### (0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

empty(nil) → true
empty(cons(x, l)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, l)) → l
rev(nil) → nil
rev(cons(x, l)) → cons(rev1(x, l), rev2(x, l))
last(x, l) → if(empty(l), x, l)
if(true, x, l) → x
if(false, x, l) → last(head(l), tail(l))
rev2(x, nil) → nil
rev2(x, cons(y, l)) → rev(cons(x, rev2(y, l)))

Rewrite Strategy: FULL

### (1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2n):
The rewrite sequence
rev2(x, cons(y, l)) →+ cons(rev1(x, rev2(y, l)), rev2(x, rev2(y, l)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,1].
The pumping substitution is [l / cons(y, l)].
The result substitution is [x / y].

The rewrite sequence
rev2(x, cons(y, l)) →+ cons(rev1(x, rev2(y, l)), rev2(x, rev2(y, l)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1,1].
The pumping substitution is [l / cons(y, l)].
The result substitution is [x / y].

### (3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

### (4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

empty(nil) → true
empty(cons(x, l)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, l)) → l
rev(nil) → nil
rev(cons(x, l)) → cons(rev1(x, l), rev2(x, l))
last(x, l) → if(empty(l), x, l)
if(true, x, l) → x
if(false, x, l) → last(head(l), tail(l))
rev2(x, nil) → nil
rev2(x, cons(y, l)) → rev(cons(x, rev2(y, l)))

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

### (5) SlicingProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Sliced the following arguments:
rev1/0
rev1/1

### (6) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

empty(nil) → true
empty(cons(x, l)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, l)) → l
rev(nil) → nil
rev(cons(x, l)) → cons(rev1, rev2(x, l))
last(x, l) → if(empty(l), x, l)
if(true, x, l) → x
if(false, x, l) → last(head(l), tail(l))
rev2(x, nil) → nil
rev2(x, cons(y, l)) → rev(cons(x, rev2(y, l)))

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

Infered types.

### (8) Obligation:

TRS:
Rules:
empty(nil) → true
empty(cons(x, l)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, l)) → l
rev(nil) → nil
rev(cons(x, l)) → cons(rev1, rev2(x, l))
last(x, l) → if(empty(l), x, l)
if(true, x, l) → x
if(false, x, l) → last(head(l), tail(l))
rev2(x, nil) → nil
rev2(x, cons(y, l)) → rev(cons(x, rev2(y, l)))

Types:
empty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: rev1 → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
tail :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons
rev1 :: rev1
rev2 :: rev1 → nil:cons → nil:cons
last :: rev1 → nil:cons → rev1
if :: true:false → rev1 → nil:cons → rev1
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_rev13_0 :: rev1
gen_nil:cons4_0 :: Nat → nil:cons

### (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
rev, rev2, last

They will be analysed ascendingly in the following order:
rev = rev2

### (10) Obligation:

TRS:
Rules:
empty(nil) → true
empty(cons(x, l)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, l)) → l
rev(nil) → nil
rev(cons(x, l)) → cons(rev1, rev2(x, l))
last(x, l) → if(empty(l), x, l)
if(true, x, l) → x
if(false, x, l) → last(head(l), tail(l))
rev2(x, nil) → nil
rev2(x, cons(y, l)) → rev(cons(x, rev2(y, l)))

Types:
empty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: rev1 → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
tail :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons
rev1 :: rev1
rev2 :: rev1 → nil:cons → nil:cons
last :: rev1 → nil:cons → rev1
if :: true:false → rev1 → nil:cons → rev1
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_rev13_0 :: rev1
gen_nil:cons4_0 :: Nat → nil:cons

Generator Equations:
gen_nil:cons4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons4_0(+(x, 1)) ⇔ cons(rev1, gen_nil:cons4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
last, rev, rev2

