### (0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

eq(0, 0) → true
eq(0, s(m)) → false
eq(s(n), 0) → false
eq(s(n), s(m)) → eq(n, m)
le(0, m) → true
le(s(n), 0) → false
le(s(n), s(m)) → le(n, m)
min(cons(x, nil)) → x
min(cons(n, cons(m, x))) → if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x)))
if_min(true, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(n, x))
if_min(false, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(m, x))
replace(n, m, nil) → nil
replace(n, m, cons(k, x)) → if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x))
if_replace(true, n, m, cons(k, x)) → cons(m, x)
if_replace(false, n, m, cons(k, x)) → cons(k, replace(n, m, x))
empty(nil) → true
empty(cons(n, x)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(n, x)) → x
sort(x) → sortIter(x, nil)
sortIter(x, y) → if(empty(x), x, y, append(y, cons(min(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z)

Rewrite Strategy: FULL

### (1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
eq(s(n), s(m)) →+ eq(n, m)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [].
The pumping substitution is [n / s(n), m / s(m)].
The result substitution is [ ].

### (3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

### (4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

eq(0', 0') → true
eq(0', s(m)) → false
eq(s(n), 0') → false
eq(s(n), s(m)) → eq(n, m)
le(0', m) → true
le(s(n), 0') → false
le(s(n), s(m)) → le(n, m)
min(cons(x, nil)) → x
min(cons(n, cons(m, x))) → if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x)))
if_min(true, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(n, x))
if_min(false, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(m, x))
replace(n, m, nil) → nil
replace(n, m, cons(k, x)) → if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x))
if_replace(true, n, m, cons(k, x)) → cons(m, x)
if_replace(false, n, m, cons(k, x)) → cons(k, replace(n, m, x))
empty(nil) → true
empty(cons(n, x)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(n, x)) → x
sort(x) → sortIter(x, nil)
sortIter(x, y) → if(empty(x), x, y, append(y, cons(min(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

### (5) SlicingProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Sliced the following arguments:
append/0

### (6) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

eq(0', 0') → true
eq(0', s(m)) → false
eq(s(n), 0') → false
eq(s(n), s(m)) → eq(n, m)
le(0', m) → true
le(s(n), 0') → false
le(s(n), s(m)) → le(n, m)
min(cons(x, nil)) → x
min(cons(n, cons(m, x))) → if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x)))
if_min(true, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(n, x))
if_min(false, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(m, x))
replace(n, m, nil) → nil
replace(n, m, cons(k, x)) → if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x))
if_replace(true, n, m, cons(k, x)) → cons(m, x)
if_replace(false, n, m, cons(k, x)) → cons(k, replace(n, m, x))
empty(nil) → true
empty(cons(n, x)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(n, x)) → x
sort(x) → sortIter(x, nil)
sortIter(x, y) → if(empty(x), x, y, append(cons(min(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

Infered types.

### (8) Obligation:

TRS:
Rules:
eq(0', 0') → true
eq(0', s(m)) → false
eq(s(n), 0') → false
eq(s(n), s(m)) → eq(n, m)
le(0', m) → true
le(s(n), 0') → false
le(s(n), s(m)) → le(n, m)
min(cons(x, nil)) → x
min(cons(n, cons(m, x))) → if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x)))
if_min(true, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(n, x))
if_min(false, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(m, x))
replace(n, m, nil) → nil
replace(n, m, cons(k, x)) → if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x))
if_replace(true, n, m, cons(k, x)) → cons(m, x)
if_replace(false, n, m, cons(k, x)) → cons(k, replace(n, m, x))
empty(nil) → true
empty(cons(n, x)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(n, x)) → x
sort(x) → sortIter(x, nil)
sortIter(x, y) → if(empty(x), x, y, append(cons(min(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z)

Types:
eq :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
le :: 0':s → 0':s → true:false
min :: nil:cons:append → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
nil :: nil:cons:append
if_min :: true:false → nil:cons:append → 0':s
replace :: 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
if_replace :: true:false → 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
empty :: nil:cons:append → true:false
tail :: nil:cons:append → nil:cons:append
sort :: nil:cons:append → nil:cons:append
sortIter :: nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
if :: true:false → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
append :: nil:cons:append → nil:cons:append
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:cons:append3_0 :: nil:cons:append
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:cons:append5_0 :: Nat → nil:cons:append

