### (0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

le(0, y) → true
le(s(x), 0) → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
mod(x, 0) → modZeroErro
mod(x, s(y)) → modIter(x, s(y), 0, 0)
modIter(x, s(y), z, u) → if(le(x, z), x, s(y), z, u)
if(true, x, y, z, u) → u
if(false, x, y, z, u) → if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
if2(false, x, y, z, u) → modIter(x, y, z, u)
if2(true, x, y, z, u) → modIter(x, y, z, 0)

Rewrite Strategy: FULL

### (1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
le(s(x), s(y)) →+ le(x, y)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [].
The pumping substitution is [x / s(x), y / s(y)].
The result substitution is [ ].

### (3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

### (4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
mod(x, 0') → modZeroErro
mod(x, s(y)) → modIter(x, s(y), 0', 0')
modIter(x, s(y), z, u) → if(le(x, z), x, s(y), z, u)
if(true, x, y, z, u) → u
if(false, x, y, z, u) → if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
if2(false, x, y, z, u) → modIter(x, y, z, u)
if2(true, x, y, z, u) → modIter(x, y, z, 0')

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

Infered types.

### (6) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
mod(x, 0') → modZeroErro
mod(x, s(y)) → modIter(x, s(y), 0', 0')
modIter(x, s(y), z, u) → if(le(x, z), x, s(y), z, u)
if(true, x, y, z, u) → u
if(false, x, y, z, u) → if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
if2(false, x, y, z, u) → modIter(x, y, z, u)
if2(true, x, y, z, u) → modIter(x, y, z, 0')

Types:
le :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → true:false
0' :: 0':s:modZeroErro
true :: true:false
s :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
false :: true:false
mod :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
modZeroErro :: 0':s:modZeroErro
modIter :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
if :: true:false → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
if2 :: true:false → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:modZeroErro2_0 :: 0':s:modZeroErro
gen_0':s:modZeroErro3_0 :: Nat → 0':s:modZeroErro

### (7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
le, modIter

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < modIter

### (8) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
mod(x, 0') → modZeroErro
mod(x, s(y)) → modIter(x, s(y), 0', 0')
modIter(x, s(y), z, u) → if(le(x, z), x, s(y), z, u)
if(true, x, y, z, u) → u
if(false, x, y, z, u) → if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
if2(false, x, y, z, u) → modIter(x, y, z, u)
if2(true, x, y, z, u) → modIter(x, y, z, 0')

Types:
le :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → true:false
0' :: 0':s:modZeroErro
true :: true:false
s :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
false :: true:false
mod :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
modZeroErro :: 0':s:modZeroErro
modIter :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
if :: true:false → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
if2 :: true:false → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:modZeroErro2_0 :: 0':s:modZeroErro
gen_0':s:modZeroErro3_0 :: Nat → 0':s:modZeroErro

Generator Equations:
gen_0':s:modZeroErro3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:modZeroErro3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:modZeroErro3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
le, modIter

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < modIter

### (9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
le(gen_0':s:modZeroErro3_0(n5_0), gen_0':s:modZeroErro3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)

Induction Base:
le(gen_0':s:modZeroErro3_0(0), gen_0':s:modZeroErro3_0(0)) →RΩ(1)
true

Induction Step:
le(gen_0':s:modZeroErro3_0(+(n5_0, 1)), gen_0':s:modZeroErro3_0(+(n5_0, 1))) →RΩ(1)
le(gen_0':s:modZeroErro3_0(n5_0), gen_0':s:modZeroErro3_0(n5_0)) →IH
true

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (11) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
mod(x, 0') → modZeroErro
mod(x, s(y)) → modIter(x, s(y), 0', 0')
modIter(x, s(y), z, u) → if(le(x, z), x, s(y), z, u)
if(true, x, y, z, u) → u
if(false, x, y, z, u) → if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
if2(false, x, y, z, u) → modIter(x, y, z, u)
if2(true, x, y, z, u) → modIter(x, y, z, 0')

Types:
le :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → true:false
0' :: 0':s:modZeroErro
true :: true:false
s :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
false :: true:false
mod :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
modZeroErro :: 0':s:modZeroErro
modIter :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
if :: true:false → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
if2 :: true:false → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:modZeroErro2_0 :: 0':s:modZeroErro
gen_0':s:modZeroErro3_0 :: Nat → 0':s:modZeroErro

Lemmas:
le(gen_0':s:modZeroErro3_0(n5_0), gen_0':s:modZeroErro3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)

Generator Equations:
gen_0':s:modZeroErro3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:modZeroErro3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:modZeroErro3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
modIter

### (12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol modIter.

### (13) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
mod(x, 0') → modZeroErro
mod(x, s(y)) → modIter(x, s(y), 0', 0')
modIter(x, s(y), z, u) → if(le(x, z), x, s(y), z, u)
if(true, x, y, z, u) → u
if(false, x, y, z, u) → if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
if2(false, x, y, z, u) → modIter(x, y, z, u)
if2(true, x, y, z, u) → modIter(x, y, z, 0')

Types:
le :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → true:false
0' :: 0':s:modZeroErro
true :: true:false
s :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
false :: true:false
mod :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
modZeroErro :: 0':s:modZeroErro
modIter :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
if :: true:false → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
if2 :: true:false → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:modZeroErro2_0 :: 0':s:modZeroErro
gen_0':s:modZeroErro3_0 :: Nat → 0':s:modZeroErro

Lemmas:
le(gen_0':s:modZeroErro3_0(n5_0), gen_0':s:modZeroErro3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)

Generator Equations:
gen_0':s:modZeroErro3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:modZeroErro3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:modZeroErro3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (14) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
le(gen_0':s:modZeroErro3_0(n5_0), gen_0':s:modZeroErro3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)

### (16) Obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) → true
le(s(x), 0') → false
le(s(x), s(y)) → le(x, y)
mod(x, 0') → modZeroErro
mod(x, s(y)) → modIter(x, s(y), 0', 0')
modIter(x, s(y), z, u) → if(le(x, z), x, s(y), z, u)
if(true, x, y, z, u) → u
if(false, x, y, z, u) → if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
if2(false, x, y, z, u) → modIter(x, y, z, u)
if2(true, x, y, z, u) → modIter(x, y, z, 0')

Types:
le :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → true:false
0' :: 0':s:modZeroErro
true :: true:false
s :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
false :: true:false
mod :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
modZeroErro :: 0':s:modZeroErro
modIter :: 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
if :: true:false → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
if2 :: true:false → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro → 0':s:modZeroErro
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s:modZeroErro2_0 :: 0':s:modZeroErro
gen_0':s:modZeroErro3_0 :: Nat → 0':s:modZeroErro

Lemmas:
le(gen_0':s:modZeroErro3_0(n5_0), gen_0':s:modZeroErro3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)

Generator Equations:
gen_0':s:modZeroErro3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:modZeroErro3_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:modZeroErro3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (17) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
le(gen_0':s:modZeroErro3_0(n5_0), gen_0':s:modZeroErro3_0(n5_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n50)