They will be analysed ascendingly in the following order:
rev = rev2

### (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
last(rev1, gen_nil:cons4_0(n6_0)) → rev1, rt ∈ Ω(1 + n60)

Induction Base:
last(rev1, gen_nil:cons4_0(0)) →RΩ(1)
if(empty(gen_nil:cons4_0(0)), rev1, gen_nil:cons4_0(0)) →RΩ(1)
if(true, rev1, gen_nil:cons4_0(0)) →RΩ(1)
rev1

Induction Step:
last(rev1, gen_nil:cons4_0(+(n6_0, 1))) →RΩ(1)
if(empty(gen_nil:cons4_0(+(n6_0, 1))), rev1, gen_nil:cons4_0(+(n6_0, 1))) →RΩ(1)
if(false, rev1, gen_nil:cons4_0(+(1, n6_0))) →RΩ(1)
last(rev1, tail(gen_nil:cons4_0(+(1, n6_0)))) →RΩ(1)
last(rev1, gen_nil:cons4_0(n6_0)) →IH
rev1

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (13) Obligation:

TRS:
Rules:
empty(nil) → true
empty(cons(x, l)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, l)) → l
rev(nil) → nil
rev(cons(x, l)) → cons(rev1, rev2(x, l))
last(x, l) → if(empty(l), x, l)
if(true, x, l) → x
if(false, x, l) → last(head(l), tail(l))
rev2(x, nil) → nil
rev2(x, cons(y, l)) → rev(cons(x, rev2(y, l)))

Types:
empty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: rev1 → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
tail :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons
rev1 :: rev1
rev2 :: rev1 → nil:cons → nil:cons
last :: rev1 → nil:cons → rev1
if :: true:false → rev1 → nil:cons → rev1
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_rev13_0 :: rev1
gen_nil:cons4_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
last(rev1, gen_nil:cons4_0(n6_0)) → rev1, rt ∈ Ω(1 + n60)

Generator Equations:
gen_nil:cons4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons4_0(+(x, 1)) ⇔ cons(rev1, gen_nil:cons4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
rev2, rev

They will be analysed ascendingly in the following order:
rev = rev2

### (14) RewriteLemmaProof (EQUIVALENT transformation)

Proved the following rewrite lemma:
rev2(rev1, gen_nil:cons4_0(n261_0)) → gen_nil:cons4_0(n261_0), rt ∈ Ω(2n)

Induction Base:
rev2(rev1, gen_nil:cons4_0(0)) →RΩ(1)
nil

Induction Step:
rev2(rev1, gen_nil:cons4_0(+(n261_0, 1))) →RΩ(1)
rev(cons(rev1, rev2(rev1, gen_nil:cons4_0(n261_0)))) →IH
rev(cons(rev1, gen_nil:cons4_0(c262_0))) →RΩ(1)
cons(rev1, rev2(rev1, gen_nil:cons4_0(n261_0))) →IH
cons(rev1, gen_nil:cons4_0(c262_0))

We have rt ∈ Ω(2n) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(2n)

### (16) Obligation:

TRS:
Rules:
empty(nil) → true
empty(cons(x, l)) → false
tail(nil) → nil
tail(cons(x, l)) → l
rev(nil) → nil
rev(cons(x, l)) → cons(rev1, rev2(x, l))
last(x, l) → if(empty(l), x, l)
if(true, x, l) → x
if(false, x, l) → last(head(l), tail(l))
rev2(x, nil) → nil
rev2(x, cons(y, l)) → rev(cons(x, rev2(y, l)))

Types:
empty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: rev1 → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
tail :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons
rev1 :: rev1
rev2 :: rev1 → nil:cons → nil:cons
last :: rev1 → nil:cons → rev1
if :: true:false → rev1 → nil:cons → rev1
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_rev13_0 :: rev1
gen_nil:cons4_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
last(rev1, gen_nil:cons4_0(n6_0)) → rev1, rt ∈ Ω(1 + n60)

Generator Equations:
gen_nil:cons4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons4_0(+(x, 1)) ⇔ cons(rev1, gen_nil:cons4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (17) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
last(rev1, gen_nil:cons4_0(n6_0)) → rev1, rt ∈ Ω(1 + n60)