### (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
eq, le, min, replace, sortIter

They will be analysed ascendingly in the following order:
eq < replace
le < min
min < sortIter
replace < sortIter

### (10) Obligation:

TRS:
Rules:
eq(0', 0') → true
eq(0', s(m)) → false
eq(s(n), 0') → false
eq(s(n), s(m)) → eq(n, m)
le(0', m) → true
le(s(n), 0') → false
le(s(n), s(m)) → le(n, m)
min(cons(x, nil)) → x
min(cons(n, cons(m, x))) → if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x)))
if_min(true, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(n, x))
if_min(false, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(m, x))
replace(n, m, nil) → nil
replace(n, m, cons(k, x)) → if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x))
if_replace(true, n, m, cons(k, x)) → cons(m, x)
if_replace(false, n, m, cons(k, x)) → cons(k, replace(n, m, x))
empty(nil) → true
empty(cons(n, x)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(n, x)) → x
sort(x) → sortIter(x, nil)
sortIter(x, y) → if(empty(x), x, y, append(cons(min(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z)

Types:
eq :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
le :: 0':s → 0':s → true:false
min :: nil:cons:append → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
nil :: nil:cons:append
if_min :: true:false → nil:cons:append → 0':s
replace :: 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
if_replace :: true:false → 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
empty :: nil:cons:append → true:false
tail :: nil:cons:append → nil:cons:append
sort :: nil:cons:append → nil:cons:append
sortIter :: nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
if :: true:false → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
append :: nil:cons:append → nil:cons:append
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:cons:append3_0 :: nil:cons:append
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:cons:append5_0 :: Nat → nil:cons:append

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:cons:append5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:append5_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons:append5_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
eq, le, min, replace, sortIter

They will be analysed ascendingly in the following order:
eq < replace
le < min
min < sortIter
replace < sortIter

### (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n70)

Induction Base:
eq(gen_0':s4_0(0), gen_0':s4_0(0)) →RΩ(1)
true

Induction Step:
eq(gen_0':s4_0(+(n7_0, 1)), gen_0':s4_0(+(n7_0, 1))) →RΩ(1)
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) →IH
true

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (13) Obligation:

TRS:
Rules:
eq(0', 0') → true
eq(0', s(m)) → false
eq(s(n), 0') → false
eq(s(n), s(m)) → eq(n, m)
le(0', m) → true
le(s(n), 0') → false
le(s(n), s(m)) → le(n, m)
min(cons(x, nil)) → x
min(cons(n, cons(m, x))) → if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x)))
if_min(true, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(n, x))
if_min(false, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(m, x))
replace(n, m, nil) → nil
replace(n, m, cons(k, x)) → if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x))
if_replace(true, n, m, cons(k, x)) → cons(m, x)
if_replace(false, n, m, cons(k, x)) → cons(k, replace(n, m, x))
empty(nil) → true
empty(cons(n, x)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(n, x)) → x
sort(x) → sortIter(x, nil)
sortIter(x, y) → if(empty(x), x, y, append(cons(min(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z)

Types:
eq :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
le :: 0':s → 0':s → true:false
min :: nil:cons:append → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
nil :: nil:cons:append
if_min :: true:false → nil:cons:append → 0':s
replace :: 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
if_replace :: true:false → 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
empty :: nil:cons:append → true:false
tail :: nil:cons:append → nil:cons:append
sort :: nil:cons:append → nil:cons:append
sortIter :: nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
if :: true:false → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
append :: nil:cons:append → nil:cons:append
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:cons:append3_0 :: nil:cons:append
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:cons:append5_0 :: Nat → nil:cons:append

Lemmas:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n70)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:cons:append5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:append5_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons:append5_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
le, min, replace, sortIter

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < min
min < sortIter
replace < sortIter

### (14) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
le(gen_0':s4_0(n600_0), gen_0':s4_0(n600_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n6000)

Induction Base:
le(gen_0':s4_0(0), gen_0':s4_0(0)) →RΩ(1)
true

Induction Step:
le(gen_0':s4_0(+(n600_0, 1)), gen_0':s4_0(+(n600_0, 1))) →RΩ(1)
le(gen_0':s4_0(n600_0), gen_0':s4_0(n600_0)) →IH
true

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (16) Obligation:

TRS:
Rules:
eq(0', 0') → true
eq(0', s(m)) → false
eq(s(n), 0') → false
eq(s(n), s(m)) → eq(n, m)
le(0', m) → true
le(s(n), 0') → false
le(s(n), s(m)) → le(n, m)
min(cons(x, nil)) → x
min(cons(n, cons(m, x))) → if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x)))
if_min(true, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(n, x))
if_min(false, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(m, x))
replace(n, m, nil) → nil
replace(n, m, cons(k, x)) → if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x))
if_replace(true, n, m, cons(k, x)) → cons(m, x)
if_replace(false, n, m, cons(k, x)) → cons(k, replace(n, m, x))
empty(nil) → true
empty(cons(n, x)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(n, x)) → x
sort(x) → sortIter(x, nil)
sortIter(x, y) → if(empty(x), x, y, append(cons(min(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z)

Types:
eq :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
le :: 0':s → 0':s → true:false
min :: nil:cons:append → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
nil :: nil:cons:append
if_min :: true:false → nil:cons:append → 0':s
replace :: 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
if_replace :: true:false → 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
empty :: nil:cons:append → true:false
tail :: nil:cons:append → nil:cons:append
sort :: nil:cons:append → nil:cons:append
sortIter :: nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
if :: true:false → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
append :: nil:cons:append → nil:cons:append
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:cons:append3_0 :: nil:cons:append
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:cons:append5_0 :: Nat → nil:cons:append

Lemmas:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n70)
le(gen_0':s4_0(n600_0), gen_0':s4_0(n600_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n6000)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:cons:append5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:append5_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons:append5_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
min, replace, sortIter

They will be analysed ascendingly in the following order:
min < sortIter
replace < sortIter

### (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
min(gen_nil:cons:append5_0(+(1, n965_0))) → gen_0':s4_0(0), rt ∈ Ω(1 + n9650)

Induction Base:
min(gen_nil:cons:append5_0(+(1, 0))) →RΩ(1)
0'

Induction Step:
min(gen_nil:cons:append5_0(+(1, +(n965_0, 1)))) →RΩ(1)
if_min(le(0', 0'), cons(0', cons(0', gen_nil:cons:append5_0(n965_0)))) →LΩ(1)
if_min(true, cons(0', cons(0', gen_nil:cons:append5_0(n965_0)))) →RΩ(1)
min(cons(0', gen_nil:cons:append5_0(n965_0))) →IH
gen_0':s4_0(0)

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (19) Obligation:

TRS:
Rules:
eq(0', 0') → true
eq(0', s(m)) → false
eq(s(n), 0') → false
eq(s(n), s(m)) → eq(n, m)
le(0', m) → true
le(s(n), 0') → false
le(s(n), s(m)) → le(n, m)
min(cons(x, nil)) → x
min(cons(n, cons(m, x))) → if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x)))
if_min(true, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(n, x))
if_min(false, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(m, x))
replace(n, m, nil) → nil
replace(n, m, cons(k, x)) → if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x))
if_replace(true, n, m, cons(k, x)) → cons(m, x)
if_replace(false, n, m, cons(k, x)) → cons(k, replace(n, m, x))
empty(nil) → true
empty(cons(n, x)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(n, x)) → x
sort(x) → sortIter(x, nil)
sortIter(x, y) → if(empty(x), x, y, append(cons(min(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z)

Types:
eq :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
le :: 0':s → 0':s → true:false
min :: nil:cons:append → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
nil :: nil:cons:append
if_min :: true:false → nil:cons:append → 0':s
replace :: 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
if_replace :: true:false → 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
empty :: nil:cons:append → true:false
tail :: nil:cons:append → nil:cons:append
sort :: nil:cons:append → nil:cons:append
sortIter :: nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
if :: true:false → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
append :: nil:cons:append → nil:cons:append
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:cons:append3_0 :: nil:cons:append
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:cons:append5_0 :: Nat → nil:cons:append

Lemmas:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n70)
le(gen_0':s4_0(n600_0), gen_0':s4_0(n600_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n6000)
min(gen_nil:cons:append5_0(+(1, n965_0))) → gen_0':s4_0(0), rt ∈ Ω(1 + n9650)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:cons:append5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:append5_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons:append5_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
replace, sortIter

