(x, z)))

Types:
le :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
0' :: 0':s:nil:cons
true :: true:false
s :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
false :: true:false
eq :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → true:false
if :: true:false → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
minsort :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
nil :: 0':s:nil:cons
cons :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
min :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
del :: 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons → 0':s:nil:cons
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:nil:cons2_0 :: 0':s:nil:cons
gen_0':s:nil:cons3_0 :: Nat → 0':s:nil:cons

Lemmas:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)

Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:nil:cons3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (27) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
le(gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0), gen_0':s:nil:cons3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)