### (0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

app(nil, k) → k
app(l, nil) → l
app(cons(x, l), k) → cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) → cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) → sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) → sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(0, y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
sum(plus(cons(0, x), cons(y, l))) → pred(sum(cons(s(x), cons(y, l))))
pred(cons(s(x), nil)) → cons(x, nil)

Rewrite Strategy: FULL

### (1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
app(cons(x, l), k) →+ cons(x, app(l, k))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [l / cons(x, l)].
The result substitution is [ ].

### (3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

### (4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

app(nil, k) → k
app(l, nil) → l
app(cons(x, l), k) → cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) → cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) → sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) → sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
sum(plus(cons(0', x), cons(y, l))) → pred(sum(cons(s(x), cons(y, l))))
pred(cons(s(x), nil)) → cons(x, nil)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

Infered types.

### (6) Obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, k) → k
app(l, nil) → l
app(cons(x, l), k) → cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) → cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) → sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) → sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
sum(plus(cons(0', x), cons(y, l))) → pred(sum(cons(s(x), cons(y, l))))
pred(cons(s(x), nil)) → cons(x, nil)

Types:
app :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
nil :: nil:cons:0':s
cons :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
sum :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
plus :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
0' :: nil:cons:0':s
s :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
pred :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
hole_nil:cons:0':s1_0 :: nil:cons:0':s
gen_nil:cons:0':s2_0 :: Nat → nil:cons:0':s

### (7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
app, sum, plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < sum
plus < sum

### (8) Obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, k) → k
app(l, nil) → l
app(cons(x, l), k) → cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) → cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) → sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) → sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
sum(plus(cons(0', x), cons(y, l))) → pred(sum(cons(s(x), cons(y, l))))
pred(cons(s(x), nil)) → cons(x, nil)

Types:
app :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
nil :: nil:cons:0':s
cons :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
sum :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
plus :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
0' :: nil:cons:0':s
s :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
pred :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
hole_nil:cons:0':s1_0 :: nil:cons:0':s
gen_nil:cons:0':s2_0 :: Nat → nil:cons:0':s

Generator Equations:
gen_nil:cons:0':s2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:0':s2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(nil, gen_nil:cons:0':s2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
app, sum, plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < sum
plus < sum

### (9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
app(gen_nil:cons:0':s2_0(n4_0), gen_nil:cons:0':s2_0(b)) → gen_nil:cons:0':s2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n40)

Induction Base:
app(gen_nil:cons:0':s2_0(0), gen_nil:cons:0':s2_0(b)) →RΩ(1)
gen_nil:cons:0':s2_0(b)

Induction Step:
app(gen_nil:cons:0':s2_0(+(n4_0, 1)), gen_nil:cons:0':s2_0(b)) →RΩ(1)
cons(nil, app(gen_nil:cons:0':s2_0(n4_0), gen_nil:cons:0':s2_0(b))) →IH
cons(nil, gen_nil:cons:0':s2_0(+(b, c5_0)))

We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).

### (11) Obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, k) → k
app(l, nil) → l
app(cons(x, l), k) → cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) → cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) → sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) → sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
sum(plus(cons(0', x), cons(y, l))) → pred(sum(cons(s(x), cons(y, l))))
pred(cons(s(x), nil)) → cons(x, nil)

Types:
app :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
nil :: nil:cons:0':s
cons :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
sum :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
plus :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
0' :: nil:cons:0':s
s :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
pred :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
hole_nil:cons:0':s1_0 :: nil:cons:0':s
gen_nil:cons:0':s2_0 :: Nat → nil:cons:0':s

Lemmas:
app(gen_nil:cons:0':s2_0(n4_0), gen_nil:cons:0':s2_0(b)) → gen_nil:cons:0':s2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_nil:cons:0':s2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:0':s2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(nil, gen_nil:cons:0':s2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
plus, sum

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < sum

### (12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol plus.

### (13) Obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, k) → k
app(l, nil) → l
app(cons(x, l), k) → cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) → cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) → sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) → sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
sum(plus(cons(0', x), cons(y, l))) → pred(sum(cons(s(x), cons(y, l))))
pred(cons(s(x), nil)) → cons(x, nil)

Types:
app :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
nil :: nil:cons:0':s
cons :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
sum :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
plus :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
0' :: nil:cons:0':s
s :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
pred :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
hole_nil:cons:0':s1_0 :: nil:cons:0':s
gen_nil:cons:0':s2_0 :: Nat → nil:cons:0':s

Lemmas:
app(gen_nil:cons:0':s2_0(n4_0), gen_nil:cons:0':s2_0(b)) → gen_nil:cons:0':s2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_nil:cons:0':s2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:0':s2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(nil, gen_nil:cons:0':s2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
sum

### (14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol sum.

### (15) Obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, k) → k
app(l, nil) → l
app(cons(x, l), k) → cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) → cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) → sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) → sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
sum(plus(cons(0', x), cons(y, l))) → pred(sum(cons(s(x), cons(y, l))))
pred(cons(s(x), nil)) → cons(x, nil)

Types:
app :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
nil :: nil:cons:0':s
cons :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
sum :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
plus :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
0' :: nil:cons:0':s
s :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
pred :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
hole_nil:cons:0':s1_0 :: nil:cons:0':s
gen_nil:cons:0':s2_0 :: Nat → nil:cons:0':s

Lemmas:
app(gen_nil:cons:0':s2_0(n4_0), gen_nil:cons:0':s2_0(b)) → gen_nil:cons:0':s2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_nil:cons:0':s2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:0':s2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(nil, gen_nil:cons:0':s2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (16) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
app(gen_nil:cons:0':s2_0(n4_0), gen_nil:cons:0':s2_0(b)) → gen_nil:cons:0':s2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n40)

### (18) Obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, k) → k
app(l, nil) → l
app(cons(x, l), k) → cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) → cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) → sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) → sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(0', y) → y
plus(s(x), y) → s(plus(x, y))
sum(plus(cons(0', x), cons(y, l))) → pred(sum(cons(s(x), cons(y, l))))
pred(cons(s(x), nil)) → cons(x, nil)

Types:
app :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
nil :: nil:cons:0':s
cons :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
sum :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
plus :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
0' :: nil:cons:0':s
s :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
pred :: nil:cons:0':s → nil:cons:0':s
hole_nil:cons:0':s1_0 :: nil:cons:0':s
gen_nil:cons:0':s2_0 :: Nat → nil:cons:0':s

Lemmas:
app(gen_nil:cons:0':s2_0(n4_0), gen_nil:cons:0':s2_0(b)) → gen_nil:cons:0':s2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n40)

Generator Equations:
gen_nil:cons:0':s2_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons:0':s2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(nil, gen_nil:cons:0':s2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

### (19) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
app(gen_nil:cons:0':s2_0(n4_0), gen_nil:cons:0':s2_0(b)) → gen_nil:cons:0':s2_0(+(n4_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n40)