They will be analysed ascendingly in the following order:
replace < sortIter

### (20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol replace.

### (21) Obligation:

TRS:
Rules:
eq(0', 0') → true
eq(0', s(m)) → false
eq(s(n), 0') → false
eq(s(n), s(m)) → eq(n, m)
le(0', m) → true
le(s(n), 0') → false
le(s(n), s(m)) → le(n, m)
min(cons(x, nil)) → x
min(cons(n, cons(m, x))) → if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x)))
if_min(true, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(n, x))
if_min(false, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(m, x))
replace(n, m, nil) → nil
replace(n, m, cons(k, x)) → if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x))
if_replace(true, n, m, cons(k, x)) → cons(m, x)
if_replace(false, n, m, cons(k, x)) → cons(k, replace(n, m, x))
empty(nil) → true
empty(cons(n, x)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(n, x)) → x
sort(x) → sortIter(x, nil)
sortIter(x, y) → if(empty(x), x, y, append(cons(min(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z)

Types:
eq :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
le :: 0':s → 0':s → true:false
min :: nil:cons:append → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
nil :: nil:cons:append
if_min :: true:false → nil:cons:append → 0':s
replace :: 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
if_replace :: true:false → 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
empty :: nil:cons:append → true:false
tail :: nil:cons:append → nil:cons:append
sort :: nil:cons:append → nil:cons:append
sortIter :: nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
if :: true:false → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
append :: nil:cons:append → nil:cons:append
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:cons:append3_0 :: nil:cons:append
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:cons:append5_0 :: Nat → nil:cons:append

Lemmas:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n70)
le(gen_0':s4_0(n600_0), gen_0':s4_0(n600_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n6000)
min(gen_nil:cons:append5_0(+(1, n965_0))) → gen_0':s4_0(0), rt ∈ Ω(1 + n9650)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:cons:append5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:append5_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons:append5_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
sortIter

### (22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol sortIter.

### (23) Obligation:

TRS:
Rules:
eq(0', 0') → true
eq(0', s(m)) → false
eq(s(n), 0') → false
eq(s(n), s(m)) → eq(n, m)
le(0', m) → true
le(s(n), 0') → false
le(s(n), s(m)) → le(n, m)
min(cons(x, nil)) → x
min(cons(n, cons(m, x))) → if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x)))
if_min(true, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(n, x))
if_min(false, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(m, x))
replace(n, m, nil) → nil
replace(n, m, cons(k, x)) → if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x))
if_replace(true, n, m, cons(k, x)) → cons(m, x)
if_replace(false, n, m, cons(k, x)) → cons(k, replace(n, m, x))
empty(nil) → true
empty(cons(n, x)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(n, x)) → x
sort(x) → sortIter(x, nil)
sortIter(x, y) → if(empty(x), x, y, append(cons(min(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z)

Types:
eq :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
le :: 0':s → 0':s → true:false
min :: nil:cons:append → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
nil :: nil:cons:append
if_min :: true:false → nil:cons:append → 0':s
replace :: 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
if_replace :: true:false → 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
empty :: nil:cons:append → true:false
tail :: nil:cons:append → nil:cons:append
sort :: nil:cons:append → nil:cons:append
sortIter :: nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
if :: true:false → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
append :: nil:cons:append → nil:cons:append
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:cons:append3_0 :: nil:cons:append
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:cons:append5_0 :: Nat → nil:cons:append

Lemmas:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n70)
le(gen_0':s4_0(n600_0), gen_0':s4_0(n600_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n6000)
min(gen_nil:cons:append5_0(+(1, n965_0))) → gen_0':s4_0(0), rt ∈ Ω(1 + n9650)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:cons:append5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:append5_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons:append5_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (24) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n70)

### (26) Obligation:

TRS:
Rules:
eq(0', 0') → true
eq(0', s(m)) → false
eq(s(n), 0') → false
eq(s(n), s(m)) → eq(n, m)
le(0', m) → true
le(s(n), 0') → false
le(s(n), s(m)) → le(n, m)
min(cons(x, nil)) → x
min(cons(n, cons(m, x))) → if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x)))
if_min(true, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(n, x))
if_min(false, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(m, x))
replace(n, m, nil) → nil
replace(n, m, cons(k, x)) → if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x))
if_replace(true, n, m, cons(k, x)) → cons(m, x)
if_replace(false, n, m, cons(k, x)) → cons(k, replace(n, m, x))
empty(nil) → true
empty(cons(n, x)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(n, x)) → x
sort(x) → sortIter(x, nil)
sortIter(x, y) → if(empty(x), x, y, append(cons(min(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z)

