### (0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

times(x, plus(y, 1)) → plus(times(x, plus(y, times(1, 0))), x)
times(x, 1) → x
times(x, 0) → 0
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Rewrite Strategy: FULL

### (1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
gt(s(x), s(y)) →+ gt(x, y)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [].
The pumping substitution is [x / s(x), y / s(y)].
The result substitution is [ ].

### (3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

### (4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

times(x, plus(y, 1')) → plus(times(x, plus(y, times(1', 0'))), x)
times(x, 1') → x
times(x, 0') → 0'
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

Infered types.

### (6) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, plus(y, 1')) → plus(times(x, plus(y, times(1', 0'))), x)
times(x, 1') → x
times(x, 0') → 0'
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Types:
times :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
plus :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
1' :: 1':0':s:zero:true:false
0' :: 1':0':s:zero:true:false
s :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
if :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
gt :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
not :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
id :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
zero :: 1':0':s:zero:true:false
true :: 1':0':s:zero:true:false
false :: 1':0':s:zero:true:false
hole_1':0':s:zero:true:false1_0 :: 1':0':s:zero:true:false
gen_1':0':s:zero:true:false2_0 :: Nat → 1':0':s:zero:true:false

### (7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
times, plus, gt

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times
gt < plus

### (8) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, plus(y, 1')) → plus(times(x, plus(y, times(1', 0'))), x)
times(x, 1') → x
times(x, 0') → 0'
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Types:
times :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
plus :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
1' :: 1':0':s:zero:true:false
0' :: 1':0':s:zero:true:false
s :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
if :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
gt :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
not :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
id :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
zero :: 1':0':s:zero:true:false
true :: 1':0':s:zero:true:false
false :: 1':0':s:zero:true:false
hole_1':0':s:zero:true:false1_0 :: 1':0':s:zero:true:false
gen_1':0':s:zero:true:false2_0 :: Nat → 1':0':s:zero:true:false

Generator Equations:
gen_1':0':s:zero:true:false2_0(0) ⇔ 1'
gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
gt, times, plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times
gt < plus

### (9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
gt(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0)), gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)

Induction Base:
gt(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, 0)), gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
gt(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, +(n4_0, 1))), gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, +(n4_0, 1)))) →RΩ(1)
gt(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0)), gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0))) →IH
*3_0

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (11) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, plus(y, 1')) → plus(times(x, plus(y, times(1', 0'))), x)
times(x, 1') → x
times(x, 0') → 0'
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Types:
times :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
plus :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
1' :: 1':0':s:zero:true:false
0' :: 1':0':s:zero:true:false
s :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
if :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
gt :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
not :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
id :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
zero :: 1':0':s:zero:true:false
true :: 1':0':s:zero:true:false
false :: 1':0':s:zero:true:false
hole_1':0':s:zero:true:false1_0 :: 1':0':s:zero:true:false
gen_1':0':s:zero:true:false2_0 :: Nat → 1':0':s:zero:true:false

Lemmas:
gt(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0)), gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)

Generator Equations:
gen_1':0':s:zero:true:false2_0(0) ⇔ 1'
gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
plus, times

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times

### (12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol plus.

### (13) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, plus(y, 1')) → plus(times(x, plus(y, times(1', 0'))), x)
times(x, 1') → x
times(x, 0') → 0'
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Types:
times :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
plus :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
1' :: 1':0':s:zero:true:false
0' :: 1':0':s:zero:true:false
s :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
if :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
gt :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
not :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
id :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
zero :: 1':0':s:zero:true:false
true :: 1':0':s:zero:true:false
false :: 1':0':s:zero:true:false
hole_1':0':s:zero:true:false1_0 :: 1':0':s:zero:true:false
gen_1':0':s:zero:true:false2_0 :: Nat → 1':0':s:zero:true:false

Lemmas:
gt(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0)), gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)

Generator Equations:
gen_1':0':s:zero:true:false2_0(0) ⇔ 1'
gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
times

### (14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol times.

### (15) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, plus(y, 1')) → plus(times(x, plus(y, times(1', 0'))), x)
times(x, 1') → x
times(x, 0') → 0'
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Types:
times :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
plus :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
1' :: 1':0':s:zero:true:false
0' :: 1':0':s:zero:true:false
s :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
if :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
gt :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
not :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
id :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
zero :: 1':0':s:zero:true:false
true :: 1':0':s:zero:true:false
false :: 1':0':s:zero:true:false
hole_1':0':s:zero:true:false1_0 :: 1':0':s:zero:true:false
gen_1':0':s:zero:true:false2_0 :: Nat → 1':0':s:zero:true:false

Lemmas:
gt(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0)), gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)

Generator Equations:
gen_1':0':s:zero:true:false2_0(0) ⇔ 1'
gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (16) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
gt(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0)), gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)

### (18) Obligation:

TRS:
Rules:
times(x, plus(y, 1')) → plus(times(x, plus(y, times(1', 0'))), x)
times(x, 1') → x
times(x, 0') → 0'
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Types:
times :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
plus :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
1' :: 1':0':s:zero:true:false
0' :: 1':0':s:zero:true:false
s :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
if :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
gt :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
not :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
id :: 1':0':s:zero:true:false → 1':0':s:zero:true:false
zero :: 1':0':s:zero:true:false
true :: 1':0':s:zero:true:false
false :: 1':0':s:zero:true:false
hole_1':0':s:zero:true:false1_0 :: 1':0':s:zero:true:false
gen_1':0':s:zero:true:false2_0 :: Nat → 1':0':s:zero:true:false

Lemmas:
gt(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0)), gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)

Generator Equations:
gen_1':0':s:zero:true:false2_0(0) ⇔ 1'
gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (19) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
gt(gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0)), gen_1':0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)