Types:
eq :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
le :: 0':s → 0':s → true:false
min :: nil:cons:append → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
nil :: nil:cons:append
if_min :: true:false → nil:cons:append → 0':s
replace :: 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
if_replace :: true:false → 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
empty :: nil:cons:append → true:false
tail :: nil:cons:append → nil:cons:append
sort :: nil:cons:append → nil:cons:append
sortIter :: nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
if :: true:false → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
append :: nil:cons:append → nil:cons:append
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:cons:append3_0 :: nil:cons:append
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:cons:append5_0 :: Nat → nil:cons:append

Lemmas:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n70)
le(gen_0':s4_0(n600_0), gen_0':s4_0(n600_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n6000)
min(gen_nil:cons:append5_0(+(1, n965_0))) → gen_0':s4_0(0), rt ∈ Ω(1 + n9650)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:cons:append5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:append5_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons:append5_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (27) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n70)

### (29) Obligation:

TRS:
Rules:
eq(0', 0') → true
eq(0', s(m)) → false
eq(s(n), 0') → false
eq(s(n), s(m)) → eq(n, m)
le(0', m) → true
le(s(n), 0') → false
le(s(n), s(m)) → le(n, m)
min(cons(x, nil)) → x
min(cons(n, cons(m, x))) → if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x)))
if_min(true, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(n, x))
if_min(false, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(m, x))
replace(n, m, nil) → nil
replace(n, m, cons(k, x)) → if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x))
if_replace(true, n, m, cons(k, x)) → cons(m, x)
if_replace(false, n, m, cons(k, x)) → cons(k, replace(n, m, x))
empty(nil) → true
empty(cons(n, x)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(n, x)) → x
sort(x) → sortIter(x, nil)
sortIter(x, y) → if(empty(x), x, y, append(cons(min(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z)

Types:
eq :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
le :: 0':s → 0':s → true:false
min :: nil:cons:append → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
nil :: nil:cons:append
if_min :: true:false → nil:cons:append → 0':s
replace :: 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
if_replace :: true:false → 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
empty :: nil:cons:append → true:false
tail :: nil:cons:append → nil:cons:append
sort :: nil:cons:append → nil:cons:append
sortIter :: nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
if :: true:false → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
append :: nil:cons:append → nil:cons:append
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:cons:append3_0 :: nil:cons:append
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:cons:append5_0 :: Nat → nil:cons:append

Lemmas:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n70)
le(gen_0':s4_0(n600_0), gen_0':s4_0(n600_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n6000)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:cons:append5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:append5_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons:append5_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (30) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n70)

### (32) Obligation:

TRS:
Rules:
eq(0', 0') → true
eq(0', s(m)) → false
eq(s(n), 0') → false
eq(s(n), s(m)) → eq(n, m)
le(0', m) → true
le(s(n), 0') → false
le(s(n), s(m)) → le(n, m)
min(cons(x, nil)) → x
min(cons(n, cons(m, x))) → if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x)))
if_min(true, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(n, x))
if_min(false, cons(n, cons(m, x))) → min(cons(m, x))
replace(n, m, nil) → nil
replace(n, m, cons(k, x)) → if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x))
if_replace(true, n, m, cons(k, x)) → cons(m, x)
if_replace(false, n, m, cons(k, x)) → cons(k, replace(n, m, x))
empty(nil) → true
empty(cons(n, x)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(n, x)) → x
sort(x) → sortIter(x, nil)
sortIter(x, y) → if(empty(x), x, y, append(cons(min(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z)

Types:
eq :: 0':s → 0':s → true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s → 0':s
false :: true:false
le :: 0':s → 0':s → true:false
min :: nil:cons:append → 0':s
cons :: 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
nil :: nil:cons:append
if_min :: true:false → nil:cons:append → 0':s
replace :: 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
if_replace :: true:false → 0':s → 0':s → nil:cons:append → nil:cons:append
empty :: nil:cons:append → true:false
tail :: nil:cons:append → nil:cons:append
sort :: nil:cons:append → nil:cons:append
sortIter :: nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
if :: true:false → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append → nil:cons:append
append :: nil:cons:append → nil:cons:append
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:cons:append3_0 :: nil:cons:append
gen_0':s4_0 :: Nat → 0':s
gen_nil:cons:append5_0 :: Nat → nil:cons:append

Lemmas:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n70)

Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:cons:append5_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:append5_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_nil:cons:append5_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (33) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) → true, rt ∈ Ω(1 + n70)